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1、线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性教学目的教学目的理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空间的基的概念与求法间的基的概念与求法作业重点重点基础解系及其求法、向量空间的基基础解系及其求法、向量空间的基练习册P3740第13题 至第19题，期期中交：中交：P37P374040难点难点方程组解的结构方程组解的结构讲授方法讲授方法媒体与投影媒体与投影讲授内容讲授内容主线主线齐次解的基础解系概念基础解系求法举例齐次解的基础解系概念基础解系求法举
2、例非齐次通解的求法向量空间的封闭与生成性非齐次通解的求法向量空间的封闭与生成性基与坐标向量内积与长度。基与坐标向量内积与长度。内容概括内容概括齐次方程组的基础解系由齐次方程组的基础解系由n-rn-r个无关解向量组成，个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。由施瓦茨不等式引出长度与正交。班级： 时间： 年 月 日；星期 第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间1线性代数线性代数 第四章第四章
3、 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间 本次课讲第四章第四节第五节，本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间，方程组解的结构与向量空间， 下次课讲第五章第一二节，下次课讲第五章第一二节， 下次上课时交作业下次上课时交作业P37P37P40P402线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、齐次线性方程组解的结构：二、齐次线性方程组解的结构：1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理复习齐次线性方程组解的秩的判定定理2.解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组（1）设）设A=x =则（则（1
4、）式可写成向量方程）式可写成向量方程 Ax = 0（2）称为方程组（称为方程组（1）的解向量，）的解向量， 它也是向量方程（它也是向量方程（2）的解）的解.第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构3线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构2.解向量的性质解向量的性质性质性质1 1 若若 为为齐次方程组齐次方程组的解的解，则则 也是也是相应齐次方程组相应齐次方程组的解的解.证证性质性质2 2 若若 为为齐次方程组齐次方程组的解的解，k为实数，则为实数，则 k 也是也是相应齐次线
5、性方程组相应齐次线性方程组的解的解.证：3.AX=0的基础解系的基础解系4线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构4.4.求求AXAX=0=0的基础解系的基础解系AXAX0 0的通解：的通解： 事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定组通解的方法：假定AXAX=0,A=0,A的秩为的秩为R(A)=r,R(A)=r,求解步骤如下求解步骤如下5线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性化化A 为行最简形矩阵
6、为行最简形矩阵为为与与 A 对应的方程组的同解方程组为对应的方程组的同解方程组为令自由未知数令自由未知数则：第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构6线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十讲第十讲 向量组的秩与方程组解的结构向量组的秩与方程组解的结构7线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 巧得很，巧得很，AX=0AX=0的通解正好是的通解正好是n-rn-r个解向量的线个解向量的线性组合，如果这性组合，如果这n-rn-r个解向量就是解集的最大无个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了关组，我们就等于
7、找到了AX=0AX=0的基础解系。事实的基础解系。事实上，我们有如下定理：上，我们有如下定理： （2 2）定理：设）定理：设n n元齐次方程组元齐次方程组AX=0AX=0的系数矩阵的系数矩阵的秩的秩R(A)=rR(A)=r, ,解集（解向量组）为解集（解向量组）为S S, ,则则R(S)=R(S)=n-rn-r第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间8线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 定理：设定理：设n元齐次方程组元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩的系数矩阵的秩R(A)=r,解解集（解向量组）为集（解向量组）为S,则则R(S)=n
8、-r证：证：第一步：和以前一样，将第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行最简形：系数矩阵化成行最简形：第二步：仍然是写出与第二步：仍然是写出与 A A 对应的齐次线性方程组的同解方程组对应的齐次线性方程组的同解方程组第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间9线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性代入同解方程组依次可得：代入同解方程组依次可得：第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间10线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量第四步：整理得出齐
9、次线性方程组的一组解向量: :第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间11线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性该定理的论证说明了两点：该定理的论证说明了两点：第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间12线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间13线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性4.4.齐次线性方程组的求解结论：齐次线性方程组的求解结论：根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理
