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1、多元函数微分学多元函数微分学Calculus of Functionsof Several Variables条件极值条件极值1条件极值最新三、有约束极值三、有约束极值(条件极值条件极值)， Lagrange乘数法乘数法 以下称待讨论极值问题的函数为以下称待讨论极值问题的函数为目标函数目标函数。l 这一章讨论的极值问题有两类：这一章讨论的极值问题有两类： 无约束极值无约束极值只在目标函数的定义域只在目标函数的定义域 范围内讨论极范围内讨论极(最最)值问题。值问题。(例例1 12 2) 有约束极值有约束极值在附加约束在附加约束(constraints) 条件下，讨论目标函数的极值问题。条件下，讨
2、论目标函数的极值问题。2条件极值最新求求如如 k=1, 求求 如如 k=2, 求求 下的极值。下的极值。”1. 条件极值在数学上的提法条件极值在数学上的提法3条件极值最新l 解决条件极值问题解决条件极值问题总的思路总的思路是，将其转化是，将其转化 为无约束极值为无约束极值, 但是当条件为方程但是当条件为方程(组组)给的给的 隐函数时，转化有困难，从而产生了下述隐函数时，转化有困难，从而产生了下述 方法方法 Lagrange乘数法乘数法。2. 条件极值的必要条件与条件极值的必要条件与 Lagrange乘数乘数法法l 以下先分析以下先分析 Lagrange 乘数法的原理，从乘数法的原理，从 而得出
3、条件极值的必要条件而得出条件极值的必要条件, 然后讲然后讲乘数乘数 法法的具体作法。的具体作法。4条件极值最新于是问题转化为求于是问题转化为求 的无约束极值的无约束极值 若问题在若问题在 获得极值获得极值, 满足满足(前面前面定理定理1 1给出的给出的) 极值的必要条件极值的必要条件 则在该点则在该点对对5条件极值最新 特别在条件极值点特别在条件极值点 处，有处，有 事实上对事实上对两边取全微分两边取全微分(用一阶微分的形式不变性用一阶微分的形式不变性)，得，得 请注意这里的请注意这里的与与 中的一样中的一样, 它具有任意性它具有任意性, 且非零。且非零。6条件极值最新若记若记 两式两式说明说
4、明 故故 在曲在曲即即面面 =0上上 点点处的切平面上，处的切平面上，又从又从 有有 7条件极值最新说明说明于是得到于是得到亦即在亦即在M0 点：点：下的极值的必要条件下的极值的必要条件由于由于 在切平面在切平面上的任意性，上的任意性，说明说明 也是切平面在也是切平面在点处的法方向，因此点处的法方向，因此8条件极值最新 由于此结果又相当于一个四元函数：由于此结果又相当于一个四元函数：取得无约束极值的必要条件取得无约束极值的必要条件,函数，函数，F 称为称为Lagrange称为称为 乘数，乘数，9条件极值最新称为称为Lagrange 乘数法乘数法。 用用Lagrange乘数法求条件极值的步骤：乘
5、数法求条件极值的步骤： 分析问题的目标函数分析问题的目标函数 和约束条件和约束条件 , 作出相应的作出相应的Lagrange函数函数: :而把而把 作为取条件极值的必要条件的方法作为取条件极值的必要条件的方法 按按 取无约束极值的必要条件取无约束极值的必要条件 先求出先求出10条件极值最新 类似地，可以解决两个约束条件的条件类似地，可以解决两个约束条件的条件驻点及偏导不存在的点，然后可按驻点及偏导不存在的点，然后可按 定理定理2 2判定极大、极小值判定极大、极小值 ( 还可讨论最大还可讨论最大,小值小值 )。求出它。求出它。其中其中 是作为一个辅助工具是作为一个辅助工具,有时未必需要有时未必需
6、要极值问题，其极值问题，其Lagrange函数为：函数为：11条件极值最新例例4 4在周长为在周长为 2p (常数常数) 的一切三角形中，的一切三角形中，等边三角形面积最大。等边三角形面积最大。解解 设三角形的三边长为设三角形的三边长为 x, y, z, 为简化计算，取目标函数为简化计算，取目标函数而约束条件为而约束条件为则面积为则面积为12条件极值最新取取 得唯一驻点得唯一驻点:令令 13条件极值最新例例5 5截旋转抛物面截旋转抛物面其截口是一个椭圆其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高求截口椭圆上的最高点和最底点。点和最底点。解解 求最高点和最底点的目标函数是求最高点和最底点的目标函数是14条件极值最新但这个极值问题受限于两个约束条件，但这个极值问题受限于两个约束条件，是条件极值问题，设其是条件极值问题，设其Lagrange函数函数为为利用条件极值取得极值的必要条件利用条件极值取得极值的必要条件15条件极值最新令令 从从可知若可知若矛盾矛盾 所以所以 因而得到：因而得到：再代入再代入 ,得得 然后由然后由16条件极值最新即得即得于是因于是因而求得最高点为而求得最高点为最底点为最底点为接习题课接习题课作业作业（5月月10日日） P.68-习题习题5.4 (A)N.10 13； 选选: (B) N.1, N.2；17条件极值最新
