工科物理13量子理论初步.ppt

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1、兰州理工大学兰州理工大学 理学院理学院戴剑锋戴剑锋 李维学李维学 王青王青 编著编著工科物理工科物理工科物理工科物理量子力学简介第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步上页上页下页下页返回返回 19世纪末，经典物理学已发展到相当完善的地步。然而，就在这时候，“经典物理学出现危机，其天空出现两朵乌云” 包括迈克尔逊寻找“以太”的失败，这一片乌云在相对论诞生之后消散；还包括 “紫外灾难”，光电效应、低温情况下固体的摩尔热容量、原子光谱等，对这些实验的解释导致量子论的出现。相对论和量子力学的创立是二十世纪最伟大的科学进步。谈论相对论的质能转换、质量速度关系、量子力学的波粒二象性、隧道贯穿等与我们日

2、常的经验如此相悖，简直是匪夷所思。量子力学的建立，推动了一场新的工业和技术革命。能带论正是20世纪上半叶将量子力学应用于固体中电子状态的研究而发展出来的理论。第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步一、热辐射一、热辐射任何物质在任何温度下都吸收一定波段的电磁辐射，同时在也发射一定波段的电磁辐射。实验表明，吸收本领与发射本领之间存在某种确定关系，吸收本领越大，发射本领也越大。但是，其发射的电磁波图谱随温度而改变，温度越高，发射的能量越大，发射的多数电磁波波长越短，例如，在炉子中加热铁块，起初看不到它发光（

3、实际上发的是红外光），随着温度的升高，其发出的光波由暗红色逐渐变成黄白色，当温度再升高直到很大时，发出青白色的光。可见，随着温度的升高，辐射的总能量急剧增大。同时，随着温度的升高，辐射强度最大的电磁波的波长也越短。 第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 一般来说，辐射到不透明物体表面的电磁波，一部分被物体吸收，另一部分被物体反射，物体的吸收本领和物体的性质有关，黑的东西能吸收各种入射的光波，是一种好的吸收体，例如，烟黑能够吸收电磁辐射的95%以上。 物理学上引入一种“绝对黑体”的模型，即不论何种波长

4、的电磁辐射以何种角度、何种强度入射都能吸收。无疑，绝对黑体也是良好的辐射发射体。一个开一个小洞的空腔可近似模拟绝对黑体，因为任何由洞口入射的光线会在腔内经多次反射而被吸收，而再由洞口发射回来的机会是极小的，如图13-1所示，白天我们从远处瞭望大楼上的门窗都是黑的，就是这个原因，尽管室内的人感到周围很明亮。第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步实验表明，对于黑体，不论其腔壁是何种材料做成，只要腔壁和腔内辐射处于平衡状态，温度一定，从小孔射出的辐射的性质及实验规律则总是相同的。因此对于具体热辐射规律的研究

5、就具有普遍意义。物理上 ，用 来表示物体从单位表面积上辐射的波长在附近的单位波长间隔内的电磁波功率，简称单色辐出度。它包括所有波长在内的电磁波的总辐射功率用M(T)表示。应有 （13-1）第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步图13-2是测量空腔黑体热辐射的示意图。图13-3给出了不同温度下黑体辐射的单色辐出度与波长的关系。横坐标表示波长，纵坐标表示 的值。由图可见在长波（低频）与短波（高频）范围辐射均衰减为零，在某一波长达到极大值。图13-2 黑体热辐射测量示意图第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化

6、假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 二、根据实验曲线，得出了有关黑体热辐射的两条重要定律。 （1）1893年维恩（W.Wein）根据热力学理论导出曲线极大值处的波长 与相应的温度T有一特殊关系：（图13-4） 黑体辐射的能量分布（13-2）（其中 为一常数）可见，单色辐出度极大值对应的电磁波的波长随温度T的升高而减小，温度升高时，波长将向短波方向移动第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步（2）斯忒藩-玻耳兹曼定律1879年斯忒藩（J.Ste

7、fan）根据实验总结出黑体的辐射出射度与黑体的温度的四次方成正比，1884年，玻耳兹曼（L. Boltzmann）根据热力学理论也导出同样的结论：（13-3）式中斯忒藩常数： 三、普朗克的能量子假设三、普朗克的能量子假设1893年，维恩根据热力学理论推导了黑体辐射的规律： （13-4）第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步式中 和 是常数，上式称为维恩公式。结果在短波段与实验一致，而在长波范围与实验不相符 1900年至1905年，瑞利（L.Rayleigh）与金斯(J.Jeans) 根据经典电动力学理

8、论推导出黑体辐射的瑞利-金斯公式：结果恰恰相反，只在长波范围符合实验结果，在短波范围完全与实验不符，竟趋向无穷大（如图16.1-2）。这一严重矛盾历史上称为“紫外灾难”，反映经典物理遇到难以克服的困难。1900年，普朗克利用内插法将维恩公式和瑞利-金斯公式衔接起来，提出了新的黑体辐射公式：（13-5）第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 式中， 为真空中的光速， 为玻耳兹曼常数， 为全新的常数，即普朗克常数， 。普朗克公式不但与实验结果非常吻合，而且可以由普朗克公式导出维恩公式和瑞利-金斯公式。 为

9、了揭示普朗克公式的理论依据，普朗克提出能量子假设：构成黑体空腔壁的分子、原子、电子的振动可视为，但这些谐振子的能量不像经典谐振子那样具有任意值，而具有某些分立的能量状态，这些谐振子在发射和吸收辐射时，只能是某一最小能量 的整数倍，即，（13-6）第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步n为正整数，称为量子数，对于频率为 的谐振子而言，最小能量为式中 就是普朗克常数。谐振子吸收辐射能后，从低能态到高能态的跃迁，谐振子从高能态到低能态的跃迁辐射能量。 按照普朗克能量子假设，频率为 的谐振子的能量为 ，其能量

10、遵循玻耳兹曼分布律，则谐振子的平均能量 （13-7）（13-8）第一节第一节 黑体辐射与普朗克量子化假说黑体辐射与普朗克量子化假说上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步又根据经典电动力学理论得到，黑体的单色辐出度为 必须强调的是 虽然数值很小，但辐射能量以 为单位的分立式变化从根本上是与经典物理相抵触的，经典物理认为频率为 的辐射，能量是连续变化且不受任何限制。然而，物理学必须承认实验事实并接受能解释实验事实的理论假说，即量子假说。普朗克的量子假说革命性地突破经典物理的极限，开创了量子力学的新纪元。（13-9）将 代入即可得到普朗克公式。第二节第二节 光电效应光电效

11、应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 1886-1887年，赫兹在验证电磁波的实验中发现，当接收线路中的锌球电极之一收到紫外线照射时，两个锌球之间就很容易有电火花产生，这就是最早观察到的光电效应。 1889年勒纳德（P.E.A.Lenard）证明，所谓的光电效应是在光的照射下电子从金属表面逸出的现象。我们称这种电子为光电子。对光电效应的解释同样使经典物理学捉襟见肘。经典理论无法解释何以光照金属表面所释放的光电子的能量与光强无关，而只取决于入射光的频率，恰与经典理论相反。爱因斯坦（A Einstein）进一步推广了普朗克的能量量子化的思想并假设光不仅在发射和吸收时

12、是量子化的，而且在传播过程也是量子化的，即光本身就是由光子组成的，每个光子的能量为 ，且光强与光子数成正比。第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步图13-5 光电效应实验装置示意图一光电效应实验规律一光电效应实验规律 1900-1902年，勒纳德通过实验获得光电效应的重要规律，规律揭示了光的量子本性。图13-5是光电效应实验的简要装置。当一定频率的光通过石英玻璃窗M（它允许紫外通过）照射在阴极K上时，光电子立刻从K表面逸出，在阳极A和阴极K之间的电压作用下从K向A运动，从而在电路中形成光电流。电压 和光电流可以分别通过电压表V和电流表G

