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1、第四节第四节 镜象法求解静电场镜象法求解静电场1目的：目的： 学习一种求解静电场的学习一种求解静电场的 特殊方法特殊方法-镜象法（简洁明了）镜象法（简洁明了）主要内容： 一、相关内容回顾 二、镜象法的基本思想 三、镜象法应用举例 四、总结与讨论2唯一性定理给出静电场唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件可以唯一求解的条件唯一性定理：在可均匀分区的区域唯一性定理：在可均匀分区的区域V V内给定自由电荷分布内给定自由电荷分布，区域区域V V内的内的电场由电场由V V的边界的边界S S上的电势或者电势上的电势或者电势法向导数唯一地确定。法向导数唯一地确定。一、相关内容回顾一、相关内容回顾3 如果如果
2、V V内含有导体区域内含有导体区域 ，将导体，将导体表面视为边界面。如果不是给定导体表面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数，而边界上的电势或者电势法向导数，而是给定每个导体上的总电荷，唯一性是给定每个导体上的总电荷，唯一性定理同样成立。这是由电荷与电场之定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。间的制约关系决定的。4分离变量法：适用分离变量法：适用于所考虑的区域内于所考虑的区域内没有自由电荷分布没有自由电荷分布的情况，求解拉普的情况，求解拉普拉斯方程。拉斯方程。1)1)分离变量法（分离变量法（ ）2)2)镜象法（镜象法（？）？）3)3)格林函数法（格林函数法（？
3、）？）4)4)多极矩展开法（多极矩展开法（？）？）静电学的基本问题是求满足给定边界条件静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种。的泊松方程的解。主要方法有四种。5一种重要的特殊情形是：区域内只一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷。区域的边有一个或者几个点电荷。区域的边界是导体或者介质。这一个或者几界是导体或者介质。这一个或者几个电荷要在导体界面产生感应电荷，个电荷要在导体界面产生感应电荷，或者在介质表面产生束缚。或者在介质表面产生束缚。二、镜象法求解静电场的基本思想二、镜象法求解静电场的基本思想6上述特殊情形的泊松方程边值问题，上述特殊情形的泊松方程边值
4、问题，可以采用一种比较简洁的特殊方法来可以采用一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就是镜象法。求解。这种方法就是镜象法。镜象法的基本思想就是：在求解区域之外镜象法的基本思想就是：在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，但不改变求解引入象电荷取代感应电荷，但不改变求解区域的边值关系和边界条件。区域的边值关系和边界条件。或者说或者说 ，只要不改变求解区域的电荷分布、边，只要不改变求解区域的电荷分布、边值关系和边界条件，象电荷可以取代感应电荷，值关系和边界条件，象电荷可以取代感应电荷，象电荷在所考虑区域产生的电场就是感应电荷象电荷在所考虑区域产生的电场就是感应电荷产生的电场。产生的电场。7三、镜象法
5、应用举例三、镜象法应用举例例例1 接地无限大平面导体板接地无限大平面导体板附近有一点电荷附近有一点电荷Q，求空间，求空间中的电场。中的电场。8解解电荷：一个点电荷电荷：一个点电荷界面：接地无穷大导体界面：接地无穷大导体区域：上半空间（下半空间电势为零）区域：上半空间（下半空间电势为零）已知界面电势为零，满足唯一性定理已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。的要求，可以确定电势。9上半空间的电势的特征：上半空间的电势的特征：导体表面是等势面导体表面是等势面电场线垂直于导体表面电场线垂直于导体表面点电荷点电荷Q使导体表面产生异号的感应电荷使导体表面产生异号的感应电荷 Q 。整个电场是
6、由。整个电场是由Q和和 Q共同产生的。共同产生的。电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：10设想在导体板设想在导体板下方与电荷下方与电荷Q对对称的位置上放称的位置上放一个假想电荷一个假想电荷Q = Q ，然后，然后把导体板抽去。把导体板抽去。 这样，没有改这样，没有改变所考虑空间变所考虑空间的电荷分布的电荷分布（即没有改变（即没有改变电势服从的泊电势服从的泊松方程）。松方程）。Q假想电荷假想电荷Q与给定电荷与给定电荷Q激发的总激发的总电场如图所电场如图所示。由对称示。由对称性看出，在性看出，在原导体板平原导体板平面上，电场面上，电场线处处与它线处处与它正交，因而正交，因而满足边界条满足边界条
7、件。件。11导体板上部空导体板上部空间的电场可以间的电场可以看作原电荷与看作原电荷与镜象电荷共同镜象电荷共同激发的电场。激发的电场。场点场点P的电势的电势导体板上的导体板上的感应电荷确感应电荷确实可以用板实可以用板下方一个假下方一个假想电荷想电荷Q代代替。替。12选选Q到导体板上的投影点到导体板上的投影点O作为坐标作为坐标原点，设原点，设Q到导体板距离为到导体板距离为a，有，有可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。一种求解泊松方程的简洁方法。13例例2 真空中有一半径为真空中有一半径为R0的接地的接地导体球，距球心为导体球，
