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1、第八章第八章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用复习题及解答复习题及解答一、选择题一、选择题x2yy k2x2）（ B ）1. 极限lim=（提示：令42x0x yy0(A) 等于 0(B) 不存在(C) 等于12(D) 存在且不等于 0 或1211xsin ysin2、设函数f (x,y) yx0xy 0xy 0，则极限lim f (x,y)=（ C ）x0y0（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在(B) 等于 1(C) 等于 0(D) 等于 2xy3、 设函数f (x,y) x2 y20x2 y2 0x2 y2 0， 则f (x, y)（ A ）（提示：在x2 y
2、2 0，f (x, y)处处连续；在x 0, y 0，令y kx，limx0y0kx2x2k2x2 limx0kx1k2 0 f (0,0)，故在x2 y2 0，函数亦连续.所以，f (x, y)在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续(B) 处处有极限，但不连续(D) 除（0,0）点外处处连续(C) 仅在（0,0）点连续4、函数z f (x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ）(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件5、设u arctanyx，则uxxx2 y2=（ B ）(A)xx2 y2(B)yy(C)x2
3、y2x2 y2(D)6、设f (x,y) arcsiny，则fx(2,1) （ A ）x1（A）4（B）111（C）（D）422x，x u v，y u v， 则zu zv（C）yu vv uu vv u（A）2（B）（C）（D）2222222u vu vu vu v#7、 设z arctan8、 若f (x,2x) x2 3x, fx(x,2x) 6x 1， 则fy(x,2x)=（ D ）(A)x 933(B)x (C)2x 1(D)2x 122、设z yx，则(zz)(2,1)xy（ A）(A) 2(B) 1+ln2(C) 0(D) 1(x,x) （ D ）10、设z xyexy，则zx(A
4、)2x(1 x2)ex(B)2x(1 x2)ex(C)x(1 x2)ex(D)x(1 x2)ex11、曲线x 2sint,y 4cost,z t 在点(2,0,)处的法平面方程是（C ）2(A)2x z 4 (B)2x z 4(C)4y z (D)4y z 2222222212、曲线4x y5,y z,在点(8,2,4)处的切线方程是（A）)(A)(C)x 12z 4x8z 4(B) y2 y 204204x 8z 4x 3z(D) y 2 y 15454 z 在点,1,0处的切平面方程为（D ）222213、曲面xcosz ycosx （A）x z 1（B）x y 1（C）x y 14、曲面
5、（A ）（A）x2yz xy2z3 6在点(3,2,1)（D）x z 22处的法线方程为x 5y 5z 19x 3y 2z 1（B）83188318（C）8x 3y 18z 0（D）8x 3y 18z 1215、 设函数z 1x2 y2， 则点(0,0)是函数z的（ B ）（A）极大值点但非最大值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极小值点且是最小值点-16、设函数z f (x,y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有fx(P0) 0, fy(P0) 0, fxx(P0) fyy(P0) 0, fxy(P0) fyx(P0) 2，则（ C）（A）点P0是函数z
6、的极大值点（B）点P0是函数z的极小值点（C）点P0非函数z的极值点（D）条件不够，无法判定17、函数f (x,y,z) z 2在4x22y2 z21条件下的极大值是（ C）(A)1(B)0(C)1(D)2二、填空题二、填空题1、极限limx0ysin(xy)=xln(y ex)x y222 .答：2、极限limx0y1= .答：ln2 .答：x y 1 .答：1 x 1，y 03、函数z ln(x y)的定义域为4、函数z .arcsinx的定义域为y.答： y5、设函数f (x,y) x2 y2 xyln，则f (kx,ky)=xk2 f (x,y)xy6、设函数f (x,y) ，则f (
7、x y,x y)=x yx2 y2 .答：2x（(x y)(x y)x2 y2f (x y,x y) ）(x y)(x y)2xln(1 x2 y2)7、设f (x,y) Ax2 y21/ 2x y 1/ 222，要使f (x,y)处处连续，则A= .答：ln2tan(x2 y2)8、设f (x,y) x2 y2A则 A=(x,y) (0,0)(x,y) (0,0)，要使f (x,y)在（0，0）处连续， .答：1x2 y29、函数z 的间断点是.答：直线x1 0上的所有点x110、函数f (x,y) 1ycos的间断点为xx2 y2 .答：直线y x及x 011、设z sin(3x y) y
8、，则zxx2y1_.答：3cos512、设f (x,y) x2 y2，则fy(0,1)= _ .答：1,z x33113、设u(x,y,z) ，则du(1,2,3)=_ .答：d x d y ln2dz8168 y14、设u xx2 y2，则在极坐标系下，u= _ .答：0r2uy2y15、设u xy ，则2= _.答：3xxx2u116、设u xlnxy，则= _ .答：xyy17、函数y y(x)由1 x2y ey所确定，则d y2xy= _ .答：yd xe x22xyz 1z= _ .答：1 xy2y18、 设函数z z(x,y)由方程xy2z x y z所确定， 则19、由方程xyz
9、 x2 y2 z22所确定的函数z z(x,y)在点（1，0，1）处的全微分dz= _ .答：d x 2 d y1120、曲线x t2,y 2t,z t3在点(1,2, )处的切线方程是_.33x 1y 21答： z 22321、曲线x 2te2t,y 3e2t,z t2e2t在对应于t 1点处的法平面方程是_.#答：x 3y 11e2 022、曲面xey y2e2z z3e3x答：x 2 21在点(2,1,0)处的法线方程为_ .ey 1z22e2ey23、 曲面arctan在点(2,1,0)处的切平面方程是_.答：y 2z 11 xz4124、 设函数z z(x,y)由方程x2 3xy y