13、测出来。分析实验数据即可以得到光电效应的规律。第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步当 增大到某一值时，光电流达到饱和值 ，此时，单位时间内从 表面逸出的电子全部被阳极吸收。图中 和 分别是两种不同强度的光照射下光电流的饱和值。如果以 表示单位时间从 表面逸出的电子数，e代表电子电量的绝对值，则饱和电流 。实验结果指出，饱和电流 与光照的强度成正比。实验得到，在两种不同强度光的照射下，光电流 和电压之间的关系如图13-6中的曲线所示。它表明，对应于一定的光强，所产生的光电流 将随着电压 的增加而增加。图13-6 光电效应的伏-安特性曲线

14、 第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步2.光电子最大初动能和入射光频率成正比 从图13-6可以看出，当电压 等于零时，光电流的值并不为零，这说明从阴极逸出的电子有一定的初动能； 而当 变为负值并且沿负方向增加时，光电流将逐渐变小直至电压为 时变为零。这时，只有具有最大初动能即最快的电子才能达到阳极，其最大的初动能 恰好用于克服电场力做功，即（13-10） 式中，e为电子电量的绝对值，光电流为零的反向电压值 称为遏止电压。实验指出，遏止电压 与光强无关，这表明 从极逸出的电子初动能与光强无关。第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下

15、页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 如果我们改变照射光的频率，则实验表明遏止电压 将随光照频率而成线性变化。图13-7表示各种频率的光照射在清洁钠金属表面上所得到的关系曲线 ，这是一条不通过原点的直线，数学解析式为 （13-11）式中， 为直线斜率， 是不随金属种类改变而改变的普适恒量， 为截距， 和 都为正数。对于不同的金属来说， 的量值不同，而对于同一金属 为一常数值。图13-7 遏制电压与光照频率的关系第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步（13-12） 如果将13-11式两端同乘以电子电量e，并且将式(13-1

16、0)代入其中，我们得到它表明光电子的最大初动能随入射光的频率 线性地增加，而与入射光的强度无关，它是能量守恒与转化定律在光电效应中的表现，同时它又显示了光具有一种与频率有关的能量。由于电子的最大初动能只能为正值，因而必须有 ，即要求照射光的频率满足关系 （13-13）第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步我们把能够产生光电效应的最小频率称为红限频率（或阈值频率）。一般说来，碱金属及其合金的红限波长较长，在可见光区；其它金属的红限频率多在紫外区。式(13-13)表明，当光照射在一个给定的金属表面时，无论其光强多大，只要光的频率小于这一金属

17、红限，则光电效应都不会产生。表13-1列出了几种金属的红限和逸出功。 第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步3.光电效应产生于瞬时 实验表明，不管照射光强多大，光电效应的产生不需要一段显著的时间而是在瞬时出现。二二 经典理论的解释及其困难经典理论的解释及其困难按照光的电磁理论，光是以波动形式在空间传播的。光的能量与振幅有关，用它对光电效应进行解释应该得到的结论如下：1 在光的照射下，金属中的电子吸收了光的能量而作受迫振动。所以光电子的初动能应该与入射光强有关，光强越大，光电子的初动能越大。2 只要照射光强足够大，不管光的频率大小如何，光

18、电效应都能够产生，即光电效应的产生与光频无关。第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步3 金属内受光照的电子，它吸收能量作强迫振动需要一定的时间才能逸出表面，因而光电效应的产生不可能是瞬时的。经典电磁理论对光电效应的解释与实验结果存在根本性矛盾，它反映了经典波动理论的局限性和不足。 1905年，爱因斯坦提出从一点出发的光线传播时，在不断扩大的空间范围能量是不连续分布的，而是由一个数目有限的局限于空间的能量量子组成的，他们在运动中并不瓦解，并且只能整个地发射或被吸收。”这就是说，光是由一群能量分立（即量子化）且以光速运动的光子组成，每一个频

19、率为的光子能量为，即（13-14）式中， 为普朗克常量。这样的光量子叫光子。第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步爱因斯坦的光子假设使人们对光的本性的认识又提高到一个新的高度，即，光同时具有波动性与粒子性两种特性波粒二象性。在某些场合，例如干涉与衍射主要表现其波性；而在与其它微观粒子相互作用时，例如光电效应中则主要表现其粒子性。现在光子的波粒二象性可由以下两式作概括性的表述。 （13-15）这里c是光速，p是光子的动量， 为光子的质量。1909年，列别捷夫通过精密的光压实验测量证实了光子动量的存在，而光子动量表达式的正确性又在康普顿效应

20、中得到检验。光子的相对论质能关系为 （13-16）第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步根据相对论的质速关系，当质点的速度为时，其质量 ，其中 为该质点的静止质量。由此可见由于对光子， ，光子的静止质量为零。显然，p与 表现光子的粒子性，而 表现其波动性。光子在传播过程中显示出波动性质，在与物质的碰撞、发射吸收过程中则又表现出粒子性。实践表明，这两种性质是不能互相取代的，它们都是光子这一微客体不可缺少的两个属性。爱因斯坦因对光量子论的奠基性贡献于1921年荣获诺贝尔物理学奖。 第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三

21、章第十三章 量子理论初步量子理论初步四、光子理论对光电效应的解释四、光子理论对光电效应的解释现在我们运用光的量子假设对光电效应作出做出定性的解释。当频率为 的单色光光子照射在金属上时，金属内的束缚电子将吸收一个光子的能量（同时吸收两个光子的几率是非常小的），其中一部分能量克服金属内部的势场做功（包括电子与其它粒子碰撞损失的能量），另一部分则成为电子逸出金属表面后的初动能。因此，光电子的初动能将只决定于照射光的频率，而与光的强度无关。于是，当照射光的频率小于某一值而使电子所吸收的能量不足以克服内势场做功时电子就不能逸出金属表面，光电效应便不能形成。因而电子逸出将是瞬间的，是因为电子吸收光子不需要

22、积累的时间 。这样，光电效应就获得圆满解释。当然，光电效应也就成了光子假设成立的实验证据。 第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步五、爱因斯坦的光电效应方程五、爱因斯坦的光电效应方程设照射光子的能量为，束缚电子逸出金属表面克服内势场和内碰撞所需要的最小功为A，则电子逸出表面是的最大初动能为（13-17）式中， 电子的质量， 为最初速度，A为电子的逸出功。逸出功A与金属的材料有关，不同的材料逸出功A不同，A的值可由实验测定（表13-1）。式13-17称为爱因斯坦光电方程。如将光电方程与式（13-12）作一比较我们得到 （13-18）第二节

23、第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步该式不仅对 曲线中的斜率K和截距 的物理意义做出了解释，而且提供了一个测定普朗克常量h和逸出功A的实验方法。因此测量光电子的遏止电压（即光电子的最大初动能）与照射光频率之间的依赖关系，既能验证爱因斯坦方程，又可测定普朗常量h和逸出功A的值。密立根在光电方程提出之后，于1914年成功地由实验验证了光电方程的正确性，并且较准确地测定了普朗克常量h的值为光电效应在科学技术和日常生活中还得到广泛的应用。例如，利用光电管把光讯号转换成电讯号已进行自动控制；利用电视摄像管通过光电转换把光讯号向空中发射：利用电影机通过