8、距球心为a（aR0）处有）处有一点电荷一点电荷Q，求空间各点的电势，求空间各点的电势（如图）。（如图）。14解解电荷：一个点电荷电荷：一个点电荷界面：导体球面界面：导体球面区域：球面外区域区域：球面外区域已知界面电势为零，满足唯一性定理已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。的要求，可以确定电势。15点电荷点电荷Q使导使导体表面产生体表面产生异号的感应异号的感应电荷电荷Q 。电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：整个电场是由整个电场是由Q和和Q共同产生的。共同产生的。16在球内区域（所考虑在球内区域（所考虑区域之外）引入象电区域之外）引入象电荷，取代球面上的感荷，取代球面上的感
9、应电荷，不改变体系应电荷，不改变体系方程。方程。球面外区域电势的特征：球面外区域电势的特征：导体表面是等势面导体表面是等势面电场线垂直于导体表面电场线垂直于导体表面预计电场线如图所示预计电场线如图所示17不改变边值不改变边值关系和边界关系和边界条件的要求条件的要求为由对称性，为由对称性， Q应在应在OQ连线上。连线上。考虑球面上任一考虑球面上任一点点P（如图）（如图）18因此对球面上任因此对球面上任一点，应有一点，应有 只要选只要选Q的位置使的位置使 OPQ OQP，则则19假想电荷假想电荷Q的大小为的大小为由两三角形相似的条件可得由两三角形相似的条件可得假想电荷假想电荷Q的位置的位置20球外
10、任一点球外任一点P（如（如图）的电势为图）的电势为21根据高斯定理，根据高斯定理，收敛于球面的电收敛于球面的电通量为通量为 Q。 Q为球面的总感应为球面的总感应电荷，它是受电电荷，它是受电荷荷Q的电场的吸的电场的吸引而从接地处传引而从接地处传至导体球上的。至导体球上的。物理结果讨论：物理结果讨论：然而然而|Q|Q，由电荷，由电荷Q发出的电发出的电场线只有一部分收敛于球面上，场线只有一部分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远处。剩下的一部分发散至无穷远处。22例例3 如上例，但导体球不接地如上例，但导体球不接地而带电荷而带电荷Q0，求球外电势，并，求球外电势，并求电荷求电荷Q所受的力。所受的力
11、。23这里给出的条件为：这里给出的条件为：（1）球面为等势面（电势待定）；）球面为等势面（电势待定）；（2）从球面发出的总电通量为）从球面发出的总电通量为Q0。在球内放置与上例相同的假想电荷在球内放置与上例相同的假想电荷Q（电（电势为零），在球心处再放一个假想电荷势为零），在球心处再放一个假想电荷Q0Q（球面等势），就可同时满足上面（球面等势），就可同时满足上面两个条件。两个条件。解解24球外任一点球外任一点P的电势为的电势为 因此电荷因此电荷Q所受的力等于所受的力等于Q和球心处和球心处的电荷的电荷Q0Q对它的作用力对它的作用力F，25过渡到点过渡到点电荷相互电荷相互作用模型作用模型吸引力，吸
12、引力，趋于消失趋于消失R0 0物理结果讨论：物理结果讨论：26aR0即使即使Q和和Q0同号，同号，只要只要Q距球面足够距球面足够近，就受到导体的近，就受到导体的吸引力。吸引力。原因：虽然整个导原因：虽然整个导体的电荷与体的电荷与Q同号，同号，但在靠近但在靠近Q的球面的球面部分出现异号电荷。部分出现异号电荷。从而相互吸引起主从而相互吸引起主要作用。要作用。吸引力起主要作用吸引力起主要作用（数值大于第一项）（数值大于第一项）271)根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题；方程边值问题；2)在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，在求解区域之外引入象电
13、荷取代感应电荷，保持求解区域电荷分布不变；保持求解区域电荷分布不变；3)引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界条件。边界条件。1、镜象法的基本要领、镜象法的基本要领四、总结与讨论四、总结与讨论281)两种方法都是根据边值关系和边界两种方法都是根据边值关系和边界条件进行求解；条件进行求解；2)可解的条件都是唯一性定理所要求可解的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀介质和边界条件。的分区均匀介质和边界条件。2、与分离变量法比较、与分离变量法比较共同点：共同点：29不同点：不同点：分离变量法分离变量法镜象法镜象法电荷分布电荷分布求解区域没有求解区域没有（或者经
14、过变换（或者经过变换没有）自由电荷没有）自由电荷分布分布求解区域有一个求解区域有一个或者几个自由点或者几个自由点电荷电荷具体方法具体方法分离变量求解拉分离变量求解拉普拉斯方程普拉斯方程求解区域之外引求解区域之外引入象电荷取代感入象电荷取代感应电荷应电荷30从前两节的例子可以看出，边值关系和边界条从前两节的例子可以看出，边值关系和边界条件对于求解电场问题具有重要性作用。边界条件对于求解电场问题具有重要性作用。边界条件大致有一下几种类型：件大致有一下几种类型：1、两绝缘介质界、两绝缘介质界面上，边值关系为面上，边值关系为2、给出导体上的电势，导体、给出导体上的电势，导体面上的边界条件为面上的边界条件为3、边界条件总结、边界条件总结3、给出导体所带总电荷、给出导体所带总电荷Q，在导体面上的边界条，在导体面上的边界条件为件为31应用上述边界条件可以唯一地求出静电场。应用上述边界条件可以唯一地求出静电场。应用导体的另一边界条件，可以得出导体表应用导体的另一边界条件，可以得出导体表面的自由电荷密度。面的自由电荷密度。32
