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1、数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group第六章 多元函数的微分学多元函数的微分学 第一节 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续 第二节 偏导数偏导数 第三节 全微分全微分第四节第四节 复合函数的微分法复合函数的微分法第五节第五节 二元函数微分学在几何上的应二元函数微分学在几何上的应用用第六节第六节 二元函数的极值二元函数的极值 30 七月 2024数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 2第四节 复合函数的微分法数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics
2、 Group 3复合函数的微分法复合函数的微分法一元复合函数求导法则微分法则数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 4一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数证证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量且有链式法则有增量u ,v ,数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 5( 全导数公式全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Grou
3、p 6若定理中 说明说明: 例如例如:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 则定理结论不一定成立.数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 7中间变量是多元函数的情形.例如,数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 8推广推广:中间变量多于两个的情形. 例如,数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 9又如,当它们都具有可微条件时, 有注意注意: 这里表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 :
4、分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 10例例. 设设解解:数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 11例例. 设设数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 12例例. 设设数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 13二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.数学与生物信息学教研室Mathematics & Bioinformatics Group 14例例1 .例例.利用全微分形式不变性再解例. 解解:所以
