概率论与数理统计课件：1-6独立事件

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1、一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理二、几个重要定理三、例题讲解三、例题讲解四、独立试验序列四、独立试验序列 1.7 1.7 事件的独立性事件的独立性五、小结五、小结一、相互独立的事件一、相互独立的事件(一一) 两个事件的独立性两个事件的独立性由由条件概率，知条件概率，知一般地，一般地，这这意味着：事件意味着：事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概率发生的概率有影响有影响. 然而，在有些情形下又会出现：然而，在有些情形下又会出现：则有则有1.引例引例2. 定义定义注注. 1说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件

2、B 发生的概率无关发生的概率无关.3.性质性质(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.证证 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A)= P( ) P(A)即即 与与A独立独立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 与与A独立独立.(2) 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事则以下三对事件件也也相互独立相互独立.证证 注注 称此为二事件的独立性称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭关于逆运算封闭.又又 A与与B相互独立相互独立注：注： 独立与互斥的关系独立与互斥的关系两事件相互

3、独立两事件相互独立两事件互斥两事件互斥例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.若若A与与B互斥，则互斥，则 AB = B发生时，发生时，A一定不发生一定不发生.这表明这表明: B的发生会影响的发生会影响 A发生的可能性发生的可能性(造成造成A不发生不发生), 即即B的发生造成的发生造成 A发生的概率为零发生的概率为零. 所以所以A与与B不独立不独立.理解理解: BA甲甲,

4、乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中已知甲击中敌机的概率为敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 B= 乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 依依题设题设,例例1由于由于 甲，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独立独立,进而进而= 0.8例例2 一个家庭中有男孩又有女孩，假定生一个家庭中有男孩又有女孩，假定生男生女是等可能的。令男生女是等可能的。令A：一个家庭中有男：一个家庭中有

5、男孩又有女孩，孩又有女孩，B：一个家庭中最多有一个女：一个家庭中最多有一个女孩。对下述两种情形，讨论孩。对下述两种情形，讨论A和和B的独立性。的独立性。 （1）家庭中有两个小孩；）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。）家庭中有三个小孩。事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关.1. 三事件三事件两两两两独立的概念独立的概念(二二) 多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义2. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义定义设设一个口袋里装有四张形状相同的卡片一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在这四张卡片

6、上依次标有下列各组数字：在这四张卡片上依次标有下列各组数字：111，001，100，010,从袋中任取一张从袋中任取一张卡片，记卡片，记证明：证明：例例3 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 个事件的独立性个事件的独立性定义定义若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有定义定义注注. 两个结论两个结论例例4 设设n个人向保险公司购买人身意外保个人向保险公司购买人身意外保险（一年），假定投保人在一年内发生意险（一年）

7、，假定投保人在一年内发生意外的概率为外的概率为0.01。（。（1）求保险公司赔付的）求保险公司赔付的概率；（概率；（2）当）当n为多大时，使得赔付的概为多大时，使得赔付的概率超过率超过1/2。n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则 也相互独立也相互独立即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.结论的应用结论的应用则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )若设若设n个独立事件个独立事件发

8、生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出：类似可以得出：至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“=1- - p1 pn 事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性：由由元件组成的系统正常元件组成的系统正常工作的概率工作的概率. 设一个系统由设一个系统由2n 个元件组成，每个元件个元件组成，每个元件的可靠性均为的可靠性均为 r(0 r1)，且各元件能否正常，且各元件能否正常工作是相互独立的工作是相互独立的.(1) 求求下列两个系统下列两个系统和和的可

9、靠性；的可靠性；(2) 问：哪个系统的可靠性更大？问：哪个系统的可靠性更大？例例4则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重伯努里试验，简称为重伯努里试验，简称为伯努里概型伯努里概型.若若n 次重复试验具有下列次重复试验具有下列特点：特点：二二. n 重伯重伯努利努利(Bernoulli)试验试验1) 每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或3) 各次试验相互独立，各次试验相互独立，2) A在每次试验中出现的概率在每次试验中出现的概率p保持不变，保持不变，4) 试验共进行试验共进行n次。次。实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将若将 硬

10、币抛硬币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.一般地，一般地，对于对于伯努里概型伯努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理 如果在伯努里试验中，事件如果在伯努里试验中，事件A出现的出现的概率为概率为p (0p1), 则在则在n次试验中，次试验中，A恰好恰好出现出现 k 次的概率为：次的概率为：3. 二项概率公式二项概率公式推导如下：推导如下：且两两且两两互不相容互不相容.称上式为称上式为二项分布二项分布. 记为记为经计算得经计算得例例5解解几何分布几何分布几

11、何分布几何分布例例6解解三、内容小结三、内容小结4 二项分布二项分布 5 几何分布几何分布备用题备用题伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色其第一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A , B, C 分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红, 白白, 黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件, 问问 A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红由于在四面体中红, 白白, 黑分别出现两面黑分别出现两面, 因此因此又由题意

12、知又由题意知例例1故有故有因此因此 A、B、C 不相互独立不相互独立.则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击问击落飞机的概率是多少落飞机的概率是多少?射击问题射击问题例例2 2解解事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为

13、0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机 , 例例3因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为 要验收一批要验收一批(100件件)乐器乐器.验收方案如下验收方案如下:自该批乐器中随机地取自该批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试件乐器的测试是相互独立的是相互独立的),如果如果3件中至少有一件在测试中被件中至少有一件在测试中被认为音色不纯认为音色不纯,

14、则这批乐器就被拒绝接收则这批乐器就被拒绝接收.设一件设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为为0.95;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为的概率为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是件是音色不纯的音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少试问这批乐器被接收的概率是多少?解解例例4 4纯的乐器纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为 0.99 ,已知一件音色已知一件音色而一件音色不纯的乐器而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的经测试被认为音

15、色纯的概率为概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的并且三件乐器的测试是相互独立的,于是有于是有En: 可看成将可看成将 E 重复了重复了n次次, 这是一个这是一个n重重 伯努里试验伯努里试验.解解例例5E ：观察观察1局比赛甲是否获胜局比赛甲是否获胜设在设在n次试验中，次试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：“甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;“甲甲乙乙甲甲甲甲”, “乙乙甲甲甲甲甲甲”, “甲甲甲甲乙乙甲甲”; 如：如：比赛比赛3局，局，“甲甲甲甲甲甲”；比赛比赛4局，局，例例6解解解解依题设，依题设，例例7E：观察一个卵是否变成虫观察一个卵是否变成虫En ：观察观察n个卵是否变成虫个卵是否变成虫En 可看成将可看成将 E 重复了重复了n次次, 这是一个这是一个贝努里试验贝努里试验.依题设，依题设，P(A)= p设设 B=该蚕产了该蚕产了k只小蚕只小蚕，则由二项概率公式，则由二项概率公式小蚕小蚕=虫虫得得 )= 0(n=0, 1, 2,k-1)P(B)由贝叶斯由贝叶斯公式，得公式，得例例 甲乙二人轮流射击，甲的命中率为甲乙二人轮流射击，甲的命中率为0.3，乙的命中率为乙的命中率为0.4.若甲先开始射击，求个人若甲先开始射击，求个人先命中目标的概率。先命中目标的概率。