函数的单调性及最值

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1、要点梳理要点梳理1.1.函数的单调性函数的单调性 (1) (1)单调函数的定义单调函数的定义 设函数设函数f f（x x）的定义域为）的定义域为A A, ,如果对于定义域如果对于定义域A A内某内某 个区间个区间I I上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值x x1 1，x x2 2, ,当当x x1 1 x x2 2时时, , 若若_,_,则则f f( (x x) )在在_上是单调增函数上是单调增函数. . 若若_,_,则则f f( (x x) )在在_上是单调减函数上是单调减函数. .2.2 2.2 函数的单调性与最值函数的单调性与最值基础知识基础知识 自主学习自主学习f f( (x

2、x1 1)f f( (x x2 2) )区间区间I I1 (2) (2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f f( (x x) )在区间在区间I I上是上是_或或_,_,则称函数则称函数 f f( (x x) )在这一区间上具有在这一区间上具有( (严格的严格的) )单调性单调性,_,_叫做叫做 f f( (x x) )的单调区间的单调区间. .2.2.函数的最值函数的最值 (1) (1)设函数设函数y y= =f f( (x x) )的定义域为的定义域为A A, ,如果存在实数如果存在实数MM, ,满足满足: : 对于任意的对于任意的x xA A, ,都有都有_._. 存在存在x x

3、0 0A A, ,使得使得_._. 则称则称MM是是f f( (x x) )的最大值的最大值. . (2) (2)设函数设函数y y= =f f( (x x) )的定义域为的定义域为A A, ,如果存在实数如果存在实数MM, ,满足满足: : 对于任意的对于任意的x xA A, ,都有都有_._. 存在存在x x0 0A A, ,使得使得_._. 则称则称MM是是f f( (x x) )的最小值的最小值. . 增函数增函数减函数减函数区间区间I If f( (x x)MMf f( (x x0 0)=)=MMf f( (x x)MMf f( (x x0 0)=)=MM23.3.判断函数单调性的方

4、法判断函数单调性的方法 (1) (1)定义法定义法: :利用定义严格判断利用定义严格判断. . (2) (2)利用函数的运算性质利用函数的运算性质: : 如若如若f f( (x x) )、g g( (x x) )为增函数为增函数, ,则则 f f( (x x)+)+g g( (x x) )为增函数为增函数. . 为减函数为减函数( (f f( (x x) )0).0). 为增函数为增函数( (f f( (x x)0).)0). f f( (x x)g g( (x x) )为增函数为增函数( (f f( (x x) )0,0,g g( (x x) )0).0). - -f f( (x x) )为

5、减函数为减函数. .3(3)(3)利用复合函数关系判断单调性利用复合函数关系判断单调性. .法则是法则是“_”“_”，即两个简单函数的单调性相同，即两个简单函数的单调性相同, ,则这两个函数的复合函数为则这两个函数的复合函数为_,_,若两个简单函数的若两个简单函数的单调性相反单调性相反, ,则这两个函数的复合函数为则这两个函数的复合函数为_._.(4)(4)图象法图象法. .(5)(5)奇函数在两个对称的区间上具有奇函数在两个对称的区间上具有_的单调性；偶的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有函数在两个对称的区间上具有_的单调性的单调性. .(6)(6)导数法导数法若若f f( (x x) )

6、在某个区间内可导在某个区间内可导, ,当当f f(x x)0)0时，时，f f( (x x) )为为_函函数数; ;当当f f(x x)0)0时时, ,f f( (x x) )为为_函数函数. .若若f f( (x x) )在某个区间内可导，当在某个区间内可导，当f f( (x x) )在该区间上递增时在该区间上递增时, ,则则f f(x x)_0;)_0;当当f f( (x x) )在该区间上递减时在该区间上递减时, ,则则f f(x x)_0.)_0.同增异减同增异减增函数增函数减函数减函数相同相同相反相反增增减减4基础自测基础自测1.1.下列函数中下列函数中, ,在区间在区间(0,2)(

7、0,2)上为增函数的是上为增函数的是_. _. y y=-=-x x+1;+1;y y= = y y= =x x2 2-4-4x x+5; +5; 解析解析 y y=-=-x x+1+1在在R R上递减；上递减； y y= = 在在R R+ +上递增上递增; ; y y= =x x2 2-4-4x x+5+5在在(-,2(-,2上递减上递减, ,在在2,+)2,+)上递增上递增, , 在在R R+ +上递减上递减. . 52.2.(2010(2010镇江调研镇江调研) )若函数若函数f f( (x x)=)=x x2 2+(+(a a2 2-4-4a a+1)+1)x x+2+2在在 区间区间

