线性代数：行列式(1)

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1、线性代数与解析几何线性代数与解析几何1第一章第一章 行列式行列式线性代数的重要目标是解线性方程组线性代数的重要目标是解线性方程组而解线性方程组经常要用到行列式的概念而解线性方程组经常要用到行列式的概念n首先来看一下二阶和三阶行列式首先来看一下二阶和三阶行列式2用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组两式相减消去两式相减消去x x2 2，得，得1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式3一、一、 二阶行列式二阶行列式方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. .类似地，消去类似地，消去x x1 1，得，得4 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排

2、成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义22211211aaaa行列式，并记作行列式，并记作即即. .列标列标行标行标5二阶行列式的计算（二阶行列式的计算（对角线法则对角线法则）如如主对角线主对角线次对角线次对角线二阶行列式的值二阶行列式的值等于主对角线上等于主对角线上的两元素之积减的两元素之积减去次对角线上的去次对角线上的两元素之积两元素之积6若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式789则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式. .10例例例例 求解二元线性方程组求解二元

3、线性方程组解解: := =- -= =+ +1212232121xxxx11例例 设设解解: : 因此可得因此可得12二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义定义定义333231232221131211)5(aaaaaaaaa设有设有9 9个数排成个数排成3 3行行3 3列的数表列的数表记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. .13三阶行列式如何计算？三阶行列式如何计算？. .列标列标行标行标主对角线主对角线次对角线次对角线14对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素

4、的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明 1.1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2.2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为负三项为负. . 15例例 计算行列式计算行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 解解解解: : : :16例例解解: :|a|1的充分必要条件是什么的充分必要条件是什么? ?17 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元

5、线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组18若记若记或或1920得得21得得22则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :23例例 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式24同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为: :25一、概念的引入引例引例用用1 1、2 2、3 3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解：解：1 2 3123百位百位3 3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32 2种放法种放法1 1种放法种放法种放法种放法. .共有共有1.2 1.2 排列、逆序与对换排列、逆

6、序与对换261.2.1 1.2.1 排列与逆序排列与逆序定义定义1.2.11.2.1由自然数由自然数1 1，2 2，n 组成的一个有组成的一个有序数组称为一个序数组称为一个n 元元排列排列. .例如：例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是数都是数1，2，3，4，5的一个排列的一个排列. 问题：问题：n个数的不同排列有个数的不同排列有 个个.n !标准排列标准排列(自然排列自然排列).按数的大小次序，由小到大的排列称为按数的大小次序，由小到大的排列称为定义定义n阶排列阶排列1234 n称为称为n阶阶自然序排列自然序排列.27 在一个排列在一个排列( (i i1 1i i

7、2 2i it ti is si in n) ) 中，中，若数若数i it t i is s 则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序. .例如例如 排列排列32514 32514 中，中， 定义定义1.2.21.2.2排列的逆序数排列的逆序数 3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序注意注意n元排列中，自然排列只有一种，元排列中，自然排列只有一种，除此之外，任一除此之外，任一n元排列都一定出现较大元排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况数码排在较小数码之前的情况.28定义：定义：一个排列中所有逆序的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的称为此排列的逆序逆序数数， . .例如例如

8、 排列排列32514 32514 中，中， 3 2 5 1 431故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=53+1+0+1+0=5. .29例例1 1 求排列求排列3251432514的逆序数的逆序数. .解：解：在排列在排列3251432514中中, ,3 3排在首位排在首位, ,逆序数为逆序数为0;0;2 2的前面比的前面比2 2大的数只有一个大的数只有一个3,3,故逆序数为故逆序数为1;1;30计算排列的计算排列的逆序数逆序数的方法：的方法：分别计算出排在分别计算出排在 1,2,n-1,n前面比它大的数码之和前面比它大的数码之和即分别算出即分别算出 1,2,n-1,n这这

9、n个元素的逆序数，这个个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.3 2 5 1 4于是排列于是排列3251432514的逆序数为的逆序数为5 5的前面没有比的前面没有比5 5大的数大的数, ,其逆序数为其逆序数为0;0;1 1的前面比的前面比1 1大的数有大的数有3 3个个, ,故逆序数为故逆序数为3;3;4 4的前面比的前面比4 4大的数有大的数有1 1个个, ,故逆序数为故逆序数为1;1;31例例2 2 计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数解：解：32解：解：33解：解：当当 时为偶数；时为偶数；当当 时为奇数时为奇数. .34逆

