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1、第第 九九 章章平面弯曲平面弯曲9.1 9.1 概概 述述9.2 9.2 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力 与正应力强度条件与正应力强度条件9.3 9.3 平面弯曲时梁横截面上的剪应力平面弯曲时梁横截面上的剪应力 与剪应力强度条件与剪应力强度条件第第 九九 章章平平面面弯弯曲曲9.4 9.4 提高梁强度的措施提高梁强度的措施9.5 9.5 梁的位移与挠曲线近似微分方程梁的位移与挠曲线近似微分方程9.6 9.6 积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形9.7 9.7 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形9.8 9.8 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施梁的刚度条件及提高梁刚度的措施一、平
2、面弯曲的概念及实例一、平面弯曲的概念及实例受力特点：受力特点：变形特点：变形特点：纵向对称轴：纵向对称轴：纵向对称面：纵向对称面：梁：梁：载荷载荷杆件轴线杆件轴线轴线由直线变为光滑曲线轴线由直线变为光滑曲线横截面的纵向对称轴横截面的纵向对称轴通过截面纵向对称轴与通过截面纵向对称轴与梁轴线所确定的平面梁轴线所确定的平面以承受弯曲变以承受弯曲变形为主的构件形为主的构件9.1 9.1 概概 述述平面弯曲：平面弯曲：1)所有外力都作用在纵向对称面内；所有外力都作用在纵向对称面内；2)所有外力都垂直于梁轴线；所有外力都垂直于梁轴线；3)变形后梁轴线仍在纵向对称面内。变形后梁轴线仍在纵向对称面内。Q M
3、AC、DB段 横力弯曲 （Q 0）CD段 纯弯曲（Q = 0）一、纯弯曲与横力弯曲9.2 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力与正应力强度条件与正应力强度条件回顾与比较:内力内力应力应力YAQM1 1）各纵向线均变成了圆弧曲线，且上面部分纵向线缩短，下）各纵向线均变成了圆弧曲线，且上面部分纵向线缩短，下面纵向线伸长，但各纵向线间距不变；面纵向线伸长，但各纵向线间距不变；2 2）各横向线仍保持为直线，只是相邻横向线相对转了一个角）各横向线仍保持为直线，只是相邻横向线相对转了一个角度，变形后的横向线仍与纵线垂直；度，变形后的横向线仍与纵线垂直；3 3）矩形截面的宽度变形后上宽下
4、窄。）矩形截面的宽度变形后上宽下窄。变形现象：变形现象：二、二、梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验（1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：两个假设：两个假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度；转了一个角度；（2）单向受力假设：）单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，认为务纵向纤维之设梁由无数纵向纤维组成，认为务纵向纤维之间无相互挤压作用。间无相互挤压作用。结论：结论： 梁受正弯矩在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面梁受正弯矩在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下
5、面部分纵向纤维伸长，根据平面假设和变形的连续性，纵向纤维部分纵向纤维伸长，根据平面假设和变形的连续性，纵向纤维在由缩短区过渡到伸长区之间，必有一层纵向纤维既不伸长也在由缩短区过渡到伸长区之间，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度，这一纵向纤维层称为不缩短，保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层中性层。中性轴：中性轴：中性层与梁横截面的交线称为中性轴。中性层与梁横截面的交线称为中性轴。中性轴推导梁横截面上的正应力公式的思路：推导梁横截面上的正应力公式的思路：通过实验观察变通过实验观察变形、提出假设形、提出假设变形几何关系变形几何关系变形的分布规律变形的分布规律物理关系物理关系应力的
6、分布规律应力的分布规律静力平衡关系静力平衡关系最终建立正应力计算公式最终建立正应力计算公式三、纯弯曲梁横截面上的正应力三、纯弯曲梁横截面上的正应力（一）变形几何关系（一）变形几何关系：bdacabcdMM ) ) ) )OO1) )中性层的曲率半径中性层的曲率半径abcdABA1B1O1Or rxy （二）物理关系：二）物理关系：（三）静力学平衡关系：（三）静力学平衡关系：（y轴是横截面对称轴）轴是横截面对称轴）EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩M 0时中性轴以下为拉应力下边缘各点
7、中性轴以上为压应力上边缘各点中性轴上各点=01）2）平面弯曲条件：条件：（四）最大正应力：（四）最大正应力：塑性材料截面关于中性轴对称：塑性材料截面关于中性轴对称： 在在L/h5L/h5的细长梁的横力弯曲的正应力的细长梁的横力弯曲的正应力计算公式可以近似使用上述纯弯曲的公式，计算公式可以近似使用上述纯弯曲的公式，计算精度能满足一般工程要求。计算精度能满足一般工程要求。正应力公式的推广正应力公式的推广 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应
8、力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ:圆截面圆截面:空心圆截面空心圆截面:矩形截面矩形截面:弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：对塑性材料等截面梁：对塑性材料等截面梁：1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑：抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑：3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与1. 求支反力求支反力（压应力）（压应力）解：解：Y YA AF FB BBAl = 3mq=60kN/mxC1m
