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1、第三节第三节 平面与直线平面与直线一、点的轨迹方程及概念二、平面三、直线四、平面直线间的夹角五、点到平面的距离平面与直线平面与直线一、点的轨迹方程的概念如果曲面上所有的点都满足方程 ，且不在曲面上的任何点都不满足方程 .则称方程为曲面的方程，而称为的图象。 平面与直线平面与直线如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有二、平面1.平面的点法式方程平面与直线平面与直线平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上
2、方程称为平面的方程，平都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点平面与直线平面与直线 例例1 1 求过点（求过点（1,-2,01,-2,0）且与向量）且与向量a=a=（-1,3,-2-1,3,-2）垂）垂直的平面方程直的平面方程. . 解解 根据平面得法向量的概念，向量根据平面得法向量的概念，向量a=a=（-1,3,-2-1,3,-2）是所求平面的一个法向量，所以由式（是所求平面的一个法向量，所以由式（3 3）得所求平）得所求平面的方程为面的方程为即即平面与直线平面与直线例例2 2 求过三点求过三点的平面方程的平面方程解解 由于点由
3、于点在平面上，故向量在平面上，故向量均在平面上，根据向量积的概念及立体几何的知识，向均在平面上，根据向量积的概念及立体几何的知识，向量积量积 与向量与向量 及及 都垂直，且与所都垂直，且与所求的平面也垂直，因此它是平面的一个法向量，而求的平面也垂直，因此它是平面的一个法向量，而 于是平面的法向量为于是平面的法向量为平面与直线平面与直线 所以，所求的平面方程为所以，所求的平面方程为 即即平面与直线平面与直线2.平面的一般方程平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平
4、面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情情形形.类似地可讨论类似地可讨论 B=0,C=0 的情形的情形.平面与直线平面与直线例例3 3 求过求过x x轴和点轴和点的平面方程的平面方程. .解解 方法一方法一 因为平面过因为平面过x x轴，故原点轴，故原点0 0在平面上，在平面上， 于是可设平面的方程为于是可设平面的方程为又因为点又因为点在平面，于是有在平面，于是有解得解得将将代入方程代入方程而而因此所求的平面方程为因此所求的平面方程为平面与直线平面与直线向量向量方法二方法二 因为平面过因为平面过x x轴，故原点轴，故原点0 0在平面上，在平面上， 在平面上，又在平面上，又x x轴
5、的轴的单位向量单位向量与平面平行，于是向量积与平面平行，于是向量积与平面垂直，即它是平面的一个法向量。而与平面垂直，即它是平面的一个法向量。而根据点法式向量方程，得所求平面方程为根据点法式向量方程，得所求平面方程为平面与直线平面与直线例例4 4解返回x轴上截距轴上截距 y轴上截距轴上截距 z轴上截距轴上截距 平面与直线平面与直线三.直线 1.直线的一般方程 平面与直线平面与直线注意反过来， 平面与直线平面与直线2.空间直线的对称式方程和参数方程 方向向量方向向量： 平面与直线平面与直线设几点说明： 平面与直线平面与直线平面与直线平面与直线 例例5 5 求过点求过点的直线方程。的直线方程。 解解
6、 向量向量是所求直线的一个方向是所求直线的一个方向向量，因此所求直线方程为向量，因此所求直线方程为即即平面与直线平面与直线 例例6 6 把直线把直线 的一般方程的一般方程化为点向式方程和参数方程化为点向式方程和参数方程. .解解 方法一方法一 先在直线先在直线上找一点上找一点取取代入直线代入直线的一般方程中，得的一般方程中，得解方程组，求得解方程组，求得则点则点在直线在直线上上. . 因为直线因为直线 是两个平面的交线，故直线是两个平面的交线，故直线 与两与两个平面的法向量个平面的法向量 都垂直，都垂直，平面与直线平面与直线即与向量积即与向量积 平行，从而向量平行，从而向量 是直线是直线 的一
7、个方向向量。而的一个方向向量。而 参数方程为参数方程为 所以，直线所以，直线 的点向式方程为的点向式方程为 平面与直线平面与直线 方法二方法二 从所给方程组分别消去从所给方程组分别消去 和和 ，得，得 上式可变形得上式可变形得 并由此可写出参数方程。并由此可写出参数方程。 平面与直线平面与直线四.平面、直线间的夹角 平面与直线平面与直线定义：平面与直线平面与直线例7解平面与直线平面与直线两直线的位置关系 夹角：注意平面与直线平面与直线结论：平面与直线平面与直线直线与平面的位置关系 定义：结论：平面与直线平面与直线设特别地 平面与直线平面与直线例例8 8 求直线求直线在平面在平面解解 过直线过直线上的投影直线方程上的投影直线方程. .作平面作平面与平面与平面垂直垂直. .显然直线显然直线的方向向量的方向向量及平面及平面的法向量的法向量都与平面都与平面平行，故向量平行，故向量与平面与平面垂直，即它是平面垂直，即它是平面的一个法向量，而的一个法向量，而平面与直线平面与直线又直线又直线上的点上的点在平面在平面上，于是平面上，于是平面的方程为的方程为即即所以，投影直线的方程为所以，投影直线的方程为平面与直线平面与直线例解五、点到平面的距离五、点到平面的距离平面与直线平面与直线返回平面与直线平面与直线
