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1、一、最大特征值和特征向量的近似计算（方根法）一、最大特征值和特征向量的近似计算（方根法）计算的主要步骤：计算的主要步骤：1、计算判断矩阵、计算判断矩阵A的每一行元素乘积的每一行元素乘积2计算计算Mi的的n次方根次方根3若若 标准化为标准化为则则 为所求特征向量。为所求特征向量。14计算最大特征值计算最大特征值式中式中AWi表示向量表示向量AW的第的第i个分量。个分量。例如例如 2即权系数为即权系数为 3再求最大特征值的近似值再求最大特征值的近似值4二、迭代法二、迭代法建立建立n阶方阵阶方阵 按下列方法求向量迭代序列：按下列方法求向量迭代序列：5为为 的的n个分量之和个分量之和 可以证明，迭代的
2、维列向量序列可以证明，迭代的维列向量序列 记其极限为记其极限为e，且记，且记收敛。收敛。6则权系数可取则权系数可取在具体计算中，当在具体计算中，当ek与与ek-1接近到一定程度时，接近到一定程度时，我们就取我们就取e=ek例如例如 7891011由于由于e4=e3，迭代经过，迭代经过4次中止，权系数是次中止，权系数是 相应的综合评价公式是相应的综合评价公式是12三、和法三、和法1、计算判断矩阵、计算判断矩阵A的每一列归一化的每一列归一化 2按行求和按行求和 3归一化归一化 则则Wi为所求特征向量。为所求特征向量。134计算计算AW5、计算最大特征值得近似值、计算最大特征值得近似值式中式中(AW
3、)i表示向量表示向量AW的第的第i个分量。个分量。14 例例 某厂准某厂准备购买一台一台计算机，希望功能算机，希望功能强强，价格低，价格低，维护容易。容易。现有有A、B、C三种机型可供三种机型可供选择。其中。其中A的性能的性能较好，价格一般，好，价格一般，维护一般水平；一般水平；B的性能最好，价格的性能最好，价格较贵，维护也只需一般水平；也只需一般水平；C的性能差，但价格便宜，的性能差，但价格便宜，容易容易维护。试用用层次分析法次分析法进行决策分析。行决策分析。解：解：1、明确问题；、明确问题；2、建立层次结构；、建立层次结构；先构造层先构造层次结构，如下图所示。次结构，如下图所示。15购买一
4、台一台满意的意的计算机算机G功能功能强强S1 价格低价格低S2C A B易易维护S3目目标层方案方案层准准则层16 对于三个准则（对于三个准则（S1，S2，S3）关于目标）关于目标G的优先顺序，根据讨论，该的优先顺序，根据讨论，该厂在计算机应用上首先要求功能强，其次要求易维护，再次才是价格低。其厂在计算机应用上首先要求功能强，其次要求易维护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表所示。判断矩阵如下表所示。173、构造判断矩阵构造判断矩阵表一表一GS1S2S3S1S2S311/51/351331/3118 4、层次单排序及其一致性检验（用方、层次单排序及其一致性检验（用方根法计算这三个准则关于目标的排
5、序权值）根法计算这三个准则关于目标的排序权值）19标准化：标准化： 则则 为所求特征向量。为所求特征向量。 20计算最大特征值计算最大特征值式中式中 表示向量表示向量AW的第的第i个分量。个分量。 21一致检验结果为一致检验结果为2223判断矩阵的一致性指标判断矩阵的一致性指标CI为为判断矩阵的同阶平均随机一致性指标判断矩阵的同阶平均随机一致性指标RI为为 24 判断矩阵的一致性指标判断矩阵的一致性指标CI与判断矩阵的同阶平均随机一致性指标与判断矩阵的同阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率，记为之比称为随机一致性比率，记为CR，当，当时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整
6、判断矩阵，使其时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使其具有满意的一致性。具有满意的一致性。255、层次总排序、层次总排序 这一过程是最高层次到最低层次逐层进这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。若上一层次行的。若上一层次A包含包含m个元素个元素 其层次总排序权值分别为其层次总排序权值分别为 次次B包含包含n个元素个元素 下一层下一层它们对于元素它们对于元素 的层次单排序权值分别为的层次单排序权值分别为 （当（当 与与无关系时，无关系时， ） 排序权值如表二给出。排序权值如表二给出。 。此时。此时B层次总层次总26层次A1 A2 AmB层次总排序权重a1 a2 amB1
7、B2Bnb11 b12 b1m w1b21 b22 b2m w2 bn1 bn2 bnm wn注：注： 27 同样，三个方案对于各个准则的判断矩阵同样，三个方案对于各个准则的判断矩阵以及运算所得的结果见三、四、五、六。以及运算所得的结果见三、四、五、六。表三表三 A B CWABC1 1/4 24 1 81/2 1/8 10.18180.72720.0910282930对准准则（功能（功能强强）来）来说：即认为判断矩阵具有满意的一致性。即认为判断矩阵具有满意的一致性。31表四表四A B CWABC1 4 1/31/4 1 1/83 8 10.25590.07330.6708对准则对准则 （价格
8、低）来说：（价格低）来说： 即认为判断矩阵具有满意的一致性。即认为判断矩阵具有满意的一致性。32表五表五A B CWABC1 1 1/31 1 1/53 5 10.18510.15620.6587对准则对准则 （价格低）来说：（价格低）来说： 即认为判断矩阵具有满意的一致性。即认为判断矩阵具有满意的一致性。33表六表六总排序排序权值0.637 0.105 0.258ABC0.1818 0.2559 0.18510.7272 0.0733 0.1562 0.0910 0.6708 0.65870.18180.72720.091034 即认为判断矩阵具有满意的一致性。从以上结果可知，即认为判断矩阵具有满意的一致性。从以上结果可知，B型计算机从综合型计算机从综合评价来看是最满意的备选机型。评价来看是最满意的备选机型。35
