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1、九、系综的时间演化 n对 ，若系综不受干扰，则wi不变，系综的时间演化由态矢|(i)的时间演化决定，n这方程形式与Heisenberg运动方程反号。但这并不矛盾，因不是Heisenberg绘景中的动力学观测量。其实，是由Schrdinger绘景中的态矢组成的，而态矢则是按Schrdinger方程演化的。n的时间演化方程的经典对应正是统计力学中关于相空间态密度时间演化的刘维方程。十、连续谱空间中的密度算符n对应于连续本征谱的态矢，则n此时密度矩阵实际上是x和x的函数，即ni(x)是对应于|(i)的波函数。n的对角元素是几率密度的权重和（这也是称为密度矩阵的原因）。n混合态系综的分解不唯一，如可由
2、不同平面波或波包的叠加 十一、密度算符与量子统计力学 n对完全随机的系综，密度矩阵在任何表象任何表象中均有：n该与纯系综的很不相同。 n为定量表征不同系综的，定义为：n在本征态为基矢时 十二、熵n由于 ，是半正定的（0）。n对完全随机系综n对纯系综， =0n可见可作为体系无序度的定量表征：纯系综完全有序，既无序度为零；随机系统完全无序，故是个大数。其实，在归一化限制下，ln(N)是的最大值。n在热力学中，熵是度量无序度的。熵（S）与的关系为，S=k，k为Boltzmann常数。 nS=k可看作是量子统计力学中熵的定义。 注：关于算符函数矩阵的运算 n若X为对角矩阵， ,则X函数的矩阵亦对角n例
3、如：n若 ,则 n例十三、热平衡系综的密度矩阵n对具有确定H的系综，热平衡时取极大：=0. 因/ t=0, 与H可同时对角化，可用H的本征态为基.n热平衡时粒子的平均内能（确定）：H=Tr(H)=Un由约束条件n用Lagranger乘子法可得n其解为n利用归一化条件有n对应于能量本征态Ek的几率分布（与经典能量分布相似）n上述体系对应于统计力学的正则系统，体系能量确定n若除去内能一定的限制，则得（对任意k）：kk=1/Nn即为完全随机的系综,对应-0 (T)的正则系综分布十四、配分函数nkk的分母为 是统计力学中的配分函数，可写为n在能量本征态基中可写为n据此可得体系的所有性质，n对A=H，有
4、n与统计力学的对应知=1/kT.十五、应用举例：均匀磁场中的电子系综nBrillouin磁化率公式： n负温度（如晶格排列磁矩体系）：n(温度序列：0+，正温，正无穷，负无穷，负温，0-)3.5 角动量的本征值和本征态角动量的本征值和本征态 n本节讨论一般的角动量的本征值和本征态，并给出角动量算符矩阵表示的矩阵元。一、对易关系和本征态一、对易关系和本征态n角动量算符的基本对易关系为 这里Ji是绕i轴无穷小角转动的生成元。 n定义角动量的平方算符 由角动量算符的基本对易关系可知J2与任何Ji对易。n由于不同Ji不对易, 只能选择某个Ji与J2的共同本征态为基,通常选J2与Jz的共同本征态。n若用
5、|a,b标记该本征态，则有 J2 |a,b =a |a,b ，Jz |a,b =b |a,b 。 二、阶梯算符 n定义: J=JxiJy,称为阶梯算符，或角动量的升(降)算符，是以前讲过的自旋升降算符在一般角动量情形的推广。 J是非厄米的。n容易证明：n由于 J|a,b也是Jz的本征态，对应于本征值 。 既J作用于Jz的本征态结果仍为Jz的本征态，但相应本征值增加 。 又由于J与J2对易, J不改变J2的本征值. 即： J|a,b = c|a,b ， c由归一化条件确定。三、J2与Jz的本征值 n由于 ，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期待值为实数，故 a-b20 对给定a, b有上限bmax
6、和下限bmin,且J+|a,bmax=0, J-|a,bmin=0.n由 得 ；类似有 bmin=-bmaxn由bmin和bmax的唯一性知，J+作用于|a,bmin有限次数应能达到|a,bmax，故 n记Jz的最大本征值为 ，则j=n/2为整数或半整数，而J2的本征值为 。nJz的本征值一般为 ，其中-jmj j，共有2j+1个可能值-j，-j+1，j-1，j。n改记|a,b为|j,m，则n上述推导只用了角动量对易关系，即角动量的量子化源于转动和角动量作为转动生成元的基本性质。四、角动量算符的矩阵元 n取|j,m为归一化的，则n因 而n故n取c为实数，有：n类似地nJ的矩阵元为n而由Jx=(
7、J+J-)/2，Jy=(J+-J-)/2i 可定出Jx和Jy的矩阵元(Ji不改变j) 五、转动算符的表示 n对绕 转角的转动R，转动算符的矩阵元为n (D在不同j之间的矩阵元为零)n这些矩阵元有时称Wigner函数。n由 形成的(2j+1)x(2j+1)矩阵称为D(R)的(2j+1) 维的不可约表示。即对一般的转动，D可按不同j而成分块对角化形式，且每一块不可用任何基而进一步划分为更小的块对角化形式，即 nD(R)= ,六、转动算符表示的一般性质n1. 由任一确定 j 所表征的转动矩阵形成一个群 a)有单位矩阵（无转动），b)逆（绕同轴转-角），c)乘积 也是成员，其中乘积R1R2表示单一转动；d)结合律也满足。n2. 幺正性： n3. 是|jm经R转动后在|jm态中找到的几率振幅: 七、 Euler转动的转动算符矩阵表示n对用Euler角表征的转动，有n可见只要求出n则可得到n例如对j=1/2,n对j=1，d(1)是3x3矩阵.利用Jy=(J+-J-)/2i及J的矩阵元可知：n可以验证：n利用级数展开，可知n从而得到n类似方法可给出d(j1)()，只是过程比较复杂。简便获得d(j)的方法将在下次课介绍。作业n3.10、3.11、3.12、 3.15、3.18
