《高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第3 3节函数的奇偶性与周期性节函数的奇偶性与周期性最新考纲最新考纲2.2.会运用函数图象理解和研究函会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性数的奇偶性. .3.3.了解函数周期性、最小正周期了解函数周期性、最小正周期的含义的含义, ,会判断、应用简单函数会判断、应用简单函数的周期性的周期性. . 1.1.结合具体函数结合具体函数, ,了解函数了解函数奇偶性的含义奇偶性的含义. . 知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】1.1.奇函数奇函数f(xf(x) )的图像一定过点的图像一定过点(0,0)(0,0)吗吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,只有
2、当只有当f(xf(x) )在在x=0x=0处有定义时处有定义时,f(x,f(x) )的图象才过的图象才过(0,0)(0,0)点点. .2.2.若函数若函数f(x+1)f(x+1)是奇函数是奇函数, ,函数函数y=f(xy=f(x) )关于点关于点(1,0)(1,0)对称吗对称吗? ?提示提示: :对称对称, ,因为因为y=f(x+1)y=f(x+1)关于原点关于原点(0,0)(0,0)对称对称, ,而而y=f(x+1)y=f(x+1)向右平移向右平移1 1个单位得到个单位得到y=f(xy=f(x) )的图象的图象, ,所以所以y=f(xy=f(x) )关于点关于点(1,0)(1,0)对称对称.
3、 .3.3.函数函数f(xf(x) )在定义域上满足在定义域上满足f(x+a)=-f(x)(af(x+a)=-f(x)(a0),0),那么那么f(xf(x) )的周期是的周期是多少多少? ?提示提示: :因为因为f(x+2a)=f(x+a)+a)=-f(x+a)=f(xf(x+2a)=f(x+a)+a)=-f(x+a)=f(x),),所以所以f(xf(x) )是以是以2a2a为为周期的周期函数周期的周期函数. .知识梳理知识梳理1.1.奇函数、偶函数的定义及图像特征奇函数、偶函数的定义及图像特征奇函数奇函数偶函数偶函数定义定义定义域定义域函数函数f(xf(x) )的定义域关于的定义域关于 对称
4、对称x x对于定义域内的对于定义域内的 一个一个x xf(xf(x) )与与f(-xf(-x) )的的关系关系都有都有_都有都有_结论结论函数函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数函数函数f(xf(x) )为偶函数为偶函数图像特征图像特征关于关于 对称对称关于关于 对称对称f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )原点原点y y轴轴原点原点任意任意2.2.函数的周期性函数的周期性(1)(1)周期函数周期函数:T:T为函数为函数f(x)f(x)的一个周期的一个周期, ,则需满足的条件则需满足的条件: :T0;T0;f(x+T)=f(xf(x+T)=f
5、(x) )对定义域内的任意对定义域内的任意x x都成立都成立. .(2)(2)最小正周期最小正周期: :如果在周期函数如果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个_,_,那么这个那么这个 就叫做它的最小正周期就叫做它的最小正周期. .(3)(3)周期不唯一周期不唯一: :若若T T是函数是函数y=f(x)(xy=f(x)(xR R) )的一个周期的一个周期, ,则则nT(nnT(nZ Z, ,且且n0)n0)也是也是f(x)f(x)的周期的周期, ,即即f(x+nT)=f(xf(x+nT)=f(x).).【重要结论【重要结论】1.1.函数奇偶性常用结论函数奇偶性常用结
6、论(1)(1)如果一个奇函数如果一个奇函数f(xf(x) )在原点处有定义在原点处有定义, ,即即f(0)f(0)有意义有意义, ,那么一定有那么一定有f(0)=0.f(0)=0.(2)(2)如果函数如果函数f(xf(x) )是偶函数是偶函数, ,那么那么f(x)=f(|xf(x)=f(|x|).|).(3)(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性; ;偶函数在两个对称的偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性区间上具有相反的单调性. .(4)(4)在公共定义内有在公共定义内有: :奇奇奇奇= =奇奇, ,偶偶偶偶= =偶偶, ,奇奇奇奇= =偶偶
7、, ,偶偶偶偶= =偶偶, ,奇奇偶偶= =奇奇. .最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数3.3.对称性的三个常用结论对称性的三个常用结论(1)(1)若函数若函数y=f(x+ay=f(x+a) )是偶函数是偶函数, ,即即f(a-x)=f(a+xf(a-x)=f(a+x),),则函数则函数y=f(xy=f(x) )的图像关的图像关于于直线直线x=ax=a对称对称. .(2)(2)若对于若对于R R上的任意上的任意x x都有都有f(2a-x)=f(xf(2a-x)=f(x) )或或f(-x)=f(2a+x),f(-x)=f(2a+x),则则y=f(xy=f(x) )的的图像关于图像关于直线直
