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1、学案学案学案学案4 4 基本不等式基本不等式基本不等式基本不等式 及应用及应用及应用及应用 返回目录返回目录 1.如果如果a，bR,那么那么 （当且仅（当且仅当当 时取时取“=”）.2.如果如果a，b是正数，那么是正数，那么 （当且仅当（当且仅当 时取时取“=”）.3.通常把通常把 叫做基本不等式叫做基本不等式.(a0,b0)a2+b22ab a=ba=b 考点分析考点分析返回目录返回目录 设设a，b是正实数，以下不等式：是正实数，以下不等式： ;a|a-b|-b;a2+b24ab-3b2;ab+ 2恒恒成立的序号为（成立的序号为（ ）A. B. C. D. 【分析分析分析分析】判断命题是否成
2、立，即判断命题的条件判断命题是否成立，即判断命题的条件是否成立，所给命题是否与基本不等式不矛盾是否成立，所给命题是否与基本不等式不矛盾.考点一考点一考点一考点一 基本不等式基本不等式基本不等式基本不等式题型分析题型分析返回目录返回目录 【解析解析解析解析】 , ,不恒成立不恒成立;a，b是正实数，是正实数，a+b|a-b|,即即a|a-b|-b,恒成立恒成立;a2+4b24ab,a2+b24ab-3b2,不恒成立不恒成立;ab+ 2 =2 2,恒成立恒成立. 故应选故应选D. 【评析评析评析评析】应用均值不等式判断命题的真假的关键是应用均值不等式判断命题的真假的关键是看是否符合均值不等式的条件
3、，即看是否符合均值不等式的条件，即a2+b22ab成立的条成立的条件是件是a，bR,而而 成立的条件成立的条件是是a0且且b0.对应演练对应演练对应演练对应演练若若a，b是正数，则是正数，则 这四个数的大小顺序是这四个数的大小顺序是 .(a，b是正数，是正数，而而 ,又又a2+b22ab 2(a2+b2)(a+b)2 , ，因此因此 .)返回目录返回目录 （1）设）设0x2,求函数求函数 的最大值；的最大值；（2）求）求 +a的取值范围；的取值范围；（3）已知）已知x0,y0,且且x+y=1，求，求 的最小的最小值值. 【分析分析分析分析】（1）中）中3x与与8-3x的和为定值的和为定值8，故
4、可利，故可利用均值不等式求解用均值不等式求解.（2）中和与积都不是定值，但将）中和与积都不是定值，但将 变形为变形为 +（a-4）+4，即可发，即可发现现 (a-4)=3为定值，但要注意为定值，但要注意a-4的取值范围的取值范围.考点二考点二考点二考点二 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值返回目录返回目录 返回目录返回目录 【解析解析解析解析】（1）0x2,03x6,8-3x20, ,当且仅当当且仅当3x=8-3x，即，即x= 时时,取等号取等号.当当x= , 的最大值是的最大值是4.(2)显然显然a4,当当a4时，时，a-40， +a= +（a-
5、4）+42 +4=2 +4,当且仅当当且仅当 =a-4，即，即a=4+ 时，取等号；时，取等号；当当a4时，时，a-40, +a= +(a-4)+4=- +(4-a) +4-2 +4=-2 +4,当且仅当当且仅当 =4-a，即，即a=4-3时，取等号时，取等号. +a的取值范围是（的取值范围是（-,-2 +42 +4,+).返回目录返回目录 返回目录返回目录 (3)x0,y0,且且x+y=1， = （x+y）=10+ 10+2 =18.当且仅当当且仅当 ，即，即x=2y时等号成立，时等号成立，当当x= ，y= 时，时， 有最小值有最小值18.返回目录返回目录 【评析评析评析评析】（1）在利用均
6、值不等式求函数或代数式）在利用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的办法（一般是凑和或者积为定值）构造出均值不项的办法（一般是凑和或者积为定值）构造出均值不等式的形式再进行求解等式的形式再进行求解.本题第（本题第（2）小题中）小题中 +4 虽不是定值，但变形为虽不是定值，但变形为 +（a-4）+4 即可即可发现发现 (a-4)=3为定值，故可用均值不等式求之为定值，故可用均值不等式求之.分式分式函数求最值，通常化成函数求最
7、值，通常化成y=mg（x）+ +B（A0,m0,g(x)恒正或恒负）的形式，然后运用均值不等恒正或恒负）的形式，然后运用均值不等式来求最值式来求最值. （2）第（）第（3）小题要求根据条件求最值，如何合理利）小题要求根据条件求最值，如何合理利用条件用条件x+y=1是解答本题的关键，方法是在式子上乘以是解答本题的关键，方法是在式子上乘以（x+y）.利用均值不等式求最值时，要注意三个条件，即：利用均值不等式求最值时，要注意三个条件，即：“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”，本题常见的误解为：，本题常见的误解为：x0,y0, = （x+y）2 2 =16，此法，此法错误的原因是没有考虑等号成立的
8、条件中错误的原因是没有考虑等号成立的条件中 和和x=y同同时成立是不可能的时成立是不可能的.所以在不等式连续放缩的时候所以在不等式连续放缩的时候,要时刻要时刻注意是否在同一条件下进行放缩注意是否在同一条件下进行放缩,放缩时还要注意有目的放缩时还要注意有目的性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况性、同向性，不要出现放缩后不能比较大小的情况.在第在第（2）小题中当）小题中当a4,即即a-40时，要用均值不等式必须前时，要用均值不等式必须前面添负号变为正面添负号变为正.返回目录返回目录 返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练（1）已知）已知x0,y0,且且 =1，求，求x+y的最小