24、光电效应得到声响转换为电讯号的效果等。第二节第二节 光电效应光电效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步例题13-1 已知钠的电子逸出功为2.486eV。试求：（1）钠的光电效应红限波长；（2）波长为入的光照射在钠上时，钠所放出的光电子的最大初速度。 解 （1）由 和 ，可得将已知数据代入上式计算，得 m （2）根据爱因斯坦光电方程，依据题意，将 代入，整理后得光电子的最大初速度为将已知数据代入计算，得 ：第三节 康普顿效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步康普顿效应的实验规律康普顿效应的实验规律图13-8是康普顿散射实验的装置。实

25、验时波长为0.071nm的X射线（钼Ka射线）作为入射光，投射到石墨上。这时，X光将向各个方向散射。散射光可以用晶体探测器接收，测出沿各散射方向散射光的波长和强度。得到几条实验规律：第三节第三节 康普顿效应康普顿效应 1922-1923年，美国物理学家康普顿（A.H.Compton）和中国科学家吴有训在晶体对X射线散射的实验中发现，在散射的光线中出现了与入射光波长不同的散射光。把这种改变波长的散射叫做康普顿效应。第三节 康普顿效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步1当散射角 时，在入射光的原方向上出现的散射光与入射光的波长相同，而且也仅只此一种光。2当散射角 ，

26、例如45、90、135等角度时，散射光中同时存在着等于入射光波长和大于入射光波长的两种光。3散射光波长的变长量随着散射角的增加而增加。 图13-8 康普顿效应实验装置和实验曲线 第三节 康普顿效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步康普顿效应的量子解释康普顿效应的量子解释 为了从理论上解释康普顿效应，康普顿作了如下假设：1，X光是一束光子流，光子的能量为 ,动量为 。2，散射体（石墨）对X光子的散射，实质上是散射体中的自由电子与束缚电子分别于一个光子的碰撞过程。3，X光子与自由电子的碰撞是弹性碰撞，遵从动量守恒与能量守恒定律。这种碰撞是形成波长改变的原因。理论表明

27、，光的量子论假设能圆满的解释康普顿效应。并且，我们可以推出，原子量较小的物质散射体其康普顿散射较强；而原子量较大的物质散射体，其康普顿散射就会较弱。第三节 康普顿效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步13-9 光子与电子的碰撞三、康普顿散射公式三、康普顿散射公式图13-9表示了一个光子与一个自由电子的碰撞情况。设光子的初始能量为 ，电子初速为0（在晶体中，束缚较弱的电子能量仅为几个电子伏特，而X光子能量为几千电第三节 康普顿效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步子伏特，故这种假设是基本合理的。这样假设可以简化计算），经碰撞后光子沿

28、与入射方向成 角的方向散射，且能量为 ；而电子则沿与入射方向成 角方向散射（称为反冲电子），且速度为v,能量为 (考虑 一般比较大)。则依据碰撞前后能量守恒和动量守恒，我们可以得到（13-19）（13-20）第三节 康普顿效应上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步式中， 和 分别表示光子入射方向和散射方向的单位矢量。考虑到相对论质量和光子的频率与波长的关系和可以得到（13-21）上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第三节 康普顿效应式中， 和 表示光子散射前后的波长。令 并且将 ， 和 代入上式，得到称 为康普顿波长。此时13-19式可

29、以改写为上式表明，散射光波长的改变量 取决于康普顿波长和散射角的余弦值。这个结论与从实验所得的由图21-4-1所表示的规律是一致的。 （13-23）（13-22）上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第三节 康普顿效应1923年威尔逊通过云室的方法观察了康普顿效应中的反冲电子的径迹，这就用实验检验了康普顿效应应用量子理论解释的正确性。康普顿效应无可辩驳地证明了量子假设（光子理论）包括光子的能量式 和 的正确性，证明了能量守恒与转化定律和动量守恒定律对于微观领域单体作用过程也是成立的。特别地它显示了光的波粒二象性这一奇特的性质。上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章

30、 量子理论初步量子理论初步第四节 微观粒子的波粒二象性一、微观粒子的波粒二象性一、微观粒子的波粒二象性 自从1905年爱因斯坦光子理论建立之后，人们第一次看到波动性和粒子性这两个概念在光子这一客体上实现了统一，光子既具有波动性同时也具有粒子性。德布罗意受光子波粒二象性的启发，认为以前人们对光的认识侧重于波性，忽略了粒子性；而对于像电子这样的微观实体则过分强调实体的粒子性，却忽略了其可能具有波动性。为此他提出：任何物体都伴随着波，而且不能把物体的运动与波的传播分开。微观的实体粒子也具有波粒二象性的假说，而且它们之间的联系也具有类似于式13-15，和式13-16的关系，即（13-24）（13-25

31、）上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步以上两式简称德布罗意方程。它把粒子性的特征量与波的特征量有机的统一起来，显示了粒子波粒二象性之间的本质关系。由于普朗克常量 的值很小，因而与宏观粒子相伴随的物质波长，认为趋近于零，即宏观粒子不显示波动性。普朗克常量 可以看作微观量与宏观量的分界。德布罗意方程对于包括光子在内的一切微观粒子都是有效的，是一个普适性方程。第四节 微观粒子的波粒二象性三、自由粒子的德布罗意波长三、自由粒子的德布罗意波长以速度v作匀速直线运动的粒子称为自由粒子。设它的静止质量为 ，若其速度v远小于真空中的光速c时，伴随它的德布罗意波长为（13-26）上

32、页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第四节 微观粒子的波粒二象性由于自由粒子的速度v为一个确定值，所以对应的波长 为确定值，从而与自由粒子相伴随的德布罗意波与经典的平面波相对应。如果自由粒子的运动速度很高且可以与光速c相比较，那么，它伴随的德布罗意波长为（13-27）若自由粒子是一个由电压U加速后的电子，则它的德布罗意波长可以用这个电压U来确定，现推证如下。速度为V的电子动能E为上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第四节 微观粒子的波粒二象性因此（13-28） 而 ，故：（13-29）将电子质量 、电量e及普朗克常量h之数值代入（23-

33、1-8）式，得（13-30）由于 反比于 ，利用上式我们很容易得到其它能量电子的波长，如表13-2所示。表13-2 不同能量的电子波长 上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第四节 微观粒子的波粒二象性四、戴维逊四、戴维逊革末实验革末实验1927年戴维逊和革末通过晶体对电子的散射实验，实际地观测了电子德布罗意波的衍射（图13-10d），实验结果无可辩驳地给德布罗意波的存在以有力的科学支持。图13-10a是实验的简要装置。灯丝加热后发出电子，经过加速电压 的加速后从电子枪中射在镍（ ）晶体表面上，经反射后电子可以沿各方向散射。在与电子入射方向成 角的反射方向上装上一个

34、探测器以收集这一个方向的反射电子，由此可以确定在不同的电压 加速下沿 方向的电子强度的分布。另外上式告诉我们，物质粒子的波长 反比于 。因此粒子越重，波长越短。对于宏观的粒子，它们的波长可以忽略不计。 上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第四节 微观粒子的波粒二象性图13-10 戴维逊革末实验 在一次实验中，戴维逊采用5 4V的电压加速电子使电子从电子枪中垂直地入射在镍单晶面上。经过反射以后，在与入射方向成 角的反射方向上发现了电子分布的第一个极大值，其它方向出现极小值，如图13-10b所示。 上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第四

35、节 微观粒子的波粒二象性如果认为电子具有波动性，这一现象就能得到圆满的解释，它只不过是由于反射后的电子波的干涉而形成的，干涉的极大条件我们可以利用图13-10c 得到。如图13-10c所示，有两束平行的电子波分别入射到原子a和b上，a与b相距为D(晶面内原子间距)。反射的波线与入射线成 角，反射波干涉加强的条件为式中， 为波程差， 代表实验用的电子波长。由图13-10c可知则（13-31）令 ，在本实验中， ，上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第四节 微观粒子的波粒二象性则， ，这样，通过晶体对电子的衍射实验我们测到了电子的德布罗意波长。现在把这一结果与德布罗意

