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1、3.1.3 3.1.3 复数的几何意义复数的几何意义主讲人主讲人: : 宋宋 丹丹回回忆忆复数的复数的一般形一般形式？式？Z=a+bi(a, bR)实部实部!虚部虚部!实部和虚部确定实部和虚部确定唯一的复数唯一的复数探究（一）：探究（一）：复数的点表示复数的点表示 思考思考1 1：设复数设复数zabi（a，bR), 以以z的实部的实部和虚部组成一个有序实数对（和虚部组成一个有序实数对（a，b），），那么复数那么复数z与有序实数对（与有序实数对（a，b）之间）之间是一个怎样的对应关系？是一个怎样的对应关系？ 一一对应关系一一对应关系思考思考2 2：有序实数对（有序实数对（a，b）的几何意义的几何
2、意义是什么？复数是什么？复数z zabi i（a，bRR）可以）可以用什么几何量来表示？用什么几何量来表示？ 复数复数z zabi i（a，bRR）可以用直角坐）可以用直角坐标系中的点标系中的点Z Z（a，b）来表示）来表示. .x xy yO Oab bZ Z：abi i直角坐标系直角坐标系中的中的点点复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)X (1)Y (i)obaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴 (单位单位 1) y轴轴-虚轴虚轴 (单单位位 i)（数）（数）（形）
3、（形）-复平面复平面一一对应一一对应z=a+bi复数的几何意义（一）复数的几何意义（一）在复平面内:OXY（） -2 ；（） i；（） 1+2i；（） 2+4i；（） -3+5i；（） -3i；练习1.在复平面内.作出表示下列复数的点(A) (A) 对应于实数的点都在实轴上；对应于实数的点都在实轴上；(B) (B) 对应于纯虚数的点都在虚轴上；对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C) (C) 实轴上的点所对应的复数都是实数；实轴上的点所对应的复数都是实数；(D) (D) 虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。练习练习 2:2: 在复平面内，下列命题中的假命题是 ( )
4、D D(实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.)例例1 1 : :已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i +m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限，在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数求实数m m的取值范围。的取值范围。 一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想探究（二）：复数的向量表示探究（二）：复数的向量表示思考思考1 1：用坐标用坐标( (a,ba,b) )表示平面向量，表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？的有向线段？ 以原点为始点，向量
5、以原点为始点，向量的坐标对应的点为终的坐标对应的点为终点画有向线段点画有向线段. . x xy yO O(a，b)类比：类比：在复平面内，复数在复平面内，复数z zabi i（a，bR R）用向量如何表示？）用向量如何表示？x xy yO Oab bZ Z：abi i以原点以原点O O为始点，点为始点，点Z Z（a a，b b）为）为终点的终点的向量向量复数复数z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量一一对应一一对应一一对应一一对应复数的几何意义（二）复数的几何意义（二）xyobaZ(a,b)z=a+bi规规定定：相相等等的的向向量量表表示示同同一一个个
6、复复数数。定义：定义：复数复数z zabi i（a，bRR）可以用）可以用向量向量 表示，向量表示，向量 的模叫做复数的模叫做复数z z的的模模( (或或绝对值绝对值) )，记作，记作|z|z|或或| |abi|.i|.x xy yO Oab bZ Z：abi i思考思考: : 那么那么| |a ab bi|i|的计算公式是什么的计算公式是什么? ?复数的模复数的模: :xOz=a+biy复数的复数的模模 ( (绝对值绝对值) )的的几何意义几何意义: :Z (a,b)复数的模的几何意义复数的模的几何意义: :复数复数 z=z=a+ +bi i在复在复平面上对应的点平面上对应的点Z(a,b)到
7、原点的距离。到原点的距离。| z | = | |如果如果b=0b=0，那么，那么Z=Z=a+bia+bi就是实数就是实数a a，它，它的模等于实数的模等于实数a a的的绝对值绝对值。 定义：定义：如果两个复数的实部相等如果两个复数的实部相等,而虚部而虚部 互为相反数互为相反数, 则这两个复数叫做则这两个复数叫做共轭复共轭复数数.复数复数Z的共轭复数用的共轭复数用 表示表示. x xy yO Oab bZ=Z=abi i-b-bZ=Z=abi ib bZ=Z=abi iy yb bZ=Z=abi iy yb bZ=Z=abi iy yb bZ=Z=abi iy yb bZ=Z=abi i-b-b
8、-b-by yb bZ=Z=abi i显然显然, ,在复平面内在复平面内, ,表示两个共表示两个共轭复数的点关于实轴对称轭复数的点关于实轴对称, ,并并且它们的模相等且它们的模相等. .即即Z=Z=a+bia+bi时时, ,则则 =a-bi=a-bi共轭复数共轭复数: : 若当虚部若当虚部b=0b=0时时, ,有有Z= Z= , , ( (即任一实数的共即任一实数的共轭复数仍是它本身轭复数仍是它本身) )定义：定义：如果两个复数的实部相等如果两个复数的实部相等,而虚部而虚部 互为相反数互为相反数, 则这两个复数叫做则这两个复数叫做共轭复共轭复数数.复数复数Z的共轭复数用的共轭复数用 表示表示.
