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1、第二章第二章第二章第二章 分离变量法分离变量法分离变量法分离变量法2.0 预备知识常微分方程二阶常系数线性方程的标准形式二阶常系数线性方程的标准形式2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程特征根特征根(1) (1) 有两个不相等的实根有两个不相等的实根两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为齐次方程齐次方程特征方程特征方程2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程(2) 有两个相等的实根齐次方程的通解为特解为(3) 有一对共轭复根齐次方程的通解为特征根为特解为2.0 2
2、.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构通解结构二阶常系数非齐次线性方程2.0 2.0 预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程预备知识常微分方程2.1 有界弦的自由振动 分离变量法是求解偏微分方程最基本和常分离变量法是求解偏微分方程最基本和常用的方法。用的方法。理论依据：线性方程的叠加原理和理论依据：线性方程的叠加原理和Sturm-Sturm-Liouville Liouville 理论理论。基本思想：将偏微分
3、方程的求解化为对常基本思想：将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解微分方程的求解2. 1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 研究两端固定均匀的自由振动.定解问题为：特点: 方程齐次, 边界齐次. (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式随时间振动，可统一表示为 ; (2) 各点振幅 随点 而异，而与时间无关，用 X(x) 表示,所以驻波可用 表示。 驻波的特点：驻波的特点： 端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2.
4、1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 设 且 不恒为零，代入方程和边界条件中得 由 不恒为零，有： 取参数这个式子的左端是这个式子的左端是x的函数的函数,右端是右端是t的函数，何时恒等？的函数，何时恒等？ . . 利用边界条件2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动则 特征值问题 参数称为特征值.分三种情形讨论特征值问题的求解函数X(x)称为特征函数2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2. 1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动由边值条件 (i) 方程通解为 (ii) 时，通解 由边值条件得C1 1 = =C 2 2= =0 从而 ， 无意义无意义. 无意
5、义无意义2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动 由边值条件从而 即(iii） 时，通解 故而得2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动再求解T： 其解为 所以 两端两端固定固定弦弦的的本征本征振动振动叠加 . 2. 1 2. 1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动将 展开为Fourier级数，比较系数得 代入初始条件得： 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 和 x= =l 处的第一类齐次边界条件决定的。 关于二阶常微分方程关于二阶常微分方程特征值问题（施特姆特征值问题（施特姆- -刘维尔问题），存在刘维尔问题），存在如下结论：如下结论：1.1.所有特征值均不为负
6、所有特征值均不为负2.2.不同特征值所对应的特征函数正交，在区间上构成完备系。不同特征值所对应的特征函数正交，在区间上构成完备系。3.3.任意一个具有连续一阶导数及分段连续二阶导数的函数且任意一个具有连续一阶导数及分段连续二阶导数的函数且满足特征值问题的边界条件，则可以按照特征函数系展开满足特征值问题的边界条件，则可以按照特征函数系展开利用特征函数的正交性利用特征函数的正交性在等式两边同乘在等式两边同乘并在区间上取积分，利用特征并在区间上取积分，利用特征函数的正交性函数的正交性, ,可求系数可求系数（特征值问题）（特征值问题）齐次边齐次边界条件界条件（特征函数）（特征函数） 分离变量法图解分离
7、变量法图解 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动则无穷级数解为如下混合问题的解上， ，且 定理定理：若在区间2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动弦上各点的频率 和初位相 都相同，因而没有波形的传播现象。 弦上各点振幅 因点而异 在 处，振幅永远为0 二、解的物理意义二、解的物理意义 节点腹点特点特点最大振幅最大振幅频率频率初位相初位相在 处，振幅最大,为 nNu( (x, ,t ) )是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 n1 1的驻波称为基波, n11的驻波叫做n次谐波. 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动例例1 1 设有一根长为10个
8、单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦做微小横向振动时的位移，其中 与弦的材料和张力有关 .解解 设位移函数为 ，则需要求解下列定解问题2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动因此，所求的解为： = 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动解：令 , 得 化简: 例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题.第二类边界条件第二类边界条件引入参数 得 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动得C1 =C 2=0 从而 ，无意义 分离变量： (i) 时， 由边值条件(ii) 时, , (iii) 时, 则 而 由边值条件由边值
