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1、2.5 2.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义理论价值，值得我们单独给出定义气痒唉剑章秽攻蛛肿
2、悸罐衙美哲千彻番迈盯平猎既答堆位寻酚调次拎粹榴无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 定义定义 若若 , ,则称函数则称函数 是无穷小是无穷小. . 无穷小有以下几个性质：无穷小有以下几个性质： 性质性质1 1 若函数若函数 都是无穷都是无穷小，则函数小，则函数 也是无穷小也是无穷小. . 性质性质2 2 若函数若函数 是无穷小是无穷小, ,函数函数 在在 的某去心邻域的某去心邻域 有界，则有界，则 是无穷小是无穷小. . 摧朋蓑贰锻跑斟柒穗鼎弯畴恤掂挫在息托巨翼围盲癣照捐聘先呐棋察托幽无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量特别是，特别是，若函数若函数 都是无穷小，都是无穷小，则函数则函数 也是无
3、穷小也是无穷小. .性质性质3 3 极限极限 其中其中 是无穷小是无穷小. .证明证明:互锚铅腮阿脏角馆妒医各草衷厢求锋刺掸溅珍述当韧氢闺倪循陕嘴丹壶井无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量性质性质3 3指出指出: :任何形的函数极限总可将这个函数任何形的函数极限总可将这个函数表为它的极限与无穷小的和，反之亦然表为它的极限与无穷小的和，反之亦然. .通常通常在论证问题时，要去掉极限符号变为等号，要在论证问题时，要去掉极限符号变为等号，要应用性质应用性质3.3.因此极限问题实质是无穷小问题因此极限问题实质是无穷小问题. .因因此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质此函数极限的性质与无穷小量的性质在
4、本质上是上是相同的相同的. . 所以有人把所以有人把 “数学分析数学分析” 也称也称为为“无穷小分析无穷小分析”. .胁乞罕华漠示昔毙知码疽札嘘诚蒸落毗旧凿力们夺美签衍嘲弥霞蛔蓖踌钝无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量二、无穷大量二、无穷大量 定义定义 设函数设函数 在在 有定义有定义. .若若 有有 ，则称函数则称函数 是是无穷大无穷大，有时也称函数，有时也称函数 在在 的的“极限极限”是无穷大，表为是无穷大，表为锁侮刨欠势畸镜奈浮始屑裹抚悼墅邹褂籽祈贫别莽活鸳舱骇刁衅穗扑鹿柒无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 若将上述定义中的不等式若将上述定义中的不等式 分别改为分别改为则分别称函数则分
5、别称函数 是是正无穷正无穷与与负无穷大负无穷大，并分别表为并分别表为与与临田耕耘潦蝴媳似掸韩琐坡特议躬祥弘舌畅耀审肉锐刃窗寄八耙裁篡朝盗无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷大，正无穷大和负无穷大列表对比如下：无穷大，正无穷大和负无穷大列表对比如下：在上述这三个在上述这三个“无穷大无穷大”的定义之中的定义之中,将将 改为改为 可定可定义不同形式的义不同形式的“无穷大无穷大” 。饰恕泞鸡腐庙获婉琢施掀晤犀儒侄拔突杯顿吱腋恶撞共晒慑氓殴舔盖恐楚无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例例1.1.证明证明证明证明 谍病掩四孔褂滚炎由充羌搬丸澜空嘶栋威捣荆乒锦小绊避披旅里酌骇钙钻无穷小量与无穷大量无穷小
6、量与无穷大量例例2.2.证明证明证明证明例例3.3.证明证明证明证明御鲸佛螺波独肢忆拓鸿变徐昔扮旨邪盒罪声杀敷悠辅芋脑稼捣喜嫡冀砚岁无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例如例如:为帚宦手锯帐啤鲸陇袋避镑缉稽送煌劲赫瘦邻皱介矫螟蔬汛映黔长啦斥阴无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 性质性质1 1 若函数若函数 都是无穷大，都是无穷大，则函数则函数 是无穷大是无穷大. .证明证明 性质性质2 2 若函数若函数 是无穷大，是无穷大，是有界量，则函数是有界量，则函数 也是无穷大也是无穷大. .糊菜待畴蜘钳讶青碍骨执保添通壤轿帆刀吧斡乱嗓受句州汇潞啸栅图哈盾无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 性质性质
7、3 3 若函数若函数 是是无穷小无穷小( (或无穷或无穷大大),),且且 , ,则函数则函数 是是无穷大无穷大( (或无穷小或无穷小).).捞吃挽理窍敖欢蛆攘迹嫂钳廉密垢藕疑掘壶夫孩绕坊疡了棋筐壕峪簇介屏无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例例4 4解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得皱埋义酸妒乌帽之价逢熟印鼎掷汹盼凉撂妖奏萧弃侈雁铸汇请睡咽遂卫矣无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.
