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1、一一 、矩阵的定义、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的数表列的数表2.1.1 2.1.1 矩阵的定义矩阵的定义 2.1 2.1 矩阵及其运算矩阵及其运算第二章第二章 矩矩 阵阵1简记为简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵.称为称为 矩阵矩阵. .记作记作元元2例如例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.3二、几种特殊矩阵二、几种特殊矩阵(1)(1)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵称为行矩阵( (或行向量或行
2、向量) ).(2) 只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵( (或列向量或列向量).).4 （3）元素全为零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零零矩阵记作矩阵记作 或或 . .注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如5例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.(4)(4)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶方阵方阵. .也可记作也可记作(5)(5)三角矩阵三角矩阵上三角矩阵上三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵6记作记作（6）形如形如 的方阵的方阵, ,不全为不全为0 称为称为对角对角对角对角矩阵矩阵矩阵矩阵( (或或对角
3、阵对角阵对角阵对角阵）.（7 7）数量矩阵）数量矩阵（8 8）单位矩阵）单位矩阵7（9 9）对称阵）对称阵 如果如果n阶矩阵阶矩阵A=（aij）的元素满足）的元素满足aij=aji (i,j=1，2， ，n），则称），则称A为为n阶阶对称矩阵对称矩阵 ，如，如（1010）反对称阵）反对称阵 如果如果n阶矩阵阶矩阵A=（aij）的元素满足）的元素满足aij= aji (i,j=1，2， ，n），则称），则称A为为n阶阶反对称矩阵反对称矩阵 ，显然，显然aii=0（i=1，2， ，n） 如：如：8例如例如为为同型矩阵同型矩阵. 一、一、同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1. 1.两
4、个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等, ,列数相等时列数相等时, ,称为称为同型矩阵同型矩阵.2.1.2 2.1.2 矩阵的运算矩阵的运算 9例例1 设设解解 2. 2.两个矩阵两个矩阵 为为同型矩阵同型矩阵,并且对应元素相等并且对应元素相等,即即则称矩阵则称矩阵 相等相等,记作记作10、定义、定义二、矩阵的加法、减法二、矩阵的加法、减法 设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为11说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如122 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律131 1、
5、定义、定义三、数与矩阵相乘三、数与矩阵相乘142 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的线性运算统称为矩阵的线性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数）151、定义、定义并把此乘积记作并把此乘积记作设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中四、矩阵与矩阵相乘四、矩阵与矩阵相乘16例例2设设例例3 317故故解解18注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩
6、阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例如例如不存在不存在.192、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律（其中（其中 为数）为数）; 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 20注意注意（1）矩阵不满足交换律，即：）矩阵不满足交换律，即：例例 设设则则21但也有例外，比如设但也有例外，比如设则有则有22注意注意（2）非零矩阵相乘，可能是零矩阵，即由）非零矩阵相乘，可能是零矩阵，即由例例 设设则则23注意注意（3）两个矩阵的乘法不满足消去律，即由）两个矩阵的乘法不满足消去律，即由则则例例 设设24例例4 4 计算下列乘积：计算下列乘积：解解25解解=( (）2
7、6定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例、转置矩阵、转置矩阵五、矩阵的转置五、矩阵的转置 272、转置矩阵的运算性质、转置矩阵的运算性质28例例5 5 已知已知解法解法129解法解法230例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 证明证明31六、方阵的行列式六、方阵的行列式1、定义、定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或2、运算性质、运算性质32七、共轭矩阵七、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表
8、示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵. 运算性质运算性质33小结小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念34(2) 特殊矩阵特殊矩阵方阵方阵行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵; ;对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵;零矩阵；零矩阵；数量矩阵；数量矩阵；上、下三角矩阵上、下三角矩阵；对称、反对称矩阵对称、反对称矩阵.35矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵三三36（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相
9、乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算进行加法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.37思考题（1 1）矩阵与行列式的有何区别）矩阵与行列式的有何区别? ?成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?（2 2）（1）矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个）矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.（2 2）故故 成立的充要条件为成立的充要条件为38