8、(-(-，11上是减函数上是减函数, ,则则a a的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 f f( (x x) )是二次函数且开口向上是二次函数且开口向上, , 要使要使f f( (x x) )在在(-,1(-,1上是单调递减函数上是单调递减函数, , 则必有则必有 1, 1,即即a a2 2-4-4a a+30,+30, 解得解得11a a3.3.1,31,363.3.函数函数y y=1- =1- 的增区间为的增区间为_._. 解析解析 函数图象如图所示函数图象如图所示. . (-,1)(-,1)和和(1,+)(1,+)74.4.已知函数已知函数f f( (x x)=)=x x2 2-2

9、-2x x+3+3在闭区间在闭区间0,0,m m 上最大值为上最大值为 3, 3,最小值为最小值为2,2,则则m m的取值范围为的取值范围为_._. 解析解析 f f( (x x)=()=(x x-1)-1)2 2+2,+2,其对称轴为其对称轴为x x=1,=1, 当当x x=1=1时时, ,f f( (x x) )minmin=2,=2,故故m m1,1, 又又f f(0)=3,(0)=3,f f(2)=3,(2)=3, m m2.2. 综上综上,1,1m m2. 2. 1,21,28【例例1 1】已知函数已知函数 证明：函数证明：函数f f( (x x) )在在(-1,+)(-1,+)上为

10、增函数上为增函数. . 证明证明 方法一方法一 任取任取x x1 1, ,x x2 2(-1,+),(-1,+), 不妨设不妨设x x1 1 0, 0, 典型例题典型例题 深度剖析深度剖析9又又x x1 1+10,+10,x x2 2+10,+10,于是于是f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)= )= 故函数故函数f f( (x x) )在（在（-1,+-1,+）上为增函数）上为增函数. . 10方法二方法二 求导数得求导数得 a a1,1,当当x x-1-1时，时，a ax xln ln a a0, 0, f f(x x)0)0在（在（-1-1，+）上恒成立，）上恒成立

11、，则则f f( (x x) )在（在（-1,+-1,+）上为增函数）上为增函数. . 方法三方法三 a a1,1,y y= =a ax x为增函数为增函数, ,又又 在在(-1,+)(-1,+)上也是增函数上也是增函数. . 在在(-1,+)(-1,+)上为增函数上为增函数. .11跟踪练习跟踪练习1 1 (2010(2010淮阴模拟淮阴模拟) )证明证明: :f f( (x x)=)=x x2 2-2-2x x 在区在区 间间(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数. . 证明证明 方法一方法一 设设x x1 1, ,x x2 2是区间是区间(1,+)(1,+)上的任意两上的任意两 个值个值

12、, ,且且x x1 1 x x1 1, , x x2 2- -x x1 10.0.12又又x x1 1、x x2 2(1,+),(1,+),x x2 2 x x1 11,1,即有即有x x1 1+ +x x2 22,2,x x1 1+ +x x2 2-20.-20.f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)0,)0,即有即有f f( (x x2 2)f f( (x x1 1).).故故f f( (x x)=)=x x2 2-2-2x x在在(1,+)(1,+)上是增函数上是增函数. .方法二方法二 利用导数利用导数f f(x x)=2)=2x x-2=2(-2=2(x x-1)

13、.-1).x x1,1,f f(x x)0.)0.f f( (x x) )在在(1,+)(1,+)上为增函数上为增函数. . 13【例例2 2】求函数】求函数f f( (x x)=log)=loga a(2(2x x2 2-5-5x x+3)+3)的单调区间的单调区间. . 解解 由由2 2x x2 2-5-5x x+30,+30,解得解得x x1 函数的定义域是函数的定义域是 x x| |x x1 . . 令令u u( (x x)=2)=2x x2 2-5-5x x+3,+3, 由二次函数的图象可知由二次函数的图象可知u u( (x x) )在在(-,1)(-,1)上是减函数上是减函数, ,

14、 在在( ,+)( ,+)上是增函数上是增函数; ;14又当又当a a11时时, ,f f( (u u)=log)=loga au u是增函数是增函数; ;当当00a a111时时, ,f f( (x x)=log)=loga a(2(2x x2 2-5-5x x+3)+3)的单调递增区间是的单调递增区间是( ,+),( ,+),单调递减区间是单调递减区间是(-,1);(-,1);当当00a a1-1-1时时, ,x x+10,+10,由基本不等式得由基本不等式得17 当且仅当当且仅当 , ,即即x x=0=0时时, ,有有y y=1; =1; 当当x x-1-1时时, ,x x+10,+10

15、0且且0,0,解得解得00m m1.1. 故实数故实数m m的取值范围为的取值范围为00m m1.1. (2) (2)当当m m=0=0时时, ,f f( (m m)=)=f f(0)= (0)= 当当00m m11时时, ,因因y y= = 故故f f( (m m)= (0)= (0m m1),01),0f f( (m m) )00时时, ,f f( (x x)1.)1. (1) (1)求证求证: :f f( (x x) )是是R R上的增函数上的增函数; ; (2) (2)若若f f(4)=5,(4)=5,解不等式解不等式f f(3(3m m2 2- -m m-2)3.-2)3. (1)(