8、线x=ax=a对称对称. .(3)(3)若函数若函数y=f(x+by=f(x+b) )是奇函数是奇函数, ,即即f(-x+b)+f(x+bf(-x+b)+f(x+b)=0,)=0,则函数则函数y=f(x)y=f(x)关于关于点点(b,0)(b,0)中心对称中心对称. .夯基自测夯基自测B B1.(20151.(2015高考北京卷高考北京卷) )下列函数中为偶函数的是下列函数中为偶函数的是( ( ) )(A)y(A)y=x=x2 2sin xsin x(B)y(B)y=x=x2 2cos xcos x(C)y=|ln x|(C)y=|ln x|(D)y(D)y=2=2-x-x解析解析: :y=x
9、y=x2 2sin xsin x为奇函数为奇函数,y=x,y=x2 2cos xcos x为偶函数为偶函数,y=|ln,y=|ln x| x|与与y=2y=2-x-x均为均为非奇非偶函数非奇非偶函数. .B BB B3.3.已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x) )满足满足f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),则则f(8)f(8)的值为的值为( ( ) )(A)-1(A)-1(B)0(B)0(C)1(C)1(D)2(D)2解析解析: :因为因为f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),所以所以f(xf(x) )是以是以4 4为周期的周期函数为周期的周期函数
10、. .所以所以f(8)=f(0).f(8)=f(0).又函数又函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,所以所以f(8)=f(0)=0.f(8)=f(0)=0.答案答案: :1 1考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断考点一考点一反思归纳反思归纳 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性(1)(1)定义法定义法: :定义域关于原点对称定义域关于原点对称,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x,f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x) )分别为奇、分别为奇、偶函数偶函数. .(2)(2)分段函数奇偶性的判断分段函数奇
11、偶性的判断, ,要从每一段寻找等式要从每一段寻找等式f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )或或f(-xf(-x) )=-f(x=-f(x),),只有每个区间上都满足相同关系时只有每个区间上都满足相同关系时, ,分段函数才具有奇偶性分段函数才具有奇偶性. .(3)(3)函数图像关于原点、函数图像关于原点、y y轴对称分别为奇函数、偶函数轴对称分别为奇函数、偶函数. .(2)(2015(2)(2015高考湖南卷高考湖南卷) )设函数设函数f(xf(x)=ln(1+x)-ln(1-x),)=ln(1+x)-ln(1-x),则则f(xf(x) )是是( () )(A)(A)奇函数奇函数, ,且在且
12、在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数(B)(B)奇函数奇函数, ,且在且在(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数(C)(C)偶函数偶函数, ,且在且在(0,1)(0,1)上是增函数上是增函数(D)(D)偶函数偶函数, ,且在且在(0,1)(0,1)上是减函数上是减函数函数周期性及其应用函数周期性及其应用考点二考点二答案答案: :C C(2)(2015(2)(2015菏泽模拟菏泽模拟) )定义在实数集定义在实数集R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足f(x)+f(x+2)=0,f(x)+f(x+2)=0,且且f(4-x)=f(xf(4-x)=f(x) )现有以下三种叙述现有以下
13、三种叙述: :88是函数是函数f(xf(x) )的一个周期的一个周期;f(x;f(x) )的图像关于直线的图像关于直线x=2x=2对称对称;f(x;f(x) )是偶是偶函数函数. .其中正确的序号是其中正确的序号是. .解析解析: :(2)(2)由由f(x)+f(x+2)=0,f(x)+f(x+2)=0,得得f(x+2)=-f(xf(x+2)=-f(x),),则则f(x+4)=-f(x+2)=f(xf(x+4)=-f(x+2)=f(x),),即即4 4是是f(xf(x) )的一个周期的一个周期,8,8也是也是f(xf(x) )的一个周期的一个周期; ;由由f(4-x)=f(xf(4-x)=f(
14、x),),得得f(xf(x) )的的图像关于直线图像关于直线x=2x=2对称对称; ;由由f(4-x)=f(xf(4-x)=f(x) )与与f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),得得f(4-x)=f(-xf(4-x)=f(-x),),即即f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),即函数即函数f(xf(x) )为偶函数为偶函数. .答案答案: :(2)(2)反思归纳反思归纳 函数周期性的判定与应用函数周期性的判定与应用(1)(1)判定判定: :判断函数的周期性只需证明判断函数的周期性只需证明f(x+Tf(x+T)=f(x)(T0)=f(x)(T0)便可证明函数便可证明函数是周期函数是