36、理论值作一个比较。在本实验中，使用的加速电压 ，由13-30式可见计算值与电子衍射实验所测得的 值符合得很好，这样，不仅证明了德布罗意波的客观存在，而且也检验了德布罗意波长公式的正确性。（13-32）经典理论表明，质点在空间的位置是可以完全确定的，即可以任何精度测量的。经典理论还认为平面波不可能存在于某一点，它分布在无限的空间。光的粒子性和电子波动性的发现使我们认识到光和微观粒子都具有波粒二象性。上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系这样，我们必须重新认识微观粒子，粒子和波是两个相对的概念。在任一时刻，粒子只能出现在空间的某一位置，而波可以同时出现

37、在不同的位置，而这种性质导致了许多奇妙的量子现象，由波所表示的空间位置的不确定性确实反映了微观粒子所具有的普遍属性。 从量子力学的结论可以知道，微观粒子运动不具有确定的轨道，因而不能用实验来同时准确地测量微观粒子的位置(坐标)和动量。这不是由于仪器或测量方法的缺陷，而完全是由于微粒子的波粒二象性造成的。如果仍然使用坐标和动量来描述微粒子的运动状态，那么微观粒子的坐标和相应的动量都存在不确定性。上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系一、电子单缝衍射实验一、电子单缝衍射实验如图所示，是电子束衍射实验，一束沿y方向飞行的电子从左边垂直入射到开一狭缝的的衍

38、射屏，屏的右方一定距离处设置一个与衍射屏平行的对电子敏感的感光胶片作为记录介质，可以记录电子的踪迹。当电子束流很强时，胶片上接收到的电子流强度的分布，实验表明，在正对衍射缝的区域电子流强度最大，可视为中央明纹，两侧则对称分布明暗相间的衍射纹。这无疑是电子波动性的表现。图13-11 电子束的单缝衍射上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系实验表明，让电子流的强度减小，以致每次只能有一个电子通过狭缝到达感光胶片，但延长实验的时间，实验结果仍然相同。在这种情形下仔细观察，当实验开始不久，只有少数电子抵达感光片时，被电子击中的位置并无一定的规律，也就是说单个

39、电子到达胶片的位置呈现出概然的或随机的性质，并不能预见各个电子到达的位置。但是，随着时间的增加，到达的电子数越来越多，统计规律性便明显的呈现出来，而表现出与短时间内高强度电子束通过狭缝一样的衍射图像。 1989年日本物理学家Tonomura等人又做了一个非常漂亮的电子双缝干涉实验，干涉图样（图13-12）。干涉和衍上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系射都是波动现象的基本特征，因此电子具有波动性质不容置疑。微观粒子的波动性不是电子独有的，实验已经证实中子、质子等等微观粒子都具有波动性。隧道扫描显微镜就是利用电子的波动性产生量子效应的典型例子。因此经

40、典粒子模型不可能描述这种量子现象，我们必须建立新的模型。图13-12 电子双缝干涉图样上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系实验中假设入射电子束流很弱，电子波是一列一列地穿过狭经。入射电子动量沿轴 方向，即 如图13-11所示，狭缝的宽度为d，一束电子，以速度 (动量 射向屏上的狭缝，由于电子有波动性，其德布罗意波长为 ，当它通过狭缝时，会产生电子波的单缝夫琅禾费衍射现象。图中 处为单缝衍射零级极大中心，另有 处出现第一级极小。零级的电子强度最强，在其两侧，依次还有1级、2级次极大值，不过相对于主极大，次极大的强度都很小。电子穿过狭缝后的动量发生了

41、变化，表现为 不再为零。由于电子绝大多数最终射在中心主极大内，而主极大的半上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系角宽度又很小，假设电子通过狭缝时动量 大小不变，而只变方向，则射向衍射角 方向的电子将有 方向的动量若是代人单缝衍射第1级极小的条件 ，则有等式（13-34） （13-33）若是再考虑那些射向次极大的电子，它们透过单缝后在x方向的动量还要大一些，即（13-35）上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系理解这个不等式的意义，首先结合电子透过单缝的过程进行分析。单个电子作为物质粒子的结构线度非常小，

42、它穿过单缝时，具体从哪一个坐标点穿过，我们是无法确定的。反之，我们能够确定的是电子穿过单缝时，它们在X坐标轴上的最大取值和最小取值分别 ，所以，电子穿过单缝时的位置不确定范围是 。其次，考虑透射电子的动量不确定量。透过单缝后的电子在X方向动量分量是不同的，它们随衍射角 而变化。而透过单缝后打在主极大中心位置的电子（衍射角 ） 透过单缝后依然沿着Y轴，在X轴方向动量分量为 而那些透过单缝后打在次极大的电子，它们在X轴的动量分量 ，即有电子在X方向动量不确定范围上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系（13-36） 根据 和 ， 则 ，（13-37） 综

43、上所述，狭缝对电子的运动产生了两种限制：一是将它在x轴坐标限制在缝宽 的范围内；二是使它在x方向的动量分量发生了 的不确定量。这两种限制是同时发生的。不可能只限制其中一个而不限制另一个量。式13-37称为海森伯不确定关系式。这里 和 是x和p的标准误差。不确定性关系告诉我们：处于任何一个状态中的物质粒子的位置和动量是不可能同时有确定值的，是物质粒子的固有性质，由它的波动性导致的。如果粒子处于位置完全确定的状态，那么它的动量就完全不确定；当然 上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系粒子也可以处于一种位置和位置和动量都不确定的状态。注意，不确定关系对

44、或 各自的大小没有任何限制。 该关系式还可以推广到三维运动的情况，即每个坐标轴上的分运动都有这个动量和坐标的不确定关系式（13-38） 在经典物理中，我们很自然地认为粒子的位置和动量可以同时有确定的值。而且原则上我们可以把它们测量到任意的精度。但海森堡不确定性关系告诉我们这是错误的。我们不可能同时测量位置和动量到任意的精度。这里我们再一次看到微观粒子和经典粒子的不同之处。 上页上页下页下页返回返回第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步第五节 测不准关系不确定关系不仅存在于坐标与动量之间，也存在于能量和时间之间。如果微观粒子处于某一状态的时间为 ，则其能量必有一个不确定量 ，由量子力学可以推

45、导出它们之间的不确定关系为（13-39） 以氢原子中的电子为例，存在一系列的能级，最低能级 称为基态能级，而能量较高的能级 称为激发态能级。如果氢能级由于某种原因被激发到激发态，电子处于某一 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步上页上页下页下页返回返回 5 测不准关系测不准关系例题13-2 试比较电子和质量为10g的子弹在确定它们的位置时的不确定量。假定它们都在 方向以 的运动速度，速度的测量误差在 以内。解 依据不确定关系 ，有 如果令 对于电子则有 5 测不准关系测不准关系第十三章第十三章 量子理论步量子理论步 上上 页页 下下 页页 返返 回回故对于子弹则第十三章第十三章 量子理论

46、初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 可以看出，电子的位置根本不能确定，因而也就不能用经典力学处理。而子弹位置的不确定量是非常小的，用经典力学来处理子弹的运动就足够精确。 5 测不准关系测不准关系5 测不准关系测不准关系 例题13-3 电视显像管中，电子的速率为 ，电子枪的口直径取 ，求电子射出电子枪后的速度的不确定量。第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 解 我们把与电子运动方向相垂直的方向定为横向，电子横向的不确定量为电子枪的口径，即 。设电子在出口处速 度横向偏移量为 ，则有不确定关系近似有 5 测不准关系测不准关系 得6 玻尔的原子量子理论