10、25x 5y ez 2z 4确定， 则函数z2的驻点是_ .答： （1，2）27、函数z 2x2 3y2 4x 6y 1的驻点是_.答： （1，1）25、若函数f (x,y) x2 2xy 3y2 ax by 6在点(1,1)处取得极值，则常数a _，b _.答：a 0，b 426、函数f (x,y,z) 2x2在x2 y2 2z2 2条件下的极大值是_答：4三、计算题三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1)z 1 x2 y2(2)z ln(x y)(3)z 1(4)z ln(xy1)ln(x y)解：(1)要使函数z 1 x2 y2有意义，必须有1 x2 y2 0，即
11、有x2 y21.故所求函数的定义域为D (x, y)| x2 y21,图形为图(2)要使函数z ln(x y)有意义，必须有x y 0.故所有函数的定义域为D (x, y)| x y 0，图形为图(3)要使函数z 1有意义， 必须有ln(x y) 0， 即x y 0且x y 1.ln(x y)故该函数的定义域为D (x, y)| x y 0，x y 1，图形为图(4)要使函数z ln(xy1)有意义，必须有xy1 0.故该函数的定义域为D (x, y)| xy 1，图形为图yyx+y=0O1xO1x图图、y1x+y=0O1xx+y=1-11y=1/xO-11xy图图2、求极限limx0y0ys
12、in2x.xy 1 1解：limx0y0ysin2x( xy 11)ysin2x= 4 limx0xyxy 1 1y01x2y 13、求极限limsin(xy).32x0x yy0解：原式=limx0y0x2yx y (1x y 1)322sin(xy) limsin(xy)1 x02xy21x y 1y01xyex4、求极限lim.x04 16 xyy0xyex(416 xy)xyex解：lim= -8 limx0xy4 16 xyx0y0y05、设u xsin y ycosx，求ux,uy.解：ux sin y ysinxuy xcosy cosx6、设z xey yex，求zx,zy.解
13、：zx ey yexzy xey ex7、设函数z z(x,y)由yz zx xy 3所确定，试求解一：原式两边对x求导得yz z,（其中x y 0）.x yzz yzz xzz 则同理可得： x z y 0，xy xyy xxx解二：Fzz y x ,xFyy xFyzz x yFxy x8、求函数z 2x2 3xy 2y2 4x 3y 1的极值. zx 4x 3y 4 0解：由，得驻点(1,0)z 3x 4y 3 0yD 、zxxzyxzxy43 7 0zyy34zxx 4 0，函数z在点(1,0)处取极小值z(1,0) 1.9、设z e3x2y，而x cost,y t2，求解：dz.dt
14、 (3sint 4t)e3x2ydz 3e3x2y(sint) 2e3x2y(2t)dtz z,.x y10、设z yxln(xy)，求解：zx yxln ylnxy 1xyxzy xyx1ln(xy) 1xyy11、设u axyz ln xa(a 0)，求du.解：uuu axyzzlna， axyzlna ax1， yaxyzlnayxzdu (axyzlna ax1)d x axyzlna(zd y ydz)12、求函数z ln(x2 y2 exy)的全微分.z2x yexy解：,xx2 y2 exy?z2y xexy22xyyx y e1xyxy(2x ye)d x (2y xe)d
15、y22xyx y edz 四、应用题四、应用题1、要造一容积为 128 立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的 2 倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.水池底部的单位造价为a.则水池造价S xy 4xz 4yza且xyz 128令L xy 4xz 4yz xyz 128Lx y 4z yz 0L x 4z xz 0由yLz 4x 4y xy 0L xyz 128 0得x y 8z 2由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8 米、8米、2 米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x和y（件） ，总成
16、本函数C(x, y) 8x2 xy 12y2（元）.商品的限额为x y 42，求最小成本.解：约束条件为(x, y) x y 42 0，构造拉格朗日函数F(x, y,) 8x2 xy 12y2(x y 42)，Fx 16x y 0解方程组Fy x24y 0，得唯一驻点(x, y) (25,17)，F x y 42 0由实际情况知，(x, y) (25,17)就是使总成本最小的点，最小成本为C(25,17) 8043（元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10 元与 9 元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是-400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)元，求取
17、得最大利润时，两种产品的产量各为多少解：L(x, y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数L(x, y) (10x 9y) 400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2) 8x 6y 0.01(3x2 xy 3y2) 400,(x 0, y 0)， 80.01(6x y) 0Lx令，解得唯一驻点（120，80）.L 60.01(x 6y) 0y 0.06 0,B Lxy 0.01,C L又因A Lxxyy 0.06，得AC B2 3.5103 0.得极大值L(120,80) 320. 根据实际情况， 此极大值就是最大值 故生产 120单位产品甲与 80 单位
18、产品乙时所得利润最大 320 元.五、证明题五、证明题1、设(11)zexy求证x2z y2z2zxy11ze(xy)1证明： 因为xx211( )1zexy2yy1111所以( )( )zz22xyxyeexy2zxy2、证明函数yekn2t2ysinnx满足关系式kytx2ykn2t22 kn2tesinnx(kn )kn esinnx证明：因为t2ynekn tcosnxx2y2 kn2tn esinnx2x2y2 kn2tsinnxk2kn exy2y所以k2tx3、设 zxyxF(u)而uyxF(u)为可导函数证明xzyzzxyxy证明：xzyzxyF(u)xF(u)uyxxF(u)uxyxyyxyF(u)F(u)yxF(u)xyxF(u)xxyzxy