9、30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力 已知已知E=200GPa，例题例题9 9-1-1Qx90kN90kNMxBAl = 3mY YA Aq=60kN/mF FB BxC1m30zy180120K2. C 截面最大正应力:C 截面弯矩C 截面惯性矩3. 全梁最大正应力全梁最大正应力:最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩分析分析: :（1 1）确定危险截面）确定危险截面（3 3）计算）计算（4 4）计算）计算 ，选择工，选择工 字钢型号字钢型号（2 2） 某车间欲安装简易吊车，大梁选用
10、工字钢。已知电葫芦某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重自重材料的许用应力材料的许用应力起重量起重量跨度跨度试选择工字钢的型号。试选择工字钢的型号。例题例题9 9-2-2解解：（3 3）根据）根据计算：计算： （1 1）计算简图）计算简图（2 2）绘弯矩图）绘弯矩图（4 4）选择工字钢型号）选择工字钢型号3636c c工字钢工字钢FL4作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。例
11、题例题9 9-3-3（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：（4 4）B B截面校核截面校核（3 3）作弯矩图）作弯矩图（5 5）C C截面校核截面校核剪应力剪应力的的两个假设两个假设：/ Q , 方向相同；方向相同；沿宽度均匀分布。沿宽度均匀分布。9.3 平面弯曲时梁横截面上的剪应力平面弯曲时梁横截面上的剪应力与剪应力强度条件与剪应力强度条件一、一、 矩形截面梁横截面矩形截面梁横截面上的剪应力上的剪应力1 1、两点假设：、两点假设： 剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力相等。矩中性轴等距离处，
12、剪应力相等。2 2、研究方法：分离体平衡。、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图在梁上取微段如图b b； 在微段上取一块如图在微段上取一块如图c c，平衡：平衡：s sxyzs s1 1t t1 1t tbdxx图图adxQ(x)+d Q(x)M(x)M(x)+d M(x)Q(x)图图b图图cs sxyzs s1 1t t1 1t tbdxx图图adxQ(x)+d Q(x)M(x)M(x)+d M(x)Q(x)图图b图图c由剪应力互等由剪应力互等4) IZ为需求为需求的某点所在横截面对中性轴的惯性距的某点所在横截面对中性轴的惯性距；2) Q为需求为需求的某点所在横截面的剪力；的某点所在横截
13、面的剪力；3) SZ为需求为需求的某点距离中性轴为的某点距离中性轴为y处以外的部分截面对中性处以外的部分截面对中性轴的静距；轴的静距；5) b为需求为需求的某点作水平线的某点作水平线(/中性轴中性轴)的实体宽度。的实体宽度。讨论：讨论：1) 沿截面高度按抛物线变化。沿截面高度按抛物线变化。上、下边缘腹板上的剪应力腹板上的剪应力计算：计算：二二) 工字形截面梁的剪应力：工字形截面梁的剪应力：1) Q为需求的某点所在横截面的剪力；二二) 工字形截面梁的剪应力：工字形截面梁的剪应力：一一) 矩形截面梁的剪应力：矩形截面梁的剪应力：2) A为需求的某点所在横截面的面积；3) 位于横截面的中性轴上注：一
14、般来说，梁的强度是由正应力强度条注：一般来说，梁的强度是由正应力强度条 件来控制，只有在：件来控制，只有在： 短梁或在支座附近的截面；短梁或在支座附近的截面； ( (铆接或焊接的工字梁铆接或焊接的工字梁) )腹板深而高的梁；腹板深而高的梁； 经铆接、焊接或胶合而成的梁，对铆钉、焊缝经铆接、焊接或胶合而成的梁，对铆钉、焊缝 或胶合面等一般要进行剪应力强度计算。或胶合面等一般要进行剪应力强度计算。五五) 剪应力强度条件：剪应力强度条件：解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力ABL=3m例例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大
15、剪应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+Q+x求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度应力之比应力之比q=3.6kN/mxM+Q+x 9.4 提高梁强度的措施提高梁强度的措施控制条件：控制条件：1.合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况1).合理安排支座合理安排支座在承受相同载荷的前提下，尽量减小在承受相同载荷的前提下，尽量减小Mmax2).合理安排载荷合理安排载荷 在允许的情况下，尽量把集中力分散作用于梁上在允许的情况下，尽量把集中力分散作用于梁上 2.梁的合理截面梁的合理截面对塑性材料：对塑性材料：在用材相等（面积相等）的条件下，尽量增大在用材相等（面积相等）的条件下，尽量增
16、大WZ根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件同样载荷条件下，工作应力越小越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：梁倒置时：梁倒置时：立置立置比倒倒置好。置好。例例 图示悬臂梁承受均布载荷图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为假设梁截面为b h的矩形，的矩形， h = 2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？hbbhq注意：注意：Z Z 轴为中轴为中性轴性轴小小 结结1）弯曲正应力公式）弯曲正应力公式2）弯曲剪应力公式）弯曲剪应力公式3）正应力强度条件和剪应力强度条件）正应力强度条件和剪应力强度条件:塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料