9、条件从而2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动本征值 本征函数 2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动T 的方程其解为 所以 故代入初始条件: 将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件决定.2.1 2.1 有界弦的自由振动有界弦的自由振动与与1 11 1类边界条件的定界问题区别在于类边界条件的定界问题区别在于特征值不同特征值不同2 22 2类边界条件类边界条件特征值特征值特征函数特征函数利用特征函利用特征函数的正交性数的正交性求系数求系数一维振动方程对应的特征值问题，特征值，特征函数系一维振动方程对应的特征值问题，特征值，特征函数
10、系方程边界条件特征值问题特征值特征函数系一维振动分离变量法求得的级数解的物理意义：分离变量法求得的级数解的物理意义：两端固定的有界弦自由振动两端固定的有界弦自由振动振动波，角频率为振动波，角频率为 初相位为初相位为振幅，振幅，依赖于空间依赖于空间位置位置x x振动波：弦上各点以同一角频率作简谐振振动波：弦上各点以同一角频率作简谐振动，位相相同，振幅依赖于点动，位相相同，振幅依赖于点x x的位置的位置振幅为振幅为0 0振幅达到最大振幅达到最大振动波振动波 的节点，的节点，波节波节 个个 振动波振动波 的腹点，的腹点，波腹波腹 个个 ：弦的振动，就像是由互不连接的几段：弦的振动，就像是由互不连接的
11、几段组成，每段的端点，恰好就固定在各个组成，每段的端点，恰好就固定在各个节点上，永远保持不动。含有节点的振节点上，永远保持不动。含有节点的振动波称为动波称为驻波驻波。由一系列频率不同，位相不同，振幅不同由一系列频率不同，位相不同，振幅不同的驻波叠加而成。频率的驻波叠加而成。频率 由特征值确定，由特征值确定，与初始条件无关，也称为固有频率。振幅与初始条件无关，也称为固有频率。振幅的大小和相位的差异由初始条件决定。的大小和相位的差异由初始条件决定。分离变量法求得的级数解分离变量法求得的级数解由固有频率可得到形成驻波的条件由固有频率可得到形成驻波的条件（对弦长的要求）（对弦长的要求）最小的一个最小的
12、一个基频基频相应的相应的基波基波为谐频，相应的波为谐波为谐频，相应的波为谐波2章作业 2、6、8、9、132. 2 有限长杆的热传导问题例例1 1细杆的热传导问题 长为 l 的细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热, x=0 端温度为0，x=l 端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为0 ，初始温度为 求此杆的温度分布。 解：定解问题为 2.2 2.2 有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题得本征问题 由 及齐次边界条件，有 设 且 并引入参数分离变量代入方程2.2 2.2 有限长杆的热传导问有限长杆的热传导问题题当 或 时, 当 时, 由 得 由 得 故 即 令有函数方程2.2
13、 2.2 有限长杆的热传导问有限长杆的热传导问题题由 图 1看出，函数方程有成 对 的 无 穷 多 个 实 根故本征值为： ry图图 1 12.2 2.2 有限长杆的热传导问有限长杆的热传导问题题2.2 2.2 有限长杆的热传导问有限长杆的热传导问题题对应的本征函数 的方程： 解为故 由初始条件得可以证明函数系 在 上正交，在（*）式两端乘以 并在 0, l 上积分, 得 且模值（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程， 得到 （四）将 叠加，利用初始条件确定系数（一）将偏微分方程化为常微分方程（方程齐次）分离变量法解题步骤分离变量法解题步骤（边界条件齐次）2
14、.2 2.2 有限长杆的热传导问有限长杆的热传导问题题分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。注注2.2 2.2 有限长杆的热传导问有限长杆的热传导问题题左端点左端点右端点右端点特征值特征值特征函数特征函数 取值范围取值范围 一一 一一一一 二二 二二 二二二二一一课堂练习课堂练习总结总结：端点边界条件与特征值，特征函数的关系2.2 2.2 有限长杆的热传导问有限长杆的热传导问题题练习练习： 求下列定解问题的解求下列定解问题的解 其中其中2.2 2.2 有限长杆的热传导问有限长杆的热传导问题题2.3 二维拉普拉斯方程的边
15、值问题2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题1. 矩形域上拉普拉斯方程的边值问题矩形域上拉普拉斯方程的边值问题例例1 1矩形薄板稳恒状态下温度分布.设薄板上下底面绝热，一组对边绝热，另一组对边的温度分别为零摄氏度和 ，求稳恒状态下薄板的温度分布。 定解问题为： 解再利用 x = = 0 和 x = = a 处的齐次边界条件得 设 且 代入方程故 本征问题本征问题当 时， ， 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题当 时， 将 代入 有解： 考虑边界条件（y方向上），有
16、 解得比较系数所以解为 作为例子取 ， ，可求得 于是 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题考察一个半径为r0的圆形薄板稳恒状态下的温度分布问题, 设板的上下两面绝热, 圆周边界上的温度已知为 求稳恒状态下的温度分布规律。2. 圆域上的拉普拉斯方程的边值问题2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题采用平面极坐标。令2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题 分离变量 代入方程得齐次偏微分方程化为两个常微分方程:（一）将偏微分方程化为常微分方程由 可知，又圆内各点的温度有界，因而 所以应满足条件 2.3 2.3
17、 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题（二）利用条件,确定特征值问题并求解 得到两个常微分方程的定解问题 (1)(2)2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题先求哪一个？先求(1)啊!可以确定特征值啊!为什么？1) 时，无非零解；特征值特征函数2) 时， 有非零解3) 时 ，通解以 为周期, 必须是整数 , 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题（三）将特征值代入另一常微分方程，得 得到方程通解 满足有界性条件的通解 将代入方程2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题满足周期性条件 和有界性条