47、玻尔的原子量子理论第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 原子量子论是玻尔（N.Bohr）把量子概念引进原子结构之中所获得的一个伟大的理论结果。一、氢原子光谱的实验规律氢原子光谱的实验规律原子光谱是反映原子结构特点的特征谱。最早得到的氢原子光谱是可见光区和紫外光区中的几条谱线，这些谱线组成了一个光谱系列，称为巴耳末光谱系,它成了人们研究光谱分布规律的起点。 6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 图13-13 氢原子实验光谱图13-13是氢原子巴耳末系光谱图。光谱图的特点：（1）每一谱

48、线有确定位置, 对应着一定波长值;（2）两谱线的间距, 即波长差是确定的;（3）谱线间距的大小沿短波方向递减。 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页下页下页 返回返回 瑞士中学教师巴耳末在1885年提出巴耳末公式，形式如下： （13-40） 式中， 表示谱线的波长， 为一常数，n为一正整数系列。我们把服从巴耳末公式的一系列谱线波长之集合称为巴耳末光谱系。6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 若 波数定义为波长 的倒数，即（13-41）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下页下页 返回返回 巴耳末公式变为 （13-4

49、2）式中， 称为里德伯常量。赖曼（Lyman ）系（紫外区） （13-43）巴耳末（Balmer）系（可见光区） （13-44）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下下 页页 返返 回回帕邢（Paschen）系（红外区）（13-45） 布喇开（Brackett）系（红外区） （13-46） 普芳德（Pfund）系（红外区） （13-47） 返回返回 6 玻尔的原子量子玻尔的原子量子 理论理论第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 归纳上述各式可以得到表征氢原子光谱系的更为一般的光谱公式 （13-48）称13-4

50、8式为广义的巴耳末公式.6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下页下页返回返回 二、二、 原子的有核结构模型原子的有核结构模型 1911年卢瑟福提出了原子的核型模型年卢瑟福提出了原子的核型模型： 原子中心是一个带正电的半径约10-14m左右的原子核, 集中了原子大部分的质量, 电子在闭合轨道上绕核旋转. 经典模型与光谱规律之间的矛盾:电子作变速运动,其能量以电磁波的形式向外辐射,能量逐渐减少,轨道半径越来越小,电子最终将落到核上,而不可能稳定绕核运动。 6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 返回返回 第十三章第十三章 量子理论初步量

51、子理论初步 上上 页页下页下页 由广义的巴耳末公式可得出：由此可知：（1）光子能量=能量之差，是不连续的值. （2）能量状态的改变伴随着光子的辐射 或吸收（13-49）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 三、玻尔的氢原子理论三、玻尔的氢原子理论玻尔的氢原子理论的基本假设： (1)定态假设：原子只能较长久地处在一些能量不连续的稳定状态（定态）上。在各定态上，虽然电子绕原子核旋转作加速运动，但不向外辐射电磁波。 (2) 跃迁假设 (频率假设)： 原子从一个定态(E2)跃迁到另一个定态(E1)时，会发射或吸收一个频率为v

52、 的光子,光子能量：第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 （13-50） 或 式中，h为普朗克常量。式13-51称为玻尔频率公式。 (3) 轨道角动量量子化假设：在各定态上，电子绕核作圆周运动时，电子的轨道角动量 等于 的整数倍。即， （13-52）或 （13-53）（13-51）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 四、四、氢原子原子结构的构的计算算图13-14 电子圆周运动+ervmf由轨道量子化条件：满足该条件的运动轨道才是稳定的 质

53、量为m，电量为e 的电子以速度v在半径为r的圆周上运 动，如图13-14所示，则电子运动的能量:（13-54）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返返 回回 圆周运动的向心力是核与电子间的库仑力所提供的，则， （13-55）以上两式经过整理得到 （13-56）又轨道是量子化的轨道是量子化的（13-57）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 返回返回 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下页下页 整理后可得到原子中第n个轨道的半径 ，电子在第n个轨道运动时所具有的定态能量 及电子运动速度 ， （13-58

54、）（13-59）（13-60）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 返回返回 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 通常称为玻尔半径，其值为 。当时， （13-61）在氢原子中，电子运动的轨道半径为 （13-62）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下下 页页返返 回回图13-15表示电子的圆周轨道系列 图13-15 氢原子电子玻尔轨道和光谱系+n=1n=2n=3n=4n=6n=5赖曼（赖曼（Lyman）系）系巴尔末（巴尔末（Balmer）系）系帕邢（帕邢（paschen）系系布喇开（布喇开（Bracke

55、tt）系）系普芳德（普芳德（Pfund）系）系 6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返返 回回当n=1时，当 时，（ 13-64 ）这是电子最大的能量值，对应的状态称之为电离态，显然，电子从基态跃迁至电离态需外界对它给予能量 。称这一能量为电离能。（ 13-63）6 玻尔的原子量子玻尔的原子量子 理理 论论第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页 下页下页返返 回回对应于 n1的所有定态称为激发态。氢原子中的电子能量值组成一不连续的能量阶梯，简称为能级。如图13-16所示，能级图的涵义如下：任意轨道的定态能量可

56、表示为，即（13-65）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下下 页页返回返回 图13-16 氢原子能级图赖曼系赖曼系(紫外区紫外区)巴尔末巴尔末(可见光区可见光区)帕邢系帕邢系(红外区红外区)6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页 下页下页 返回返回 在图13-17中，（a）图表示电子从高能态 跃迁到低能态 时, 放出频 率为 的 光子，（b）图表示电子从低能态 跃迁到高能态 时, 从外吸 收光子。图13-17 电子跃迁吸收（b）发射（a）E2E2E1E1上页上页 第十三章第十

57、三章 量子理论初步量子理论初步 下页下页 返返 回回6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 由广义巴尔末公式我们可得到里德伯常量（13-66）将各基本常量代入上式，得到 ，可见与实验值 符合的很好。轨道运动速度为（13-67）6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下页下页 返回返回 式中， 称为光谱精细结构常量.当n=1时，即第一轨道的速度 最大，其值为（13-68）综上所述，玻尔氢原子理论的结论：在原子内部一切过程都是量子化的，具体表现为能量、轨道半径、角动量等物理量的取值量子化。6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论 第十三章第

58、十三章 量子理论初步量子理论初步上页上页 下页下页 返回返回 解 ：本题求解首先应该确定氢原子被轰击后能够跃迁到的最高能级由它和基态的能量差与轰击电子相比而做出判断。原子能级公式为 例题13-4 在气体放电管中，用能量12.2eV的电子去轰击处于基态的氢原子，试确定激发后所能发射的谱线的波长。 由此式可得6 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下页下页 返回返回 于是可见吸收（a）发射（b）E3E1E3E1E2图13-186 玻尔的原子量子理论玻尔的原子量子理论第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步上上 页页下页下页 返回返回 即氢原子

59、能够跃迁到的最高能级为 ，如图13-18a所示。原子从高能级 ，向比它低的各能级跃迁都有一定的概率，故波长数为三种（见图13-18b）,波长之值为： 当n=3，k=1 时有当n=3,k=2时有当n=2,k=1时有7 薛定谔方薛定谔方 程程第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下下 页页返回返回 第七节第七节 薛定谔方程薛定谔方程一、一、 波函数及其统计解释波函数及其统计解释 量子叠加原理：如果 和 是系统的两个可能的状态，那么它们的线性叠加 也是系统的可能状态， 、 任意复数。玻恩的统计解释： 如果一个量子系统处在波函数 表示的状态，那么 表示t时刻在r点的dV体积元中粒子出现