9、 即即Z=Z=a+bia+bi时时, ,则则 =a-bi=a-bi定义：定义：如果两个复数的实部相等如果两个复数的实部相等,而虚部而虚部 互为相反数互为相反数, 则这两个复数叫做则这两个复数叫做共轭复共轭复数数.复数复数Z的共轭复数用的共轭复数用 表示表示. 即即Z=Z=a+bia+bi时时, ,则则 =a-bi=a-bi定义：定义：如果两个复数的实部相等如果两个复数的实部相等,而虚部而虚部 互为相反数互为相反数, 则这两个复数叫做则这两个复数叫做共轭复共轭复数数.复数复数Z的共轭复数用的共轭复数用 表示表示. 即即Z=Z=a+bia+bi时时, ,则则 =a-bi=a-bi定义：定义：如果两
10、个复数的实部相等如果两个复数的实部相等,而虚部而虚部 互为相反数互为相反数, 则这两个复数叫做则这两个复数叫做共轭复共轭复数数.复数复数Z的共轭复数用的共轭复数用 表示表示. 即即Z=Z=a+bia+bi时时, ,则则 =a-bi=a-bi 例例2:2:求下列复数的模和它们的共轭复数：(1)z(1)z1 1=5 =5 (2)z(2)z2 2=-5i=-5i(3)z(3)z3 3=3-4i=3-4i(4)z4=5-5iz4=5-5i(5)z5=4a-3ai(a0)(5)z5=4a-3ai(a0)(5 ,5)(5 ,5)( 5 ,3+4i )( 5 ,3+4i )(5 5 ,5i5i)( (5a,
11、4a+3ai )5a,4a+3ai )(1)(1)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？ (2)(2)这些复数对应的这些复数对应的点点在复平面上构在复平面上构成怎样的成怎样的图形图形？ 思思 考考xyO设设z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR) )例例3: 3: 满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的复数复数z z对应的点在复平面上对应的点在复平面上将构成怎样的将构成怎样的图图形形？5555以原点为圆心以原点为圆心,5,5为半径的为半径的圆圆. .图形图形: :5xyO设设z=z=x+yi(x,yRx+yi(x,yR) )例例4:4:满足满
12、足3|z|5(zC)3|z|5(zC)的的复复数数z z对应的点在复平对应的点在复平面上将构成怎样的面上将构成怎样的 图图形形 ？55553333图形图形: : 以原点为圆心以原点为圆心, , 半径半径3 3至至5 5的的圆环内圆环内. . 已知复数 是复数 的共轭复数 ,求 的值.巩固与提高练习巩固与提高练习: : 已知复数 是复数 的共轭复数 ,求 的值.小结小结:1.复数的点的表示复数的点的表示;2.2.复数的向量表示复数的向量表示; ;3.3.复数的模复数的模( (绝对值绝对值););4.4.共轭复数共轭复数. .重要思想重要思想- -数形结合思想数形结合思想作业与思考题v一、作业v 课本P89 : 1、2、3题v二、思考题(选做)v 如 果 复 数 z满 足 |z+i|+|z-i|=2， 那 么 |z+i+1|的最小值是_