15、周期函数, ,且周期为且周期为T.T.(2)(2)应用应用: :根据函数的周期性根据函数的周期性, ,可以由函数局部的性质得到函数的整体性可以由函数局部的性质得到函数的整体性质质, ,在解决具体问题时在解决具体问题时, ,要注意结论要注意结论: :若若T T是函数的周期是函数的周期, ,则则kT(kkT(kZ Z且且k0)k0)也是函数的周期也是函数的周期. .【即时训练【即时训练】 定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)f(x)满足满足f(x+2)f(x+2)f(x)=1f(x)=1对于对于xxR R恒成立恒成立, ,且且f(x)0,f(x)0,则则f(119)=f(119)=. .
16、答案答案: :1 1函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用考点三考点三【例【例3 3】 (1)(1)设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,当当x0x0时时,f(x,f(x)=2x)=2x2 2-x,-x,则则f(1)f(1)等于等于( () )(A)-3(A)-3(B)-1(B)-1(C)1(C)1(D)3(D)3解析解析: :(1)(1)因为因为f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,当当x0x0时时,f(x,f(x)=2x)=2x2 2-x,-x,所以所以f(1)=-f(-1)=-2f(1)=-f(-1)=-2(-1)(-1)2 2-(-1)=-3.-(-1)=-
17、3.故选故选A.A.反思归纳反思归纳 函数奇偶性应用的常见题型及求解策略函数奇偶性应用的常见题型及求解策略题型题型求解策略求解策略求函数值求函数值将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解值求解求函数解析求函数解析式中参数的值式中参数的值利用待定系数法求解利用待定系数法求解, ,根据根据f(x)f(x)f(-xf(-x)=0)=0得到关于待求参数得到关于待求参数的恒等式的恒等式, ,由系数的对等性得参数的值或方程由系数的对等性得参数的值或方程( (组组),),进而得出进而得出参数的值参数的值比较函数值比较函数值的大小或解的大小
18、或解函数不等式函数不等式利用奇、偶函数的图像特征或根据奇函数在对称区间上的单利用奇、偶函数的图像特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致调性一致, ,偶函数在对称区间上的单调性相反偶函数在对称区间上的单调性相反, ,转化到同一单转化到同一单调区间上求解调区间上求解求函数解求函数解析式析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上将待求区间上的自变量转化到已知区间上, ,再利用奇偶性求再利用奇偶性求出出, ,或充分利用奇偶性构造关于或充分利用奇偶性构造关于f(xf(x) )的方程的方程( (组组),),从而得到从而得到f(xf(x) )的解析式的解析式【即时训练】【即时训练】 (1)(2015(1)(
19、2015邢台质检邢台质检) )已知函数已知函数f(xf(x)=ax)=ax5 5+x+x3 3+bx-5,+bx-5,若若f(-100)=8,f(-100)=8,那么那么f(100)=f(100)=. .解析解析: :(1)(1)设设g(xg(x)=ax)=ax5 5+x+x3 3+bx,h(x)=-5,+bx,h(x)=-5,易得易得g(xg(x) )为奇函数为奇函数,h(x,h(x) )为偶函数为偶函数, ,所以所以f(x)=g(x)+h(xf(x)=g(x)+h(x),),f(-100)=g(-100)+h(-100)=8,f(-100)=g(-100)+h(-100)=8,所以所以g(
20、-100)=13,g(-100)=13,f(100)=g(100)+h(100)=-g(-100)+h(-100)=-13-5=-18.f(100)=g(100)+h(100)=-g(-100)+h(-100)=-13-5=-18.答案答案: :(1)-18 (1)-18 (2)(2015(2)(2015东莞模拟东莞模拟) )已知已知f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且当且当x0x0时时,f(x,f(x)=)=x x2 2+2x-1,+2x-1,则则f(xf(x) )在在R R上的解析式为上的解析式为. .函数性质的综合应用函数性质的综合应用( (高频考点高频考
21、点) )考点四考点四【例【例4 4】 已知定义在已知定义在R R上的奇函数满足上的奇函数满足f(xf(x)=x)=x2 2+2x(x0),+2x(x0),若若f(3-af(3-a2 2)f(2a),f(2a),则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是. .解析解析: :当当x0x0时时,f(x,f(x)=x)=x2 2+2x=(x+1)+2x=(x+1)2 2-1,-1,所以函数所以函数f(xf(x) )在在0,+)0,+)上为增函数上为增函数, ,又函数又函数f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,所以函数所以函数f(xf(x) )在在R R上是增函数上是增函数.
