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1、1.2.11.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ 复习回顾复习回顾O Oa ab bMP Pc c条件：在直角三角形中条件：在直角三角形中为了讨论问题的方便，我们今后都在直角坐标系中讨论为了讨论问题的方便，我们今后都在直角坐标系中讨论角，那么你能用坐标系中角的角，那么你能用坐标系中角的终边上点的坐标终边上点的坐标来表示锐来表示锐角三角函数吗？角三角函数吗？已经角已经角是一个锐角，为了方便计算，这里引进是一个锐角，为了方便计算，这里引进1 1个单个单位圆位圆( (圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为1 1) )；角；角的
2、终边与单位圆交的终边与单位圆交与与P(a,bP(a,b) )XYoP(a,b)M Mba已经角已经角是一个锐角，为了方便计算，这里引进是一个锐角，为了方便计算，这里引进1 1个单个单位圆位圆( (圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为1 1) )；角；角的终边与单位圆交的终边与单位圆交与与P(a,bP(a,b) )XYoP(a,b)M Mba锐角锐角的三角函数可以用的三角函数可以用 终边与单位圆的终边与单位圆的交点交点坐标坐标来表示来表示如果角如果角是是任意的角任意的角, ,它的三角函数也可它的三角函数也可以用终边与单位圆交点的坐标来表示。以用终边与单位圆交点的坐标来表示。 设设是是一一个个任任
3、意意角角, ,它它的的终终边与单位圆交于点边与单位圆交于点P( (x, ,y).).MAoyxy y叫叫的正弦：的正弦：x x叫叫的余弦：的余弦：叫叫的正切：的正切：我们把正弦、余弦我们把正弦、余弦, ,正切正切, ,都看成是都看成是以角为以角为自变量自变量, ,以比值为函数值的函数以比值为函数值的函数, ,以上以上三三种函数种函数统称统称三角函数三角函数( (x0x0) )解解: : 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,作作BAoyx例例1 1：求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值. .则则AOBAOB的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为练习练习1 1：利用三角函数的
4、定义求利用三角函数的定义求 的三个三的三个三角函数值角函数值. . ( (课本课本P P15 15 第第1 1题题) )oyx解解: : 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,作作则则AOBAOB的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为B B探究探究: : 如果知道角终边上一点如果知道角终边上一点, ,而这个点不是终边与而这个点不是终边与单位圆的交点单位圆的交点, ,该如何求它的三角函数值呢该如何求它的三角函数值呢? ?三角函数的值与点三角函数的值与点P (x, y)在终边上的位置无关，仅与在终边上的位置无关，仅与角角的大小有关的大小有关. 点点P到原点到原点O的距离的距离 oyx解解
5、: x - -3, y- - 4,Oyx例例2 2：已知角已知角的终边经过点的终边经过点P P0 0(-3,-4),(-3,-4),求角求角的的正弦、余弦和正切值正弦、余弦和正切值练习练习2 2：已知角已知角的终边过点的终边过点P P(-12, 5), (-12, 5), 则则练习练习3 3：已知角已知角的终边上有一点的终边上有一点P P (-4(-4a a, 3, 3a a) )( (a a0),0), 则则2sin2sin+cos+cos的值是的值是 ( )( )C探究探究1 1：三角函数的定义域三角函数的定义域三角函数三角函数定义域定义域sinsincoscostantanR RR R探
6、究探究2 2：根据三角函数的定义根据三角函数的定义, ,研究三角函数值在研究三角函数值在各个象限的符号各个象限的符号- -+ + + + + +- - - - - -+ +yOxOxyOxy一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦例例3:3:求证求证: :当且仅当下列不等式组成立时当且仅当下列不等式组成立时, ,角角为第三角限角为第三角限角证明证明: :如果如果式都成立式都成立, ,那么那么为第三象限角为第三象限角. .因为因为式都成立式都成立, ,所以所以 角的终边只能位于角的终边只能位于第三象限第三象限. .于是于是 为第三象限角为第三象限角又若又若tantan0,0,
7、那么那么 角的终边可能位于第一或第三象限角的终边可能位于第一或第三象限. .若若sinsin0,0,那么那么 角的终边可能位于第三或第角的终边可能位于第三或第四象限四象限, ,也可能位于也可能位于y y 轴的非正半轴上轴的非正半轴上公式作用公式作用: :可以把求任意角的三角函数值可以把求任意角的三角函数值.转化为求转化为求0到到2(或或0至至360)角的三角函数角的三角函数值值.终边相同的角的同一三角函数值相等终边相同的角的同一三角函数值相等公式一公式一例例5:5: 求下列三角函数值求下列三角函数值yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,
8、0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()下面从图形角度认下面从图形角度认识一下三角函数识一下三角函数角角的终边与单位圆的终边与单位圆交于点交于点P.过点过点P作作x轴轴的垂线的垂线,垂足为垂足为M.|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|三角函数线三角函数线思考思考 为了去掉上述等式中的绝对值符号为了去掉上述等式中的绝对值符号,能能否给线段否给线段OM、MP规定一个适当的方向规定一个适当的方向,使它们的取值与点使它们的取值与点P的坐标一致的坐标一致?|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos|yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终
9、边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐的终边不在坐标轴上时标轴上时,以以M为始点、为始点、P为终点为终点,规定规定: 当线段当线段MP与与y轴轴同向同向 时时,MP的方向为的方向为正向正向,且有且有正值正值y; 当线段当线段MP与与y轴轴反向反向时时MP的的方向方向为为负向负向,且有且有负值负值y. MP=y=sin 有有向线段向线段MP叫角叫角的的正正弦线弦线yxxyyyxxMMMMOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,
10、0)A(1,0)A(1,0)()()()()|MP|=|y|=|sin|OM|=|x|=|cos| 当角当角的终边不在坐标的终边不在坐标轴上时轴上时,以以O为始点、为始点、M为终点为终点,规定规定: 当线段当线段OM与与x轴轴同向同向 时时,OM的方向为的方向为正向正向,且且有有正值正值x; 当线段当线段OM与与x轴轴反向反向时时,OM的方向为的方向为负向负向,且且有有负值负值x. OM=x=cos 有有向线段向线段OM叫角叫角的的余弦余弦线线 你能借助单位圆你能借助单位圆,找到一条如找到一条如OM、MP一样的线段来表示角一样的线段来表示角的正切吗的正切吗?思考思考TTTyxxyyyxxMMM
11、MOOOOPPPP的的终边终边的的终边终边的的终边终边的的终边终边A(1,0)A(1,0)A(1,0)A(1,0)()()()()T过点过点A(1,0)作单位作单位圆的切线圆的切线,设它与设它与的终边或其反向延的终边或其反向延长线相交于点长线相交于点T.有向线段有向线段ATAT叫叫角角的的正切线正切线这三条与单位圆有关的有向线段这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角分别叫做角的的正弦线、余弦线、正切正弦线、余弦线、正切线线,统称为统称为三角函数线三角函数线yxTM OP的的终边终边A(1,0)当角当角的终边与的终边与x轴重合时轴重合时,正弦线、正切正弦线、正切线线,分别变成一个点分别变成一个点,此时角此时角的的正弦值和正弦值和正切值都为正切值都为0;当角当角的终边与的终边与y轴重合时轴重合时,余余弦线变成一个点弦线变成一个点,正切线不存正切线不存在在,此时角此时角的的正切值不存在正切值不存在.xyoxyoxyoxyo的终边的终边的终边的终边TPMPMPMPMTAATATA()()()()