60、的概率。这是量子学的基本假设之一。7 薛定谔方程薛定谔方程 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下页下页 返返 回回 上式可以写成单值、有限、连续和归一化是波函数必须满足的标准条件。我们求出的波函数常常不是归一化的，而是由波函数的概率解释，可知波函数是归一化的，即（13-70）式中，N是实常数。 7 薛定谔方程薛定谔方程第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下下 页页 返返 回回因此只要定义则波函数 就是归一化的，其中 称为归一化常数。这个过程叫波函数的归一化。例题13-5 把简谐振子的波函数 式中 ， 都是实常数：A是待定的归一化常数，我们选取它使波函数归一

61、化 归一化， 7 薛定谔方程薛定谔方程 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步上页上页 下页下页 返回返回 解 先求归一化积分注意，时间因子在上式中抵消掉了，上式最右边是实常数，要使它等于1，只要令 因此归一化的简谐振子的波函数为7 薛定谔方程薛定谔方程 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返返 回回（13-71）方程13-71，称为含时间的薛定谔方程,是量子力学的基本假定之一。二、一般薛定谔波动方程二、一般薛定谔波动方程薛定谔方程是量子力学的基本方程（也称波动方程），即式中，（，）是势能，式中 算符称为拉普拉斯算符，在直角坐标系中为 7 薛定谔方程薛定谔方程

62、第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下下 页页返回返回 二、定态薛定谔波动方程二、定态薛定谔波动方程一个微观粒子在不显含时间的势场中运动时，它的能量将为一个确定值，粒子的这种运动状态就叫做定态。在这种情况下，含时薛定谔方程可以用分离变量法求解: （13-72）式中， 只是r的函数， 只是t的函数。对分离变量解，我们有 7 薛定谔方程薛定谔方程 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下下 页页返回返回 代入含时间的薛定谔方程得到（13-73）（13-74）现在上式的左边只是t的函数，右边只是r的函数。方程两边只能为常数。令这个分离常数为E，则我们得到7 薛定谔方

63、程薛定谔方程 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下页下页 返返 回回称为哈密顿算符或哈密顿量。根据哈密顿量，就可以从定态方程求出可能的波函数以及对应的能量。方程13-74叫做定态薛定谔方程，其可以写成：解方程13-73得：（13-75）（13-76 ） 式中（13-77）8 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页下页下页 返回返回 第八节第八节 一维无限深势阱中的粒子运动一维无限深势阱中的粒子运动 实际情况下的原子、分子内的势阱是很复杂的。我们以下的讨论仅是理想化但又是较为简单的势阱 。 假设势场的形式为

64、（13-79）8 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步上页上页 下页下页 返回返回 如图13-19所示，在这种势场中 在这种情形，粒子的运动范围局限于宽度为a 的势阱以内。金属中的电子可以近似的认为处于这样的势场。图 13-19 一维无限深8 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下下 页页返回返回 在势阱外 （找到粒子的概率为零），在势阱内 ，定态态薛定谔方程为 或写成 其中（13-80）已假定 。上式是经典简谐振子满足的方程，其通解是8 一维无限深势阱中粒子的运动

65、一维无限深势阱中粒子的运动 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返返 回回 式中，A和B是任意常数，它们由边界条件决定。由于电子不能到达势能为无限大的区域，波函数 必须满足边界条件： 与这保证与阱外的波函数连续。这就对A和B有限制，即 8 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下下 页页返回返回 因此我们得到 这样， 当A=0时，得到平凡解 ,表明粒子的概率密度处处为零，这没有物理意义的。所以， ，这意味着但k=0同样给出的平凡解 ，这也没有物理意义。8 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中

66、粒子的运动 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上上 页页 下下 页页返回返回 由于k和能量有关，所以我们得到了能量的可能值(13-82)因此有物理意义的解是（13-81）这里的 其实为波矢，与微观粒子的动量满足与经典情况不一样，无限深势阱中微观粒子的能量只能取上式允许的分立的值（图13-20），这是量子化的含义之一。第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步上页上页 下页下页 返回返回 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 E1EE6E5E4E3E20.40.20.80.6100201510525303540图13-20 能级图8 一维无限深势阱中

67、粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动8 一维无限深势阱中粒子的运动一维无限深势阱中粒子的运动 第十三章第十三章 量子理论初步量子理论初步 上页上页 下页下页 返回返回 利用波函数的归一化，求解波函数中的常数A，即所以有由于A只决定了 的振幅，所以我们可以简单的取证实根 。最后得到势阱中粒子的波函数（13-83） 上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页8 一维无限深势阱中的粒子运动一维无限深势阱中的粒子运动下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页图13-21 势阱中的波函数和概率密度 n=1表示的态的能量最低，称为基态，其它的能量随 增加，称为激发态。oaa

68、o上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页8 一维无限深势阱中的粒子运动一维无限深势阱中的粒子运动 分析： (1)量子化的E构成了能量阶梯或能级。图13-20中的水平横线表示了能级。 (2)n=1为称基态，能量最小，最小能量为 （13-84） （3）当n很大时，能级可视为连续分布。因此，当势阱的粒子在高能级上运动时，用经典力学对它处理与用量子力学对它处理是完全等价的。最后得到无限深势阱中 上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页8 一维无限深势

69、阱中的粒子运动一维无限深势阱中的粒子运动 （13-85）粒子运动的的波函数 如果势阱深度是有限的，如图13-22所示，粒子所受势场可分为0xa的阱区和xa的垒区。图13-22 有限深势阱中微观粒子有一定的几率出现在阱外上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页9 势垒贯穿势垒贯穿 下面即以一维电子为例简单地介绍势垒贯穿。设能量为E的电子由左方入射高度 的方型一维势垒。如图13-23（a）所示，电子势场分布为（13-86 ）当波动传播到x=0的势垒边时一部分要发生反射，一部分要透入势垒内部并穿透到势垒右边xa处。如图13-

70、23（b）上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页9 势垒贯穿势垒贯穿图13-23 一维方势垒ab上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页9 势垒贯穿势垒贯穿所示。透射电子流的强度，即单位时间穿过垂直于x方向单位面积的电子数与入射电子流强度的比称为势垒贯穿系数D。量子力学的计算表明（ 13-87）式中（ 13-88）E为入射电子的能量。而反射系数，即反射电子流的强度与入射电子流强度的比R满足上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下

71、页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页9 势垒贯穿势垒贯穿 R=1D （ 13-89）当入射电子能量E小于势垒高度 时， 由（13-88）式可见， 成为虚数，（ 13-87）式成为（ 13-90）而 （ 13-91）当 时 上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页9 势垒贯穿势垒贯穿（ 13-92） 因为 与 数量级相似，因此，D可粗略地用数量级表示如下：（ 13-93）由此可见，对于有限的势垒高度 与宽度a， ，电子总可以贯穿势垒，但贯穿势垒的电子流的强度随势垒的宽度与高度按上式而指数式地衰减

72、。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页10 量子力学中的原子问题量子力学中的原子问题 玻尔的氢原子理论是半经典半量子化的理论。它只解释具有一个电子的氢原子（或类氢离子）的光谱。而对于具有两个以上电子的原子的光谱，玻尔理论与实验结果比较就有较大差异。玻尔理论中的“轨道”概念与物质波是相矛盾的。因而，对氢原子或多电子原子的结构分析必须用到量子论，用到波函数描述和薛定谔方程的求解。只是原子内势场的分布比较复杂，即便是最简单的氢原子，薛定谔方程的求解过程也是一个复杂的数学运算。在这里就忽略过程，只是介绍结论。上页上页上页上