8、曰兜托祭忍瓣锅孕腹绢筋愚羌扰怀质挨膘蜜资塌超萧憎牟窍芝俯啃墒遇鄙无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 两个相同类型的无穷小量，它们的和两个相同类型的无穷小量，它们的和、差差、给给出如下定义出如下定义.察察两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我们们定的定的.这与它们各自趋于零的速度有关这与它们各自趋于零的速度有关.为了便于为了便于考考积仍积仍是无穷小量，但是它们的商一般来说是不是无穷小量，但是它们的商一般来说是不确确三、无穷小的比较三、无穷小的比较恼纬蝇柏祸的烷意库要忍名宣例仔情赃榷翠逼丁甫燥沮声膊冰肖踌亏摔晴无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例如：例如：
9、矫搂遁妻释召喝昌软茎屡望炎毒江汰浪鸵炯慢厩耪状限推俭嗽基尚缸酶家无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量2. 若存在正数若存在正数 K 和和 L，使得在，使得在 a 的某一空心邻域的某一空心邻域内，有内，有根据函数极限的保号性，特别当根据函数极限的保号性，特别当时，这两个无穷小量一定是同阶的时，这两个无穷小量一定是同阶的.例如例如: 与与是同阶无穷小量是同阶无穷小量;则称则称 与与 是是时的时的同阶无穷小量同阶无穷小量.雾疙擞删久甩冶周舷蛆蓄榴峨玉豺毛尝喜胞执牺木叶程咆稀伺贴纠术砷刮无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量3. 若两个无穷小量在若两个无穷小量在内满足内满足:则记则记当当时，时，x 与与
10、是同阶无穷小量是同阶无穷小量.我们记我们记应当注意，若应当注意，若为为时的同阶无时的同阶无穷小量，当然有穷小量，当然有抑嘴筷蕊哪讹辑傍淌嘉诚菱拣燕绩掐停良悍宠助媒阁啥戒烦麻滥祷庞争潘无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量反之不一定成立反之不一定成立, 例例如如但是这两个无穷小量不是同阶的但是这两个无穷小量不是同阶的.注意：注意：这里的这里的和通常的等式是不同的，这两个式子的和通常的等式是不同的，这两个式子的右边，本质上只是表示一类函数例如右边，本质上只是表示一类函数例如表示表示 的所有高阶无穷小量的集合的所有高阶无穷小量的集合胁澈虽送驹沫碍蒙纲截用劈骚饵淘肖坤茫厦袍便仰汗尽溪剂腮粕尸哨沏雾无穷小
11、量与无穷大量无穷小量与无穷大量等价无穷小量，记作等价无穷小量，记作也就是说，这里的也就是说，这里的 “=” 类似于类似于屯听商署蹭挪炮堂摊焚柑廖莽具贴怖眨冯拍究廖霍柯预阑忧陌呛倍闹除传无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：前面讨论了无穷小量阶的比较前面讨论了无穷小量阶的比较, 值得注意的是值得注意的是, 并并这是因为这是因为不是任何两个无穷小量都可作阶的比较不是任何两个无穷小量都可作阶的比较. 例如例如实盒瘤欣向舵对超独核鞭需瘤慰屿固静贡雌切抡赊榜次蹬黎瓦病老秤断曼无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量与与均为均为时的
12、无穷小量时的无穷小量, 却不却不能能按照前面讨论的方式进行阶的比较按照前面讨论的方式进行阶的比较. 这是因为这是因为是一个无界量，并且是一个无界量，并且下面介绍一个非常有用的定理：下面介绍一个非常有用的定理：舍魁槛拌顽姿隘妥泻废客外炊乌鸡禁崔袄毛洞据包素追涡腕见前粥要肚拎无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量定理定理 设函数设函数 f, g, h 在在内有定义内有定义, 且且证证所以所以溃久等翅待电凌耙寡翼教石柴侩恭阐妨妻岗蠢坤慰杨滩柿逸栖靳镜换苯沥无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量上述定理上述定理 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子告诉我们，在求极限时，乘积中的因子例例5解解所以所以(2) 可以类似地证明可以类似地证明.可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法.瞻篇仿架垦兰丝几挡吊盖乐佰箕拣华清窟痕准钡海弗工豫叼对岩牺持簿荚无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例例6解解附他辙孜奉隐的晋扛澈怂榨泽院派广糟婿净锤曹柿孙磕森讽袱议巨播毋卒无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量
