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1、第第2章章通信网理论分析通信网理论分析2.1排队论基础排队论基础1.排队模型基本概念只有一个服务员的单服务员排队模型是最简单的排队模型。只有一个服务员的单服务员排队模型是最简单的排队模型。它由一个服务员和一个代表队列的方框组成，如图它由一个服务员和一个代表队列的方框组成，如图2.1所示。图所示。图中的中的是顾客到达率或称系统负荷，例如，在电话网中它表示单是顾客到达率或称系统负荷，例如，在电话网中它表示单位时间内发生的呼叫次数（呼叫位时间内发生的呼叫次数（呼叫/秒）；在分组交换网中表示单秒）；在分组交换网中表示单位时间发生的分组信息数（分组位时间发生的分组信息数（分组/秒）。秒）。是顾客离去率或
2、称系统是顾客离去率或称系统服务率，它的单位与服务率，它的单位与相同。例如，在分组网中，相同。例如，在分组网中，是由分组长是由分组长度（度（bit）和链路传输速率（）和链路传输速率（bit/s）所决定，其单位是分组）所决定，其单位是分组/秒。秒。例如，一条速率例如，一条速率C=2400bit/s的传输链路，在传输一个长度为的传输链路，在传输一个长度为1000bit的分组时，其服务率的分组时，其服务率=2.4分组分组/秒。秒。图图2.1单服务员排队模型单服务员排队模型系统负荷与系统容量之比称为服务强度或链路利用率，即系统负荷与系统容量之比称为服务强度或链路利用率，即=/，这是排队论中的一个重要的参
3、数。对于单服务员排队，这是排队论中的一个重要的参数。对于单服务员排队模型，当模型，当趋近或超过趋近或超过1时，就会进入阻塞，时延迅速增大，到时，就会进入阻塞，时延迅速增大，到达的分组被阻塞。达的分组被阻塞。对于一般的排队系统，有一套对于一般的排队系统，有一套A/B/C表示符号，表示符号，A表示顾客表示顾客到达的分布特性，到达的分布特性，B表示服务员的服务分布特性，表示服务员的服务分布特性，C表示服务员表示服务员的个数。有时采用的个数。有时采用A/B/C/K/M这样的符号，这样的符号，A、B、C的含义不变，的含义不变，K表示排队系统的容量，省略这一项表示表示排队系统的容量，省略这一项表示K；M表
4、示潜在的顾表示潜在的顾客数，对于潜在顾客数客数，对于潜在顾客数M时，也可省去此项。常见的几种排时，也可省去此项。常见的几种排队系统模型符号表示如下。队系统模型符号表示如下。M/M/1排队：表示泊松到达、指数服务特性、一个服务员的排队：表示泊松到达、指数服务特性、一个服务员的排队系统。这里符号排队系统。这里符号M来自马尔可夫（来自马尔可夫（Markov）过程，用来表）过程，用来表示泊松过程或相应的指数分布。示泊松过程或相应的指数分布。M/M/m排队：表示泊松到达、指数服务分布特性、排队：表示泊松到达、指数服务分布特性、m个服务个服务员的排队系统。员的排队系统。M/G/1排队：表示泊松到达、服务时
5、间服从一般分布的单服排队：表示泊松到达、服务时间服从一般分布的单服务员排队系统。务员排队系统。M/D/1排队：表示泊松到达、服务时间为常数的单服务员排排队：表示泊松到达、服务时间为常数的单服务员排队系统。队系统。为了了对泊松泊松过程程进行定行定义，在，在时间轴上取一个很小的上取一个很小的时隙隙D Dt，如，如图2.2所示。用下面所示。用下面3个表述来个表述来对泊松泊松过程程进行定行定义。在时隙在时隙 t中有一个顾客到达的概率定义为中有一个顾客到达的概率定义为 t+o( t)，o( t)表示表示 t的更高阶项，当的更高阶项，当 t0时，它更快地趋于时，它更快地趋于0；是一比例常数，且是一比例常数