22、 .由由f(3-af(3-a2 2)f(2a)f(2a)得得3-a3-a2 22a.2a.解得解得-3a1.-3a1.考查角度考查角度1:1:函数的单调性与奇偶性相结合问题函数的单调性与奇偶性相结合问题. .高考扫描高考扫描: :20112011高考新课标卷高考新课标卷答案答案: :(-3,1)(-3,1)反思归纳反思归纳 函数单调性与奇偶性结合函数单调性与奇偶性结合, ,注意函数单调性及奇偶性的注意函数单调性及奇偶性的定义定义, ,以及奇、偶函数图象的对称性以及奇、偶函数图象的对称性. .考查角度考查角度2:2:函数的奇偶性与周期性相结合问题函数的奇偶性与周期性相结合问题. .【例【例5 5
23、】 若若f(xf(x) )是是R R上周期为上周期为5 5的奇函数的奇函数, ,且满足且满足f(1)=1,f(2)=2,f(1)=1,f(2)=2,则则f(3)-f(4)f(3)-f(4)等于等于( () )(A)-1(A)-1(B)1(B)1(C)-2(C)-2(D)2(D)2解析解析: :由由f(xf(x) )是是R R上周期为上周期为5 5的奇函数知的奇函数知f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,f(3)=f(-2)=-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,所以所以f(3)-f(4)=-1.f(3)-f(4)=-1.故选故选A.
24、A.反思归纳反思归纳 周期性与奇偶性结合周期性与奇偶性结合, ,此类问题多考查求值问题此类问题多考查求值问题, ,常利常利用奇偶性及周期性进行交替转化用奇偶性及周期性进行交替转化, ,将所求函数值的自变量转化到已知解将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解析式的函数定义域内求解. .考查角度考查角度3:3:函数的奇偶性与对称性相结合问题函数的奇偶性与对称性相结合问题. .高考扫描高考扫描: :20142014高考新课标卷高考新课标卷【例【例6 6】 (2014(2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷)偶函数偶函数y=f(xy=f(x) )的图象关于直线的图象关于直线x=2x=2
25、对称对称,f(3)=3,f(3)=3,则则f(-1)=f(-1)=. .解析解析: :因为因为f(xf(x) )的图像关于直线的图像关于直线x=2x=2对称对称, ,所以所以f(2+1)=f(2-1),f(2+1)=f(2-1),即即f(1)=f(3)=3,f(1)=f(3)=3,又函数又函数y=f(xy=f(x) )是偶函数是偶函数, ,所以所以f(-1)=f(1)=3.f(-1)=f(1)=3.答案答案: :3 3反思归纳反思归纳 (1)(1)若函数若函数f(xf(x) )关于直线关于直线x=ax=a和直线和直线x=b(abx=b(ab) )对称对称, ,则函数则函数f(xf(x) )必为
26、周期函数必为周期函数,2(a-b),2(a-b)是它的一个周期是它的一个周期; ;(2)(2)若函数若函数f(xf(x) )关于点关于点(a,0)(a,0)和点和点(b,0)(ab)(b,0)(ab)对称对称, ,则函数则函数f(xf(x) )必为周必为周期函数期函数,2(a-b),2(a-b)是它的一个周期是它的一个周期. .考查角度考查角度4 4: :函数的奇偶性、周期性、单调性相结合问题函数的奇偶性、周期性、单调性相结合问题. .【例【例7 7】 已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数f(xf(x) )满足满足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),且在区间且在区间0
27、,20,2上是增函数上是增函数, ,则则( () )(A)f(-25)f(11)f(80)(A)f(-25)f(11)f(80)(B)f(80)f(11)f(-25)(B)f(80)f(11)f(-25)(C)f(11)f(80)f(-25)(C)f(11)f(80)f(-25)(D)f(-25)f(80)f(11)(D)f(-25)f(80)f(11)解析解析: :因为因为f(xf(x) )满足满足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),所以所以f(x-8)=f(xf(x-8)=f(x),),所以函数所以函数f(xf(x) )是以是以8 8为周期的周期函数为周期的周期函数, ,则
