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1、古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点: :（1 1）每个基本事件出现的可能性）每个基本事件出现的可能性相等相等; ;（2 2）试验中所有可能出现的基本事件只有）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个有限个. .前面我们学习了古典概型的特点以及概率计算公式和随机数模前面我们学习了古典概型的特点以及概率计算公式和随机数模拟古典概型试验拟古典概型试验对于对于有限有限的基本事件的基本事件,我们了可以通过试验方法计算我们了可以通过试验方法计算频率得到概率的近似估计概率频率得到概率的近似估计概率,对于满足古典概型的对于满足古典概型的概率问题也可以通过古典概型的概率计算公式来计概率问题也可以通过古典
2、概型的概率计算公式来计算概率算概率随着概率论的发展随着概率论的发展,人们就注意到人们就注意到,单纯的考虑有限个等可能单纯的考虑有限个等可能事件的随机试验是不够的事件的随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个的试验结果还必须考虑有无限多个的试验结果的情况的情况.例例1. 送报人可能在早上送报人可能在早上6:30-7:30之之间把报纸间把报纸送到你家送到你家,你父亲离开家的时间在你父亲离开家的时间在7:00-8:00之之间间,问你父亲离开家前能得到报纸问你父亲离开家前能得到报纸(称为事件称为事件A)的概率是多少的概率是多少?1.可否利用古典概率来计算其概率可否利用古典概率来计算其概率?2.可否利用随
3、机数来模拟古典概率可否利用随机数来模拟古典概率?3.你能否再设计一种方法来模拟这一实验你能否再设计一种方法来模拟这一实验?虽然事件发生的概率是随机等可能的虽然事件发生的概率是随机等可能的,但事件但事件A和总体事和总体事件的个数都无法计算出来件的个数都无法计算出来,因此古典概率很难将它算出因此古典概率很难将它算出利用随机数模拟方法应该可以实现利用随机数模拟方法应该可以实现,关键是怎样构造数字关键是怎样构造数字代表的事件代表的事件,构造起来比较麻烦构造起来比较麻烦,利于我们通过利于我们通过均匀随机数均匀随机数均匀随机数均匀随机数法随机产生法随机产生1次从次从630700 的数的数,产生一次产生一次
4、700800的数的数,前一个表示送报时间前一个表示送报时间,后一个代表离开时间后一个代表离开时间,多产生几组多产生几组,就就可以模拟时间发生的概率可以模拟时间发生的概率转盘模拟：转盘模拟：6:306:457:007:157:307:007:157:307:458:00送报时间送报时间离开时间离开时间你会实际操你会实际操作吗作吗?对于上面的方式对于上面的方式,我们来模拟它们的得到的概率操作过程都是我们来模拟它们的得到的概率操作过程都是很复杂的很复杂的,几何概型几何概型就是专门来解决这类就是专门来解决这类“无限事件无限事件”的概率的概率问题问题在解决这个问题之前，我们首先来看另外一个试验：在解决这
5、个问题之前，我们首先来看另外一个试验：图中有两个转盘图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指黄色规定当指针指黄色区域时区域时,甲获胜甲获胜,否则乙获胜否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少概率是多少?(1)NBNNBB(2)NNBBB如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( ( ( (面积或体积面积或体积面积或体积面积或体积) ) ) )成比例成比例成比例成比例. . . .则称这样的概率
6、模型为则称这样的概率模型为则称这样的概率模型为则称这样的概率模型为几何概几何概几何概几何概率模型率模型率模型率模型(geometric models of probability),(geometric models of probability),(geometric models of probability),(geometric models of probability),简称几简称几简称几简称几何概型何概型何概型何概型. . . .则上题中（则上题中（1）、（）、（2）“甲获胜甲获胜”的概率分别为的概率分别为1/2，3/5Yxyx解解 以横坐标以横坐标X表示报纸送到时间表示报纸送到
7、时间,以纵坐标以纵坐标Y表示父亲表示父亲离家时间建立平面直角坐标系离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件所以符合几何概型的条件.根根据题意据题意,只要点落到阴影部分只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能就表示父亲在离开家前能得到报纸得到报纸(yx),即时间即时间A发生发生,所以所以两种方法得到的两种方法得到的结果相同吗？结果相同吗？对于复杂的实际问题对于复杂的实际问题, ,解题的关解题的关键是要建立键是要建立概率模型概率模型, ,找出随机找出随机事件与所有基本事件相对应的事件与所有基本事件
8、相对应的几何区域几何区域, ,把问题转化为几何问把问题转化为几何问题题, ,利用几何模型概率公式求解利用几何模型概率公式求解2.2.某人午觉醒来某人午觉醒来, ,发现表停了发现表停了, ,他打他打开收音机开收音机, ,想听电台报时想听电台报时, ,求他等待求他等待的时间不多于的时间不多于1010分钟的概率分钟的概率. .1.1.两人相约于两人相约于 7 时到时到 8 时在公园时在公园见面，先到者等候见面，先到者等候 20 分钟就可离分钟就可离去，求两人能够见面的概率。去，求两人能够见面的概率。 几何概型的特点几何概型的特点a)a)试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；试验中所有可能出
9、现的结果（基本事件）有无限多个；b)b)每个基本事件出现的可能性相等每个基本事件出现的可能性相等古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别相同：相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的；两者基本事件发生的可能性都是相等的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。要求基本事件有无限多个。 解解. 以以 7 点为坐标原点，点为坐标原点，小时为单位。小时为单位。x，y 分别表示分别表示两人到达的时间，两人到达的时间，( x，y )构成边长为构成边长为 60的正方形的正方形S，显然这是一个几何概率问题。显然这是一个几何概率问