10、序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列奇排列奇排列.逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列偶排列偶排列.定义定义1.2.31.2.3例如例如所以所以32514是是奇排列奇排列.所以所以123 n是是偶排列偶排列.n( (n-1)-1)321是是偶偶排列排列.n( (n-1)-1)321是是奇奇排列排列.35考虑，在考虑，在 1，2，3 的全排列中的全排列中有有 个偶排列：个偶排列：有有 个奇排列：个奇排列：123，231，312132，213，32133一般说来，在一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各个数码的全排列中，奇偶排列各占一半占一半.36定义定义1.2.41.2.4 把一个排列中的任意

11、两个数交换位置，把一个排列中的任意两个数交换位置，而其余数码不动，叫做对该排列作一而其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称次对换，简称对换对换. .将相邻的两个数对换，称为将相邻的两个数对换，称为相邻对换相邻对换. .例如例如2.2.对换对换37定理定理1 1 一个排列中的任意两个元素对换，排一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性列改变奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.的逆序数的逆序数不变不变;经对换后经对换后 的逆序数的逆序数增加增加1 ,当当 时，时，38当当 时，时，经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变

12、 ， 的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为现来对换现来对换 与与39次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.40定理定理时，时，n n个数的所有排列中，奇偶排列各占个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各一半，各为为个个.证明证明: : 设设n个数的排列中，个数的排列中，奇排列有奇排列有 p 个，偶排列有个，偶排列有 q 个，个，则则 pqn！对对 p 个奇排列，施行同一对换，个奇排列，施行同一对换

13、，则由定理则由定理1得到得到 p 个偶排列个偶排列.（而且是（而且是p个不同个不同的偶排列）的偶排列）因为总共有因为总共有 q 个偶排列，所以个偶排列，所以, 同理同理所以所以41定理定理任意一个任意一个n阶排列都可以经过一系列阶排列都可以经过一系列对换变成对换变成自然序排列，自然序排列，并且并且所作对换的次数与所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性该排列有相同的奇偶性. .证明证明: : 用数学归纳证明用数学归纳证明当当n=1时时， 结论显然成立结论显然成立. .假设结论对假设结论对n-1阶排列阶排列成立成立, ,现证对现证对n阶排列阶排列也成立也成立. .由假设知，由假设知，可经过一系列对换

14、变成可经过一系列对换变成42自然序排列，从而自然序排列，从而可经过一系列可经过一系列对换变成对换变成自然序排列自然序排列.这就归结为上面的情形，结论成立这就归结为上面的情形，结论成立. .所以任意一个所以任意一个n阶排列都可以经过一系列对换变成阶排列都可以经过一系列对换变成自然序排列自然序排列.由于自然序排列是由于自然序排列是偶排列，由偶排列，由定理定理1 1可知，可知，对换一个对换一个改变改变排列奇偶性，所以将一奇排列变成排列奇偶性，所以将一奇排列变成自然序排列自然序排列43推论推论需要作奇数次对换，而将一偶排列变成需要作奇数次对换，而将一偶排列变成自然序排列自然序排列则需要作偶数次对换则需

15、要作偶数次对换, ,证毕证毕. .任意两个任意两个n阶排列都可以经过一系列对换阶排列都可以经过一系列对换互变，而且互变，而且若这若这两个两个排列的奇偶性相同，则所作的排列的奇偶性相同，则所作的则所作的对换次数是则所作的对换次数是奇数奇数. .对换次数是对换次数是偶数；若这偶数；若这两个两个排列的奇偶性相反，排列的奇偶性相反，442.2.一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性1.1.排列排列, ,逆序数，奇排列逆序数，奇排列, ,偶排列偶排列, ,对换的定义对换的定义. .45小结 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.它们都是代数式。它们都是代数式。对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算小结46思考：你能指出行列式中各项的符号和排列奇偶性的关系吗？思考：你能指出行列式中各项的符号和排列奇偶性的关系吗？