10、及其推论，根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：我们可以得到如下结论：（4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是唯一的唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.（3）齐次线性方程组）齐次线性方程组(1)的任何的任何 n - r 个线性无关的解向量都个线性无关的解向量都可作为它的基础解系可作为它的基础解系.（1）当）当 R(A) = n 时时,齐次线性方程组齐次线性方程组(1)只有零解只有零解,无基础解系无基础解系;（2）当）当 R(A) n 时时,齐次线性方程组齐次
11、线性方程组(1)的基础解系含有的基础解系含有n r 个解向量个解向量 .第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间14线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间15线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间16线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间17线性代数线性代数 第四章第四章 向量
12、组的线性相关性向量组的线性相关性（二）非齐次线性方程组的通解（二）非齐次线性方程组的通解1.非齐次线性方程组的解向量的性质非齐次线性方程组的解向量的性质设有非齐次线性方程组（4）它也可写作向量方程它也可写作向量方程（5）性质性质3 3的齐次线性方程组的齐次线性方程组的解的解.（6）设设 及及 都是都是（5）的解的解，则则 为对应为对应第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间18线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性证证所以 满足方程（6）.证证即 满足方程（5）.性质性质4 4 设设 是方程（是方程（5 5）的解，）的解， 是方程（是方
13、程（6 6）的解，）的解，仍是方程（仍是方程（5 5）的解）的解. .则则称上式为非齐次方程组称上式为非齐次方程组AX=b的通解的通解第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间19线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间20线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间21线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方
14、程组解的解构与向量空间22线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性二、向量组概念的拓展二、向量组概念的拓展空间的概念空间的概念封闭：封闭：设设 V 是一个集合，是一个集合， 若若 V, 则则 V；V, 则称则称 V 对于加法及数乘运算是对于加法及数乘运算是封闭封闭的的.定义定义1 1： 设设 V 为为 n 维非空维非空 向量集合，向量集合，及乘数两种运算封闭，及乘数两种运算封闭，且集合且集合 V 对于加法对于加法则称集合则称集合 V 为为向量空间向量空间.1.向量空间的定义向量空间的定义定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 V1 及及 V2 ， 若若V1 V2，
15、就称就称 V1 是是 V2 的的子空间子空间.例例1 : 齐次线性方程组的解集齐次线性方程组的解集是一个向量空间是一个向量空间.(解空间解空间)第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间23线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例2 : 非齐次线性方程组的解集非齐次线性方程组的解集,不是向量空间不是向量空间当当 解集解集 S 为空集时为空集时,不是向量空间不是向量空间;当当 解集解集 S 非空时非空时,也不是向量空间也不是向量空间. 结论：等价的向量组所生成的向量空间相同。结论：等价的向量组所生成的向量空间相同。证：证： 设 V1 ,
16、则 可由 线性表示，例例3: 设向量组 与向量组 等价， 记试证试证第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间24线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性又可由 线性表示，则 可由 线性表示，所以即若V1 , 则V2,所以 V1 V2；同理可证：若V2, 则V1 ，所以 V2 V1. V1=V2.2.向量空间的最大无关组向量空间的最大无关组基的概念基的概念（1 1）基的定义）基的定义设设 V 为向量空间，如果为向量空间，如果 r 个向量个向量 V, 满足满足 （i） 线性无关线性无关；（ii）V 中中 任任 一一 向量都由向量都由 线性表示
17、，线性表示，那么，向量组那么，向量组 称为称为向量空间向量空间 V 的一个基的一个基,r 称为向量空间称为向量空间 V 的的维数维数，并称并称 V 为为 r 维向量空间维向量空间. 特别地：特别地：如果向量空间如果向量空间 V 没有基没有基则则 V 的维数为的维数为0。0 维向量空间只含一个零向量 0. （2）结论）结论1：任何任何 n 个线性无关的个线性无关的 n 维向量都是向量空间维向量都是向量空间 Rn 的一个基，由此可知的一个基，由此可知 Rn 的维数为的维数为 n .第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间25线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相
18、关性向量组的线性相关性 分析：因为任意分析：因为任意n n1 1个个n n维向量线性相关，所以按照维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n n维维向量都能由这向量都能由这n n个线性无关的个线性无关的n n维向量线性表示。显然，维向量线性表示。显然，n n个无关向量可自身表示，故以上结论成立。个无关向量可自身表示，故以上结论成立。（4）向量由基线性表示的系数）向量由基线性表示的系数坐标坐标数组 称为向量 b 在基 中的坐标坐标.（3）过渡矩阵概念：）过渡矩阵概念：第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间26线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性例例4: 设设验证验证 是是 R3 的一个基，并求的一个基，并求 在这个基中的坐标在这个基中的坐标.解解因 R(A)=3 ， 故 为 R3 的一个基，第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间27线性代数线性代数 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性且第十一讲：方程组解的解构与向量空间第十一讲：方程组解的解构与向量空间28