9、值；的最小值；（2）已知）已知x ,求函数求函数y=4x-2+ 的最大值；的最大值；（3）若）若x，y（0，+）且）且2x+8y-xy=0,求求x+y的最小值的最小值.（1 1） x0,y0, =1,x+y=(x+y)（ ）= +106+10=16.当且仅当当且仅当 时时,上式等号成立上式等号成立,又又 =1,x=4,y=12时时,(x+y)min=16.（2 2） x ,5-4x0,y=4x-2+ =-（5-4x+ ）+3-2+3=1,当且仅当当且仅当5-4x= ,即即x=1时时,上式等号成立上式等号成立,故当故当x=1时时,ymax=1.返回目录返回目录 (3)由由2x+8y-xy=0，得
10、，得2x+8y=xy， ，x+y=（x+y）（）（ ） =10+ =10+2（ ）10+22 =18，当且仅当当且仅当 ，即，即x=2y时取等号，时取等号，又又2x+8y-xy=0，x=12，y=6，当当x=12，y=6时，时，x+y取最小值取最小值18.返回目录返回目录 返回目录返回目录 【证明证明证明证明】当且仅当当且仅当a=b=c= 时时,取等号取等号.考点三考点三考点三考点三 利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式已知已知a，b，cR+,且且a+b+c=1，求证：，求证：【分析分析分析分析】可进行可进行“1的代换的代换”，为使用
11、基本不等式创造条件，为使用基本不等式创造条件.【评析评析】（1）用好公式）用好公式 2(a,b同号同号).（2）“1”的代换技巧的代换技巧.返回目录返回目录 返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练已知已知x0,y0,z0.求证：求证：证明证明证明证明：x0,y0,z0,（当且仅当（当且仅当x=y=z时等号成立）时等号成立）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2 的三级的三级污水处理池（平面图如图污水处理池（平面图如图5-4-1所示）所示）.如果池四周围如果池四周围墙建造单价为墙建造单价为400元元/m，中间两道隔墙建造单价为，中间两道隔墙建造
12、单价为248元元/m，池底建造单价为，池底建造单价为80元元/m2，水池所有墙的厚度忽，水池所有墙的厚度忽略不计略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价出最低总造价.(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m， 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价总造价.考点四考点四考点四考点四 利用基本不等式解应用题利用基本不等式解应用题利用基本不等式解应用题利用基本不等式解应用题 返回目录返回目录 返回目录返回目录 【分析分析
13、分析分析】首先把造价表示为某一变量的函数，再利首先把造价表示为某一变量的函数，再利用基本不等式、函数单调性等知识求出最小值用基本不等式、函数单调性等知识求出最小值. 【解析解析解析解析】设污水处理池的长为设污水处理池的长为xm,则宽为则宽为 m,再设再设总造价为总造价为y元元,则有则有 (1)y=2x400+ 2400+2482 +80200=800x+ +16 0002 +16 000=280018+16 000=44 800, 当且仅当当且仅当800x= ， 即即x=18m时，时，y取得最小值取得最小值. 当污水池的长为当污水池的长为18m，宽为，宽为 m时总造价最低，为时总造价最低，为4
14、4 800元元.返回目录返回目录 返回目录返回目录 （2）0x16,0 16,12.5x16,x18, 不能用基本不等式，但我们可用函数单调性定义证明不能用基本不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间上述目标函数在区间12.5,16上是减函数，从而利用单上是减函数，从而利用单调性求得最小值调性求得最小值. 由（由（1）知，）知，y=(x) =800(x+ )+16 000(12.5x16). 对任意对任意x1,x212.5,16,设设x1x2, 则则(x1)-(x2)=800 (x1-x2)+324( ) 返回目录返回目录 【评析评析】不等式应用的特点是：（不等式应用的特点是：（
15、1）问题的背景是）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售、市物价、税收、销售、市场信息场信息”等，题目往往篇幅较长等，题目往往篇幅较长.（2）建立函数模型常）建立函数模型常见的有见的有“正（反）比例函数、一次函数、二次函数、指正（反）比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数，以及数函数、对数函数、三角函数，以及y=ax+ （a0,b0）”等形式等形式.解函数应用题中的最值问题一般利用二解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决次函数的性质或基本不等式来解决.(x1)(x2),故故y=(x)在在12.5,16上为
16、减函数上为减函数.从而有从而有(x)(16)=45 000,当污水池的长度为当污水池的长度为16m，宽为，宽为12.5m时有最低总造价，时有最低总造价，最低总造价为最低总造价为45 000元元.对应演练对应演练对应演练对应演练如图如图5-4-2所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为若