73、页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页10 量子力学中的原子问题量子力学中的原子问题 一、一、氢原子薛定谔方程的解氢原子薛定谔方程的解设氢原子中电子的质量为m，电荷为-e，它与核之间的距离为r，若取核为坐标原点，则电子在氢原子中的势能为 电子运动遵循三维定态薛定谔方程（13-94） 在求解方程式的过程中，可得到如下结论，上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页10 量子力学中的原子问题量子力学中的原子问题下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页 (1)氢原子中电子的能量E是量子化的，即（13-9

74、5） 式中 n叫做主量子数。这一结果与玻尔理论是一致的，由主量子数n便可得出电子的能级。 (2)氢原了中电子的角动量L是量子化的，即（13-96）当E给定（即n一定）时，l 的取值范围也决定了。这一角量子化的结论与玻尔理论是不同的。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页10 量子力学中的原子问题量子力学中的原子问题 （3）电子角动量L在空间外磁场方向的分量 是量子化的，这就是电子角动量的空间量子化。即下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页（13-97） 角动量L在空间有 个不同的取向。 如图13-24所表示。图13-24 空间量子化上页上页上页上页上页上

75、页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页10 量子力学中的原子问题量子力学中的原子问题 （4）电子的自旋 为了描述氢原子中电子的运动状态，我们引入了三个量子数 。为了完整地反映原子中电子的量子状态，还需要引入反 映电子自旋的量子数。电子绕自身轴线旋转而具有的角动量L，称为自旋角动量（见图19-8）.实际上，它是电子以及其它微观粒子的固有待征之一。自旋角动量 的大小是量子化的，即（13-98）上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页10 量子力学中的原子问题量子力学中

76、的原子问题 自旋量子数 因此，电子自旋角动量 。但是，自旋角动量在给定的磁场空间有两种可能的取向，即自旋角动量 在外磁场方向上的分量只可以取两个数值： （13-99）式中自旋磁量子数 与磁量子数 一样，是描述电子自旋角动量在空间取向的量子数。它的值只能是 和 。因此不管其它三个量子数 n、l、 的值如何，自旋角动量在磁场中取向只能是与磁场方向正向平行或者反向平上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页10 量子力学中的原子问题量子力学中的原子问题下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页行，如图13-25所示。 二、二、多电子原子的描述多电子原子的描述 研究表明

77、：多电子原子中核外的每一个电子状态由一组量子数 描述。不同的电子有不同的量子数组合。四个量子数可以分别决定电子的能量、角动量、角动量和自旋角动量在磁场方向的分量，量子化取图13-25 自旋角动量在磁场中的取向BB上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页10 量子力学中的原子问题量子力学中的原子问题值为： 每一个电子壳层和支壳层上电子如何分布及分布多少电子由如下两个原理确定。 (1)泡利原理不相容原理。 （2）能量最低原理。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量

78、子理论初步上页上页11 激激 光光 激光是基于受激辐射放大原理产生的一种具有有高亮度、方向性好、单色性高及相干性强等一系列优点的相干光辐射。激光器是一种新型光源，它的出现使古老的光学发生了深刻的变革，从而为现代光学开辟了新的广阔天地。许多光学分支如全息光学、光学信息处理、纤维光学、非线性光学等像雨后春笋相继出现，在现代科学技术、军事、医学、农业等各领域都有着广泛的应用。 一、氦一、氦-氖激光器氖激光器 能够产生激光的装置叫做激光器。 氦-氖激光器是一种研究得比较成熟的气体激光器，它的工作物质是氦-氖混上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初

79、步量子理论初步上页上页11 激激 光光 合气体。氦-氖激光器发出的激光的主要部分是红色的可见光， 图13-26是氦-氖激光器的简单结构，主要部件有放电管、电极对、反射镜等。图13-26 氦-氖激光器（内腔式） 二、原子的跃迁二、原子的跃迁 一般地说，原子运动状态的变化与光相关联的有三种情况：自发辐射跃迁、受激辐射跃迁、受激吸收跃迁。三种跃迁的特点各不相同。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页11 激激 光光 三、激光的获得三、激光的获得 在光与物质的相互作用过程中，一般地三种跃迁都同时存在，受激辐射与受激吸收两个跃

80、迁过程是等概率的。对于这两个跃迁过程究竟哪一个过程能占优势，这要看两个能级上原子总数N1和N2的大小，如果N2N1，则受激辐射将成为优势过程，物质在光的作用下即可以获得能够感知的激光。统计理论指出，在热平衡的情况下，原子按能量的分布规律服从玻尔兹曼统计分布律，其数学式为上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页11 激激 光光下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页（13-101）式 中 ，N为分布在能级E上的原子总数，N0为常数， 为玻耳兹曼常数，T为绝对温度。于是有（13-102）（13-103）即（13-104）上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上

81、页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页11 激激 光光下面对上述比值的数量级作一个估计。考虑 的情况， 如果认为E2为第一激发态能级，E1为基态能级，则对于大多数原子， ，因此有讨论：讨论： 获得激光的三个基本物理因素：激活物质作为激光器的工作物质；激励能源提供“抽运”能量；光学谐振腔导向、放大、提高单色性。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页12 半导体半导体 半导体的电导率介于导体和绝缘体之间，半导体材料类别很多，但它们具有一些共同的特殊电学性质，例如对光照、温度、杂质的影响

82、的敏感反应。在量子力学建立之后，人们对固体中的电子运动规律有了较深刻的认识，在此基础上，威尔逊（C.T.R.Wilson）于1931运用固体的能带模型（能带理论）对半导体中的导电机理、规律等能够作出做出圆满的理论解释，从而把半导体的研究工作向前大大的推进了一步。1947年，肖克莱(N.B.Shockley）、巴丁（J.Bardecn）等人发明了半导体晶体管，它的应用在无线电工程中产生了巨大的变革。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页绝缘体：下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页12 半导体半导体 此后，集成电路，大规模、超大规模集成电路的出现更是把这一

83、革新推向纵深，经过科学家们的几十年的努力，终于在实验、理论、技术、应用等诸多方面建立起一个庞大的“”半导体家族” 一、一、半导体的基本概念半导体的基本概念 自然界的物质按其导电能力大小可分为导体、半导体、绝缘体等三种类型，他们的电阻率分别为导体： ，如铜半导体： ，如硅上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页12 半导体半导体下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页 可见，三者的区别仅在于电阻率的大小不同。但是，与导体相比半导体还具有特异的电学性能。第一、半导体导电的载流子有两种，一种是带负电的电子，另一种是带正电的空穴。以电子为多数载流子导电的半导体称为电

84、子型半导体或N型半导体，以空穴为多数载流子导电的半导体称为空穴型半导体或P型半导体.第二、半导体对热和光照的作用非常灵敏，热和光能显著的改变了半导体的导电性能，例如，半导体锗的温度从0增加到30时，其电阻率 会降低 个数量级。第三、半导体掺入其它的微量杂质元素时，电阻率将发生巨大的变化，例如，在上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页12 半导体半导体半 导 体 硅 中 掺 加 如 百 万 分 之 一 的 硼 ， 电 阻 率 将 从 降到 。第四、两种不同类型半导体的接触将会出现单向导电等一系列更为奇特的性能。 二、固

85、体能带的基本概念二、固体能带的基本概念固体是由众多的原子所组成，固体的宏观性质取决于原子的微观结构及其运动。原子处于孤立状态时，内部的电子按能量分层排布并不断的绕核运动。原子的能量是不连续的即量子化的能级。图13-30a表示了锗原子的结构，图13-30b）表示了它的能级及库仑势能。当众多的原子结合成固体后，每一个原子的周围环境和物理因素上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页12 半导体半导体下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页要发生变化。由于个电子间的相互作用以及核对电子的作用，电子热运动能量的起伏，泡利原理对电子排布的要求，能量-时间的不确定关系等原