16、1)是抽象函数单调性的证明，所以要用单是抽象函数单调性的证明，所以要用单 调性的定义调性的定义. . (2) (2)将函数不等式中抽象的函数符号将函数不等式中抽象的函数符号“f f”运用单调运用单调 性性“去掉去掉”, ,为此需将右边常数为此需将右边常数3 3看成某个变量的函看成某个变量的函 数值数值. . （1 1）证明证明 设设x x1 1, ,x x2 2R R，且，且x x1 1 0,0,f f( (x x2 2- -x x1 1)1. )1. 分析分析22f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)=)=f f(x x2 2- -x x1 1)+)+x x1 1)-)-

17、f f( (x x1 1) )= =f f( (x x2 2- -x x1 1)+)+f f( (x x1 1)-1-)-1-f f( (x x1 1) )= =f f( (x x2 2- -x x1 1)-10. )-10. f f( (x x2 2)f f( (x x1 1).).即即f f( (x x) )是是R R上的增函数上的增函数. 8. 8分分 （2 2）解解 f f(4)=(4)=f f(2+2)=(2+2)=f f(2)+(2)+f f(2)-1=5(2)-1=5， f f(2)=3(2)=3，原不等式可化为原不等式可化为f f(3(3m m2 2- -m m-2)-2)f

18、f(2),(2),f f( (x x) )是是R R上的增函数，上的增函数，33m m2 2- -m m-22, -22, 解得解得-1-1m m ,00，且，且 f f( (x x) )为增函数为增函数, ,f f( (x xy y)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y).). (1) (1)求证求证: : = =f f( (x x)-)-f f( (y y);); (2) (2)已知已知f f(3)=1,(3)=1,且且f f( (a a)f f( (a a-1)+2,-1)+2,求求a a的取值范围的取值范围. . (1) (1)证明证明24(2)(2)解解 f f(3)=

19、1,(3)=1,f f( (a a)f f( (a a-1)+2,-1)+2,f f( (a a)-)-f f( (a a-1)2.-1)2.f f( )2=( )2=f f(3)+(3)+f f(3)=(3)=f f(9).(9).f f( (x x) )是增函数是增函数, 9, 9,11a a 0,0,a a-10,-10,a a的取值范围是的取值范围是11a a 25高考中主要考查求函数的单调区间及单调性的应用高考中主要考查求函数的单调区间及单调性的应用, , 如应用单调性求值域、比较大小、解不等式等，以如应用单调性求值域、比较大小、解不等式等，以上知识点常以填空题的形式出现上知识点常以

20、填空题的形式出现, ,但近几年高考常以但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容考内容. . 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望261.1.根据函数的单调性的定义根据函数的单调性的定义, ,证明证明( (判定判定) )函数函数f f( (x x) )在在 其区间上的单调性其区间上的单调性, ,其步骤是其步骤是 (1) (1)设设x x1 1、x x2 2是该区间上的任意两个值是该区间上的任意两个值, ,且且x x1 1x x2 2; ; (2) (2)作差作差f f( (x x1 1)-)-f f( (

21、x x2 2),),然后变形然后变形; ; (3) (3)判定判定f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2) )的符号的符号; ; (4) (4)根据定义作出结论根据定义作出结论. .2.2.求函数的单调区间求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域首先应注意函数的定义域, ,函数的增减区间都是其函数的增减区间都是其 定义域的子集定义域的子集, ,其次掌握一次函数、二次函数等基其次掌握一次函数、二次函数等基 本初等函数的单调区间本初等函数的单调区间, ,常用方法有常用方法有: :根据定义根据定义, ,利利 用图象和单调函数的性质用图象和单调函数的性质, ,还可以利用导数的性质还可

22、以利用导数的性质. .方法规律总结方法规律总结273.3.重要性质重要性质 (1) (1)注意函数注意函数y y= =f f( (x x) )与与y y= =kf kf( (x x) )的单调性与的单调性与k k( (k k0)0)的的 相关性相关性. . (2) (2)注意函数注意函数y y= =f f( (x x) )与与y y= = 的单调性间的关系的单调性间的关系. . (3) (3)定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表 示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式. .4.4.在掌握定义、判定函数在掌握定义、判定函数f f( (x x) )在其区间上单调的基本在其区间上单调的基本 方法的同时方法的同时, ,引导学生考虑用导数的性质，培养发引导学生考虑用导数的性质，培养发 散性思维散性思维, ,克服思维定势克服思维定势. . 返回返回 28