17、使每间虎笼面积为24m2， 则每间虎笼的长、宽各设计则每间虎笼的长、宽各设计 为多少时，可使围成四间虎为多少时，可使围成四间虎 笼的钢筋网总长最小？笼的钢筋网总长最小？返回目录返回目录 返回目录返回目录 (1)设每间虎笼长为设每间虎笼长为xm,宽为宽为ym,则由条件得则由条件得4x+6y=36,即即2x+3y=18, 设每间虎笼面积为设每间虎笼面积为S,则则S=xy. 解法一解法一解法一解法一:由于由于2x+3y2 =2 , 2 18,得得xy , 即即S ，当且仅当，当且仅当2x=3y时时,等号成立等号成立. 2x+3y=18 x=4.5 2x=3y, y=3, 故每间虎笼长为故每间虎笼长为
18、4.5m,宽为宽为3m时时,可使每间虎笼面可使每间虎笼面积最大积最大.由由解得解得返回目录返回目录 解法二解法二解法二解法二:由由2x+3y=18,得得x=9- y.x0,0y6,S=xy=(9- y)y= (6-y)y,0y0,S 2= .当且仅当当且仅当6-y=y,即即y=3时时,等号成立等号成立,此时此时x=4.5.故每间虎笼长故每间虎笼长4.5m,宽宽3m时时,可使每间虎笼面积最大可使每间虎笼面积最大.返回目录返回目录 (2)由条件知由条件知S=xy=24,设钢筋网总长为设钢筋网总长为l,则则l=4x+6y.解法一解法一解法一解法一:2x+3y2 =2 =24,l=4x+6y=2(2x
19、+3y)48,当且仅当当且仅当2x=3y时时,等号成立等号成立, 2x=3y x=6 xy=24, y=4.故每间虎笼长故每间虎笼长6m,宽宽4m时时,可使钢筋网总长最小可使钢筋网总长最小.由由解得解得解法二解法二解法二解法二:由由xy=24,得得x= ,l=4x+6y= +6y=6( +y)62 =48,当且仅当当且仅当 =y,即即y=4时时,等号成立等号成立,此时此时x=6.答：每间虎笼长答：每间虎笼长6m,宽宽4m时时,可使钢筋网总长最小可使钢筋网总长最小.返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.1.基本不等式具有将基本不等式具有将基本不等式具有将基本不等式具有将“ “和式和式和式和式”
20、 ”转化为转化为转化为转化为“ “积式积式积式积式” ”与将与将与将与将“ “积式积式积式积式” ”转化为转化为转化为转化为“ “和式和式和式和式” ”的放缩功能，在证明或求最值的放缩功能，在证明或求最值的放缩功能，在证明或求最值的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想的应用时，要注意这种转化思想的应用时，要注意这种转化思想的应用时，要注意这种转化思想的应用. . 2. 2.创设应用基本不等式的条件创设应用基本不等式的条件创设应用基本不等式的条件创设应用基本不等式的条件 （1 1） 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆合理拆分项或配凑因式是常用的
21、技巧，而拆合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时出现积为定值或和为定值现积为定值或和为定值现积为定值或和为定值现积为定值或和为定值. . （2 2） 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次当多次使用基本不等式时，一定要注意每次当多次使用基本不等式时，一定要注意每次当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致是否能保证等
22、号成立，并且要注意取等号的条件的一致是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性性性性 ， 否则就会出错，否则就会出错，否则就会出错，否则就会出错， 因此在利用基本不等式处理问因此在利用基本不等式处理问因此在利用基本不等式处理问因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法且也是检验转换是否有误的一种方法且也是检验转换是否有误的一种方法且也是检验转换是否有误的一种方法. .高考专家助教高
23、考专家助教 3.3.最值的求法最值的求法最值的求法最值的求法 “ “和定积最大，和定积最大，和定积最大，和定积最大， 积定和最小积定和最小积定和最小积定和最小” ”即两个正数的和为定值，即两个正数的和为定值，即两个正数的和为定值，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值的最小值的最小值的最小值. .应用此结论需注意以下三点：（应用此结论需注意以下三点：（应用此结论需注意以下三点：（应用此结论需注意以下三点：
24、（1 1）各项或各因）各项或各因）各项或各因）各项或各因式为正；（式为正；（式为正；（式为正；（2 2）和或积为定值；（）和或积为定值；（）和或积为定值；（）和或积为定值；（3 3）各项或各因式能取得）各项或各因式能取得）各项或各因式能取得）各项或各因式能取得相等的值相等的值相等的值相等的值. .必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、必要时作适当变形，以满足上述前提，即一正、二定、三相等二定、三相等二定、三相等二定、三相等. . 4. 4.基本不等式的几种变形公式基本不等式的几种变形公式基本不等式的几种变形公式基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：握它的几种变形形式及公式的逆用等，如：握它的几种变形形式及公式的逆用等，如： ( (a,ba,bR R). ). (a (a0,b0,b0).0).返回目录返回目录