86、因，原子的能级要发生变化，每一个能级将分裂成彼此相差很小的一组能级，成为能带。图13-30 锗原子能级图上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页12 半导体半导体 能带和能级一样也可以用简单的图像表示。图13-31（a）、（b）、( c)用简略的方式表示出半导体、绝缘体、金属的能带，这里仅画出了导带和满带。由图13-31可以看出，半导体和绝缘体的导带底和满带顶之间都有一个能量间隙，这个间隙叫做禁带。从能带角度看，半导体和绝缘体并无本质差别，其差别仅在于两者的禁带 不同。半导体的 较窄，为 ，绝缘体的 较宽，为 。金属的

87、禁带宽度 为零。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页12 半导体半导体 图13-31 固体的能带简图 三、本征半导体和杂质半导体三、本征半导体和杂质半导体 纯净的半导体又叫做本征半导体，在绝对零度时满带中的能级全部被电子所填满，而导带中几乎没有电子，如图13-32所示。当温度增高时，由于满带中电子热运动能上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页12 半导体半导体 量增高而又较小，所以大量电子将跃迁到导带中成为导电电子，与此同时满带中出现了等

88、量数目的空穴，如图13-32所示，空穴也是能导电的载流子。所以本征半导体的导电是由带负电的电子与带正电的空穴共同完成 当在纯净的半导体中加入微量的其他元素后（这一过程称为掺杂），半导体的导电机构将要发生很大的变化。例如，在四价元素半导体硅中掺入五价的磷元素后，硅中电子的浓度将迅猛增加而成为多数载流子，空穴则退居为少数载流子，本征硅半导体即成为以电子导电为主导的电子型（N型）半导体。如果在硅中掺入三价的硼元素，中电子的浓度将迅上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页12 半导体半导体 图13-32 本征半导体的能带猛增加

89、而成为多数载流子，空穴则退居为少数载流子，本征硅半导体即成为以电子导电为主导的电子型（N型）半导体。如果在硅中掺入三价的硼元素，硅半导体将成为以空穴导电为主导的空穴型（P型）半导体。N型半导体和P型半导体均为杂质半导体。图13-33（a）表示了N型半导体的能带。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页12 半导体半导体 图13-33 杂质半导体的能带与局部能级示意图施主满带导带 电子N型半导体 a上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练

90、习题 一、选择题一、选择题 1. 要使金属产生光电效应，则应： A.尽可能增大入射光强； B.尽可能延长光照时间；C.选用波长更短的入射光； D.用频率更小的入射光 2. 用频率大于红限频率的单色光照射某光电管时，若在光强不变的条件下增大单色光的频率，则测出的光电流IU曲线的变化情况为： A.遏止电压增加，饱和电流也增加；B.遏止电压增加，饱和电流不变； C.遏止电压增加，饱和电流减少；上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题 D.遏止电压减少，饱和电流也减少。 3. 光子A的能量是光子B的两倍，那么光子A

91、的动量是光子B的 倍。A. ； B. ； C.1； D.2。 4. 当电子的德布罗意波长与光子的波长相同时，则它们的 。A. 动量和能量都不相等； B.能量相等；C. 动量相等，总能量不相等；D.动量和能量都相等。 5. 若粒子（电量为2e）在磁感应强度为B的均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则粒子的德布罗意上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题 波长是 。 A. ； B. ； C. ； D. 。 二、填空题二、填空题 1. 由热辐射基尔霍夫定律，任何物体的单色辐出度和单色吸收比之比 。 2. 一绝对黑

92、体，在温度T1=1450K时，辐射能对应的峰值波长1=2m，当温度降低到T2=967K时，辐射所对应的峰值波长为2= ；在这两种温度下，所对应的总发射本领之比E1:E2=。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题 3. 图13-34表示某黑体在两种温度下的热辐射曲线，根据 定律可知，曲线的温度较高，根据定律可知，曲线下的面积大于曲线下的面积，根据,可知 。 4. 光具有波粒二象性，干涉和衍射现象表明光具有性，偏振现象表明光是，光电效应说明光具有性。 5. 原子从较高能级En跃迁到某一较低能级Ek时，发出的单

93、色光的波长为。 6. 原子的部分能级跃迁如图13-35所示。试问：哪两上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题个能级间跃迁时所发射的光波长最短：；哪两个能级间跃迁时所发射的光波频率最小：。 7. 氢原子光谱赖曼系是氢原子内核外电子自较高能态向K=的能态跃迁时产生的，根据赖曼系的最短波长图13-34图13-35上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题912A可知，赖曼系的最长波长为_A。 8. 能量为100eV的电子的德布

94、罗意波长为_。（已知me=9.1110-31kg，e=1.610-19C，h=6.6310-34Js） 9.若光子的波长和电子的德布罗意波长均为，则光子的动量和电子的动量之比是 _。（电子的静止质量用me表示）。 10. 若光子的波长为，则光子的能量为_，动量为_，质量为_。 11. 已知电子位置不确定量为0.05nm，则该电子的上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题动量不确定量为_。 12. 一维势阱中运动的粒子，在0a范围内的一波函数曲线如图13-36所示，则发现粒子几率最大的位置是_。 13. 量子

95、力学中波函数(x,y,z,t)应满足的标准条件是_。图13-36图13-37上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题 三、计算题三、计算题 1. 测得某炉壁小孔的辐射功率为2.0105W/m2，求： （1）炉内温度T； （2）单色辐射能量密度的极大值所对应的波长。 2. 假设太阳表面温度为5800K，直径为13.9108m。如果认为太阳的辐射满足黑体辐射定律 ，求太阳在一年内由于辐射而损失的质量为多少？ 3. 图13-37为一次光电效应实验中得出的曲线。 （1）试问对不同材料的金属，AB线的斜率是否相同？

96、（2）由图上数据求出普朗克恒量的大小。上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题 4. 用波长 的单色光照射金箔，使金箔发射光电子。打出的电子在磁感应强度为B的均匀磁场中作半径为R的匀速圆周运动，实验测得 。求：（1）光电子的初动能；（2）电子从金箔表面逸出所需要的逸出功。 5. 从铝逸出一个电子需要4.2eV的能量，今有波长为2000的光投射到铝表面，试问： （1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？ （2）铝的红限波长为多少？ 6. 动能为2eV的电子，从无穷远处向着静止的质子上页上页上页上页上页上页上

97、页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题 运动，最后被质子所束缚，形成基态的氢原子。求： （1）此过程中放出光波的波长； （2）电子绕质子运动的动能为多少？ 7. 已知氢光谱的某一线系中有一波长为6567的谱线，求： （1）该谱线所对应的能级的能量； （2）该谱线相应的始、末状态的电子的轨道半径。 8. 求下列电子的德布罗意波长： （1）500108eV加速器中射出的电子； （2）速度为0.5c的电子上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题 （3）总能量恰好等于其两倍静止能量的电子。 9. 已知一微观粒子的动能为K，静能为E0，当考虑相对论效应时，证明粒子的德布罗意波长为： 10.有一粒子沿x方向运动，其波函数 。 （1）将此波函数归一化； （2）求出粒子按坐标的几率分布函数； （3）在何处找到粒子的几率最大？ 上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页上页下页下页返回返回 第第十三十三章章 量子理论初步量子理论初步上页上页练习题练习题 11. 一维无限深势阱（宽度为 ）中粒子的波函数为 求粒子几率最大的位置。