6、，且 t1/m m2时，相，相应的平均的平均队长和和时延也随之增大。另延也随之增大。另一方面，当一方面，当s s21/m m2时，平均，平均队长和和时延比延比M/M/1的的结果小。作果小。作为一一个特例，令所有个特例，令所有顾客（分客（分组或呼叫）都具有相同的服或呼叫）都具有相同的服务长度度1/m m。这样，s s2=0，则有：有：（2.17）顾客服客服务时间固定不固定不变的排的排队称作称作M/D/1排排队，字母，字母D表示确表示确定的（定的（determinIstic）服）服务时间。这是是M/G/1排排队的一个特例，的一个特例，它的排它的排队长度和度和时延最小。如果延最小。如果r r不太大，
7、可利用不太大，可利用M/M/1的的结果果得到得到和和。当。当，M/D/1的的结果与果与M/M/1的的结果相差果相差50%。（2.18）3M/M/m排队排队到达率与离开率依到达率与离开率依赖于系于系统状状态的排的排队系系统如如图11.19所示，所示，其相其相应的的稳态状状态转移关系如移关系如图2.8所示。参数所示。参数l ln1表示系表示系统由状由状态（n1）进入状入状态n的的顾客到达率，客到达率，Pn表示系表示系统处于状于状态n的平衡概率，的平衡概率，m mn是在系是在系统处于状于状态n条件下的条件下的顾客离去率。客离去率。根据离开状根据离开状态n的离去率等于的离去率等于进入状入状态n的到达率
8、，可以得到的到达率，可以得到系系统的平衡方程：的平衡方程：图图2.8与状态相关的排队系统与状态相关的排队系统与状态相关的排队状态图与状态相关的排队状态图解平衡方程，可以求得系解平衡方程，可以求得系统的平衡概率的平衡概率Pn：式中，式中，P0为概率常数，可以利用概率概率常数，可以利用概率归一性条件来求解。一性条件来求解。（2.19）M/M/m排排队是与状是与状态相关的排相关的排队的一个例子。在一个分的一个例子。在一个分组交交换网中，如果网中，如果统计集中器或分集中器或分组交交换机有机有m条出局中条出局中继线，且且输出出队列的到达和离去均列的到达和离去均为指数指数统计特性，特性，则该系系统就是就是
9、M/M/m排排队系系统，其排，其排队模型如模型如图2.9所示。在此系所示。在此系统中，如中，如果只有一个分果只有一个分组要传输，它立即以服务率要传输，它立即以服务率m m受到任一中继线受到任一中继线服务。如果有服务。如果有m个或更多的分组，则个或更多的分组，则m条中继线都被占用。条中继线都被占用。因此在系统中，可以得到：因此在系统中，可以得到：图图2.9M/M/m排队模型排队模型利用上述条件和式（利用上述条件和式（11.27），可以得到平衡概率：），可以得到平衡概率：式中：式中：（2.21）（2.20）M/M/m排排队的一个特殊情况是的一个特殊情况是m为无无穷大，大，这相当于在分相当于在分组交
10、交换或或电路交路交换的情况下，的情况下，传输线或中或中继线的数量的数量总是等于是等于需要需要传输的分的分组和呼叫数，因而永和呼叫数，因而永远不会有阻塞的可能性，不会有阻塞的可能性，这时平衡状平衡状态概率概率为：P0=er r与状与状态相关的排相关的排队的第的第2个例子是个例子是M/M/N/N系系统，这是一个是一个有有N个服个服务员但没有等待室的排但没有等待室的排队系系统，并当，并当n=N时，将所有，将所有的到达阻塞掉。的到达阻塞掉。这一系一系统的排的排队模型如模型如图2.10所示。所示。这里里l ln=l l，m mn=nm m，1nN。图图2.10M/M/N/N排队模型排队模型在在这个系个系
11、统中，中，l ln=l l，m mn=nm m，概率，概率归一性条件一性条件为（2.22），把，把这些条件些条件应用于式（用于式（11.16），可以求得：），可以求得：这一公式就是求解一公式就是求解电话系系统阻塞概率的阻塞概率的爱尔尔兰B公式。公式。当当n=N时出出现阻塞，因此阻塞概率阻塞，因此阻塞概率PB为（2.23）2.2电路交换网分析电路交换网分析1呼损清除呼损清除传统的电话交换网是电路交换网。一个由若干个交换节点传统的电话交换网是电路交换网。一个由若干个交换节点和交换节点间的中继链路组成的电话交换网，如果在交换节点和交换节点间的中继链路组成的电话交换网，如果在交换节点的全部出线都被占用