18、件的特解为 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题（四）将 叠加, 利用边界条件确定系数满足周期性和有界性条件的通解为: 利用边界条件，得由此可以确定系数 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题注: 经过化简, 方程的解可以表示为 称为圆域内的泊松公式. 2.3 2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题二维拉普拉斯方程的边值问题2.4 非齐次方程的解法 2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法(I)(I) 非齐次振动方程定解问题非齐次振动方程定解问题特征函数法令其中 (1) (2)2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法令
19、为待定函数.并将 按特征函数系展为级数 其中 (3) (4) (1)2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法将(3),(4) 代入 (1) 得两端比较将(3)代入初始条件2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法常数变易法所以2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法例在环形区域 内求解下列定解问题解考虑极坐标变换:2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法定解问题可以转化为: 相应的齐次问题的特征函数系为:2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法于是可以设原问题的解为: 代入方程，整理得 2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法比较两端 和 的系数可
20、得 2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法由边界条件，得 所以 2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法由边界条件，可知 满足的方程是齐次欧拉方程，其通解的形式为2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法下面求 . 方程的通解为 由端点的条件， 得 原问题的解为2.4 2.4 非齐次方程的解法非齐次方程的解法2.5 非齐次边界条件的处理 2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 处理非齐次边界条件问题的基本原则基本原则是: 选取一个辅助函数 , 通过函数之间的代换: 使得对新的未知函数 边界条件为齐次的. 例1振动问题 （I） 解：取 故要求满足(I)的
21、边界条件，即解得思路: 作代换选取w(x,t)使v(x,t)的边界条件化为齐次2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 代入(I),得 的定解问题(II) 令2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 如果仍取 的线性函数作为 ，则有 此时除非 ，否则这两式互相矛盾。当x0和x= =l 满足第二类边界条件注意：应取2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 例 定解问题其中A, B为常数. 解:令2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 代入方程，得 选 满足 它的解为2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 于是 满
22、足的方程为： 2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 利用分离变量法，求解得 其中从而，原定解问题的解为 2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 一. 选择适当的坐标系. 原则:边界条件的表达式最简单.二. 若边界条件是非齐次的, 引进辅助函数把边界条件化为齐次的。三. 对于齐次边界条件、非齐次方程的定解问题，可将问题分解为两个, 其 一是方程齐次, 并具有原定解条件的定解问题 (分离变量法)； 其二是具有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题(特征函数法).一般的定解问题的解法一般的定解问题的解法一般的定解问题的解法一般的定解问题的解法2.5 2.5 非齐次边
23、界条件的处理非齐次边界条件的处理 例例 求下列定解问题的解求下列定解问题的解其中其中 为常数。为常数。解解 1 1）边界条件齐次化，令）边界条件齐次化，令 2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 于是 满足如下定解问题2）将问题分解为两个定解问题。设2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 3）求解问题 (I), (II) 。首先，利用分离变量法求解问题 (I) 。特征值及相应的特征函数2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 则利用初始条件确定系数计算可得2.5 2.5 非齐次边界条件
24、的处理非齐次边界条件的处理 其次，利用特征函数法求解问题 (II) 将 按问题（I）的特征函数系进行傅立叶展开代入问题（II）的方程及初始条件，得2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 问题转化为求解下列常微分方程的初值问题解得所以2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 4）综合上述结果, 得到原问题的解2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理 对于二维拉普拉斯方程的边值问题而言, 应根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单, 便于求解. 例如, 对于圆域、圆环可以采用极坐标。应当指出,只有当求解区域非常规范时，才可以应用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题，或利用特征函数法求解泊松方程的定解问题.注： 圆域内的周期性条件及有界性条件在题目中是不给出的，这些条件需根据对题目的分析自己写出.2.5 2.5 非齐次边界条件的处理非齐次边界条件的处理