10、题。 6060 o x yS2020他们能见面应满足他们能见面应满足 | x y | 20 ，因此，因此， A x y = 20 x y = 20 p = = 1 = 5/9 。 A 的面积的面积 S 的面积的面积49弄清弄清是无理数这件事可能是根本没有实际用处的是无理数这件事可能是根本没有实际用处的 但是如果我们能弄清楚但是如果我们能弄清楚 那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚ECTitchmarsh 它们从不同的方式计算着它们从不同的方式计算着的值的值,1.实验时期实验时期:过实验对过实验对 值进行估算值进行估算 2.几何法时期几何法时期:割圆术割圆术
11、3.分析法时期分析法时期 :4.计算机时期计算机时期 :其中比较有名的就是利用随机试验来估计其中比较有名的就是利用随机试验来估计的值的值.Buffoon，Georges Louis 蒲丰蒲丰 (17071788) 利用利用蒙特卡罗蒙特卡罗(Monte Carlo)法法进行计算机模拟进行计算机模拟.蒲丰投针试验蒲丰投针试验例例31777年年,法国科学家蒲丰法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针提出了投针试验问题试验问题.平面上画有等距离为平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b( ba )的针的针,试求试求针与某一平行直线
12、相交的概率针与某一平行直线相交的概率.解解由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.投针可能事件与相交事件投针可能事件与相交事件:蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果(直线距离直线距离a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.15962532
13、50000.81850Wolf相交次数相交次数投掷次数投掷次数针长针长时间时间试验者试验者课本例三和例课本例三和例4提供了两种计算面积的方法提供了两种计算面积的方法,请大家参考后请大家参考后,解决下列问题解决下列问题:3.一个路口的红绿灯，红灯的时间为一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的秒，黄灯的时间为时间为5秒，绿灯的时间为秒，绿灯的时间为40秒。当你到达路口时，秒。当你到达路口时，看见下列三种情况的看见下列三种情况的 概率各是多少？概率各是多少？（1）红灯；（）红灯；（2）黄灯；（）黄灯；（3）不是红灯。）不是红灯。4.假设车站每隔假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车分钟发
14、一班车，随机到达车站，问等车时间不超过站，问等车时间不超过 3 分钟的概率分钟的概率 ？ 5.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发发现长现长30min的磁带上，从开始的磁带上，从开始30s处起，有处起，有10s长的一长的一段内容包含间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的段内容包含间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部掉了那么由
15、于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？分或全部擦掉的概率有多大？6.山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板边该靶为正方形板边长为长为18厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便厘米，挂于前门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中可投一镖并可有机会赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为1厘米厘米的最内层圆域时可得到一个大馅饼；当击中半径为的最内层圆域时可得到一个大馅饼；当击中半径
16、为1厘米到厘米到2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为2厘厘米到米到3厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中的其他部分，则得不到馅饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：上，试求一顾客将嬴得：（a）一张大馅饼，）一张大馅饼，（b）一张中馅饼，）一张中馅饼，（c）一张小馅饼，）一张小馅饼，（d）没得到馅
17、饼的概率）没得到馅饼的概率7.两艘船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任何时刻到达，两艘船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜的任何时刻到达，甲乙两船停靠泊位的时间分别为甲乙两船停靠泊位的时间分别为4小时和小时和2小时，求有一艘船停小时，求有一艘船停靠泊位时间必须等待一段时间的概率靠泊位时间必须等待一段时间的概率对对, ,在几何概型中，如果随机事件所在区域是一个单点，由于在几何概型中，如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积为单点的长度、面积、体积为0 0，则它出现的概率为，则它出现的概率为0 0，但它不是，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个不可能
18、事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为单点，则它出现的概率为1 1，但它不是必然事件，但它不是必然事件思考思考: :“必然事件的概率为必然事件的概率为1,1,但概率为但概率为1 1的事件的事件不一定是必然事件。不一定是必然事件。”这种说法对吗？为什么这种说法对吗？为什么? ?例如某人例如某人7：008：00上班，求它上班，求它刚好不在刚好不在7：30上班的概率，很明上班的概率，很明显是一个几何概型，其概率为显是一个几何概型，其概率为1，但他但他7：30上班的确有可能，这就上班的确有可能，这就不是必然事件了不是必然事件了7:00 7:30 8:00几何概型几何概型特点特点概率计算公式概率计算公式均匀随机数均匀随机数随机模拟方法随机模拟方法
