《复变函数与积分变换：第八章 拉普拉斯变换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换：第八章 拉普拉斯变换（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换学习要点学习要点掌握拉普拉斯变换及其性质掌握拉普拉斯变换及其性质掌握拉普拉斯逆变换的计算掌握拉普拉斯逆变换的计算 第八章第八章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换掌握用拉普拉斯逆变换解线性掌握用拉普拉斯逆变换解线性微分方程微分方程 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换Fourier变换的两个限制：变换的两个限制：8.1 Laplace变换变换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换1. 定义定义 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换2. 拉氏变换的存
2、在定理拉氏变换的存在定理存在定理存在定理 若函数若函数f (t)满足满足:(1) 在在t 0的任一有限区间上分段连续的任一有限区间上分段连续;(2) f (t)是指数增长型的是指数增长型的, 即存在常数即存在常数 M 0 及及c 0, 使得使得|f (t)| Mect, t 0，c称为称为f(t) 的增长指数的增长指数 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例1解：解：由定义由定义 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解：解：例例2根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分
3、变变换换例例3 求指数函数求指数函数 f (t)=eat 的拉氏变换的拉氏变换(a为复数为复数).解：解：根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例4解：解： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换称为称为Gamma函数函数Gamma函数的性质：函数的性质： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换8.2 Laplace变换的性质变换的性质为方便起见为方便起见, 假定在这些性质中假定在这些性质中, 凡是要求拉凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的氏变换的函数
4、都满足拉氏变换存在定理中的条件条件, 在证明性质时不再重述这些条件在证明性质时不再重述这些条件.1. 线性性质线性性质: 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换2. 微分性质微分性质推论：推论： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换此性质可以使我们有可能将此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程的微分方程转化为转化为F(s)的代数方程的代数方程. 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换像函数的微分性质像函数的微分性质: :3. 积分性质积分性质: 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分
5、变变换换象函数积分性质象函数积分性质: :证明：证明： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换4. 关于关于s的位移性质的位移性质5. 关于关于t的位移性质的位移性质延迟性质延迟性质 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 函数函数f (t- -t t)与与f (t)相比相比, f (t)从从t = 0开始开始有非零数值有非零数值.而而 f (t- -t t)是从是从t =t t 开始才有非零开始才有非零数值数值. 即延迟了一个时间即延迟了一个时间t t. 从图象看从图象看, f (t- -t t)是由是由f (t)沿沿 t 轴向右平轴向
6、右平移移t t 而得而得, 其拉氏变换也多一个因子其拉氏变换也多一个因子e- -st t.Ottf(t)f(t-t-t) 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例1 解解例例2 解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例4 解解例例3 解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解解 例例6 例例5 解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例7 解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换6. 相似性质相似性质初值定理和终值定理告诉我们通过像
7、函数可初值定理和终值定理告诉我们通过像函数可以得到原像函数的某些性质以得到原像函数的某些性质7*. 初值定理初值定理 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换8*. 终值定理终值定理例例8 * 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换前面主要讨论了由已知函数前面主要讨论了由已知函数f (t)求它的像函数求它的像函数F(s), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问但在实际应用中常会碰到与此相反的问题题, 即已知像函数即已知像函数F(s)求它的像原函数求它的像原函数 f (t). 8.3 Laplace逆变换逆变换上式右端的积分称为拉氏反演积分上式
8、右端的积分称为拉氏反演积分 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 Laplace逆变换的计算方法逆变换的计算方法定理定理1. 留数法留数法 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换RO实轴实轴虚轴虚轴LCRb b+iRb b- -iR为奇点为奇点b b解析解析 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例1解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例2解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换2. 部分分式法部分分式法1) 将该函数分解为若干个简单而又
9、易于看出将该函数分解为若干个简单而又易于看出2) 其象原函数的部分分式的代数和的形式，其象原函数的部分分式的代数和的形式，当给定的象函数是有理函数时，当给定的象函数是有理函数时，2) 利用拉普拉斯逆变换的性质求出各个分式利用拉普拉斯逆变换的性质求出各个分式 的象原函数，的象原函数，3) 象原函数的代数和便是所求结果象原函数的代数和便是所求结果 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例3解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换解一解一 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换注注 当象函数具有共轭复极点时，不
10、将其当象函数具有共轭复极点时，不将其 分解成最简分式往往更简便分解成最简分式往往更简便.解二解二 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换如果如果f1(t)与与f2(t)都满足条件都满足条件: 当当t0时时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式可以写成：则上式可以写成：8.4 卷积卷积卷积的概念卷积的概念：两个函数的卷积是指两个函数的卷积是指 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积. .卷积定理：卷积定理： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换
11、换 例例1解解 由卷积定义，有由卷积定义，有 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例2 解：解： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例3解：解： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 对一个系统进行分析和研究对一个系统进行分析和研究, 首先要知首先要知道该系统的数学模型道该系统的数学模型, 也就是要建立该系统也就是要建立该系统特性的数学表达式特性的数学表达式. 所谓线性系统所谓线性系统, 在许多场在许多场合合, 它的数学模型可以用一
12、个线性微分方程它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述来描述, 或者说是满足叠加原理的一类系统或者说是满足叠加原理的一类系统. 这一类系统无论是在电路理论还是在自动控这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中制理论的研究中, 都占有很重要的地位都占有很重要的地位. 本节将应用拉氏变换来解线性微分方程本节将应用拉氏变换来解线性微分方程.8.5 Laplace变换的应用变换的应用 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换象原函数象原函数(微分方程的解微分方程的解)象函数象函数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程取拉氏逆变换取拉氏逆变换取拉氏变换取拉氏
13、变换解代数解代数方程方程微分方程的拉氏变换解法微分方程的拉氏变换解法 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例1 求解求解例例2 求解求解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例1 求解求解解：解： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换例例2 求解求解 解：解： 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换练习：练习：1 求解求解 2 求解求解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换1 求解求解解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换2 求解求解 解解 哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学 复复变变函函数数与与积积分分变变换换