12、的情况下仍有新的呼叫发生，交换节点向的全部出线都被占用的情况下仍有新的呼叫发生，交换节点向用户送忙音，表示将这个呼叫从交换系统中清除，这种现象称用户送忙音，表示将这个呼叫从交换系统中清除，这种现象称为呼损。为呼损。对于交换节点来讲，如果呼叫到达是泊松过程，中继线群对于交换节点来讲，如果呼叫到达是泊松过程，中继线群是全利用度线群，当系统发生呼叫阻塞时，该呼叫会被立即清是全利用度线群，当系统发生呼叫阻塞时，该呼叫会被立即清除，则该系统达到统计平衡状态时，呼叫损失概率可以按爱尔除，则该系统达到统计平衡状态时，呼叫损失概率可以按爱尔兰兰B公式进行计算：公式进行计算：B(N，A)=（2.24）式中，式中
13、，B(N，A)表示流入话务量为表示流入话务量为A，中继线数为，中继线数为N时的时的呼损概率，式中用呼损概率，式中用A代替式（代替式（11.22）中的）中的，即，即A=/（2.25）A表示系统的业务强度，对于电话网就是系统承受的电话表示系统的业务强度，对于电话网就是系统承受的电话负荷（话务量）。例如，电话网的平均来话率负荷（话务量）。例如，电话网的平均来话率=300次次/时，时，每次通话平均时间每次通话平均时间2min（即（即1/=2min），则此电话网的流），则此电话网的流入话务量入话务量A=10Erl。话务量单位用。话务量单位用Erl（爱尔兰，（爱尔兰，Erlang），），是为了纪念丹麦话务
14、理论家而命名的。话务量单位也可以用每是为了纪念丹麦话务理论家而命名的。话务量单位也可以用每小时百秒呼（小时百秒呼（ccs）来表示。）来表示。Erl与与ccs的关系是：的关系是：Erl=36ccs。利用爱尔兰利用爱尔兰B公式可以在一定的中继线和流入话务量的情况公式可以在一定的中继线和流入话务量的情况下计算系统的呼损概率。举例如下：下计算系统的呼损概率。举例如下：假定某假定某电话局在上午局在上午9:0010:15有有500次呼叫次呼叫发生，每次生，每次呼叫平均占用呼叫平均占用时间为200s，中，中继输出出线有有29条，求呼条，求呼损概概率。率。解：解：平均来平均来话率率为 l l=500/(756
15、0)=0.1111次次/秒秒平均占用平均占用时间为1/m m=200s流入流入话务量量为A=呼呼损概率概率为B(29，22.2)=0.0312=22.2Erl爱尔尔兰B公式是在求解阻塞概率或中公式是在求解阻塞概率或中继线数中常用的数中常用的计算公式。算公式。话务量、中量、中继线数和阻塞概率三者之数和阻塞概率三者之间的关系已的关系已经制成相制成相应图或表，以便或表，以便查阅。图2.11及表及表11.3给出了在各种不同的中出了在各种不同的中继线数数的情况下，呼的情况下，呼损概率与流入概率与流入话务量之量之间的关系。在的关系。在实际中，呼中，呼损概率用下列概率用下列递推关系：推关系：（m=1，2，N
16、）（2.26）式中，初始值式中，初始值B(0，A)=1。由以上分析可知，在流入由以上分析可知，在流入话务量之中，除大部分完成通量之中，除大部分完成通话外，外，还有一部分被阻塞。完成通有一部分被阻塞。完成通话部分部分话务量可以表示量可以表示为A=A1B(N，A)（2.27）在上例中，容易算出完成话务量为在上例中，容易算出完成话务量为A=22.210.0312=21.5(Erl)=74%图图2.11呼损清除系统的阻塞概率呼损清除系统的阻塞概率对于此交换系统，我们可以进一步求出出线的利用率：对于此交换系统，我们可以进一步求出出线的利用率：=2.3分组交换数据网分析分组交换数据网分析在分在分组交交换网
17、中，分网中，分组信息在每一个信息在每一个节点被存点被存储、转发而而产生生时延。交延。交换节点的存点的存储、转发功能可以用一个无限容量功能可以用一个无限容量缓冲器的冲器的M/M/1排排队模型来表示，如模型来表示，如图2.12所示。所示。为了分析分了分析分组信息信息时延，假定分延，假定分组信息到达信息到达时，在，在缓冲器冲器内已有内已有n个分个分组在等待在等待发送。因此，要送。因此，要发送的分送的分组信息通信息通过节点的点的时延由等待延由等待时间和服和服务时间两部分两部分组成，即成，即T=等待等待时间+服服务时间图图2.12交换节点中的缓冲过程模型交换节点中的缓冲过程模型等待时间是分组信息在节点上