28、则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由由f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且满足且满足f(x-4)=-f(xf(x-4)=-f(x),),得得f(11)=f(3)=f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).-f(-1)=f(1).因为因为f(xf(x) )在区间在区间0,20,2上是增函数上是增函数,f(x,f(x) )在在R R上是奇函数上是奇函数, ,所以所以f(xf(x) )在区间在区间-2,2-2,2上是增函数上是增函数, ,所以所以f(-1)f
29、(0)f(1),f(-1)f(0)f(1),即即f(-25)f(80)f(11).f(-25)f(80)f(11).故选故选D.D.反思归纳反思归纳 周期性、奇偶性与单调性结合周期性、奇偶性与单调性结合, ,解决此类问题通常先利解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间用周期性转化自变量所在的区间, ,然后利用奇偶性和单调性求解然后利用奇偶性和单调性求解. .备选例题备选例题【例【例1 1】 设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,且对任意实数且对任意实数x,x,恒有恒有f(x+2)=f(x+2)=-f(x-f(x).).当当x0,2x0,2时时,f(x,f
30、(x)=2x-x)=2x-x2 2. .(1)(1)求证求证:f(x:f(x) )是周期函数是周期函数; ;(1)(1)证明证明: :因为因为f(x+2)=-f(xf(x+2)=-f(x),),所以所以f(x+4)=-f(x+2)=f(xf(x+4)=-f(x+2)=f(x),),所以所以f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数. .(2)(2)当当x2,4x2,4时时, ,求求f(xf(x) )的解析式的解析式; ;(2)(2)解解: :当当x-2,0x-2,0时时,-x0,2,-x0,2,由已知得由已知得f(-xf(-x)=2(-x)-(-x)=2(-x)-(-x)2
31、2=-2x-x=-2x-x2 2. .又又f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x)=-2x-x)=-2x-x2 2, ,所以所以f(xf(x)=x)=x2 2+2x.+2x.又当又当x2,4x2,4时时,x-4-2,0,x-4-2,0,所以所以f(x-4)=(x-4)f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4).+2(x-4).又又f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, ,所以所以f(xf(x)=f(x-4)=(x-4)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8.从而求得
32、从而求得x2,4x2,4时时,f(x)=x,f(x)=x2 2-6x+8.-6x+8.(3)(3)计算计算f(0)+f(1)+f(2)+f(0)+f(1)+f(2)+f(2014).+f(2014).(3)(3)解解: :f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又又f(xf(x) )是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, ,所以所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)= =f(2008)+f(2
33、009)+f(2010)+f(2011)=0,=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0,所以所以f(0)+f(1)+f(2)+f(0)+f(1)+f(2)+f(2014)=f(0)+f(1)+f(2)=0+1+0=1.+f(2014)=f(0)+f(1)+f(2)=0+1+0=1.经典考题研析经典考题研析 在经典中学习方法在经典中学习方法已知函数的奇偶性解不等式已知函数的奇偶性解不等式命题意图命题意图: :本题通过函数的奇偶性转化为方程问题求解参数本题通过函数的奇偶性转化为方程问题求解参数, ,而后得出函而后得出函数解析式数解析式, ,分析出函数单调性分析出函数单调性, ,定义域是本题隐含的条件定义域是本题隐含的条件, ,借助单调性转借助单调性转化为自变量之间的关系化为自变量之间的关系, ,从而得出从而得出x x的取值范围的取值范围. .