18、等待链路空闲所消耗的时间，等待时间是分组信息在节点上等待链路空闲所消耗的时间，服务时间是分组在链路传输时间的总和。在分组网中，每个分服务时间是分组在链路传输时间的总和。在分组网中，每个分组信息在链路上的服务时间即传输时间为组信息在链路上的服务时间即传输时间为式中式中1/m m是分是分组信息的平均信息的平均长度（比特度（比特/分分组），），Ci是是链路路i的容量或速率（的容量或速率（bit/s）。）。为了了计算在算在节点的的等待点的的等待时间，我，我们仍保持仍保持单服服务员排排队系系统的假的假设条件，于是可求得平均等待条件，于是可求得平均等待时间为（2.38）（2.29）式中式中l li是是链路
19、路i的分的分组到达率，到达率，单位位为（分（分组/秒）。秒）。则分组通过节点和链路则分组通过节点和链路i的平均时延为的平均时延为（2.30）端端端平均时延端平均时延图2.13所示所示为由多个由多个节点点组成的分成的分组交交换网。分析端端的网。分析端端的平均平均时延，需要考延，需要考虑从源点到目的地所从源点到目的地所经过的路由上每段的路由上每段链路路造成的造成的时延影响。同延影响。同时，由于路由中途，由于路由中途经的的节点点处可能会有新可能会有新的分的分组发生，因此，我生，因此，我们在在计算从源点算从源点发生的分生的分组在在经过路由路由中各中各节点点对时延的影响延的影响时，要同，要同时考考虑这些
20、些节点点处发生的新分生的新分组。图图2.13分组交换网的例子分组交换网的例子1/m m表示分表示分组的平均的平均长度，且假度，且假设分分组长度度为负指数分布。指数分布。在在实际过程中，分程中，分组一旦从用一旦从用户终端端发出，在整个出，在整个传输过程中程中长度始度始终不不变。这时引入一个假引入一个假设叫独立假叫独立假设，即分，即分组网中的网中的节点每次收到分点每次收到分组以后加以存以后加以存储，然后，然后转发到下一个到下一个节点，在点，在每一个每一个节点点给分分组随机的随机的选择一个新的一个新的长度。根据独立假度。根据独立假设和和每一每一链路模型路模型为M/M/1排排队，可以得到分，可以得到分
21、组经过链路路i的平均的平均时延仍可采用公式（延仍可采用公式（11.44）。分）。分组信息信息经过m个个级联的的M/M/1排排队，端端的平均，端端的平均时延延为（2.31）v例题例题.v分组交换节点假设为分组交换节点假设为M/M/1排队模型，每秒有个排队模型，每秒有个10个个分组进入该节点，链路速率为分组进入该节点，链路速率为4800bit/s，分组平均，分组平均长度长度200bit，求分组节点的平均时延。，求分组节点的平均时延。v解：解：vvvT=1/(24-10)=0.071秒秒例：网例：网络结构如构如图2.14所示。所示。图中中节点点边上的数字上的数字n(x)表示表示每秒有每秒有n个分个分
22、组进入入该节点，点，该分分组的目的地是的目的地是x。各。各节点点发生生的所的所选的路由如的路由如图中所示。中所示。链路速率路速率为4800bit/s，分，分组平均平均长度度200bit，求分，求分组从从节点点AD的平均的平均时延。延。图图2.14计算分组时延的网的结构计算分组时延的网的结构=0.246(s)(分组分组/秒秒)一个分组从节点一个分组从节点A AD D的平均时延为的平均时延为解：根据图中所示的路由，先求出链路解：根据图中所示的路由，先求出链路AB、BC、CD的到达率：的到达率：l l A AB B=6+4=10(分组分组/秒秒)l l B BC C=6+4+2=12(分组分组/秒秒)l l CD=6+2+3=11(分组分组/秒秒)
