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1、3.7 3.7 算符的对易关系算符的对易关系 共同本征态函数共同本征态函数 测不准关系测不准关系 一一. . 量子力学的算符根本量子力学的算符根本对易关系易关系 记记 ，如两算符，如两算符 , ,满足满足 . . 称称 对易对易 常用的对易关系式常用的对易关系式 1. 1.坐坐标算符之算符之间的的对易关系易关系 结论：坐：坐标分量算符之分量算符之间是是对易的易的 2. 2. 动量各分量之量各分量之间的的对易关系易关系 同理：同理： 结论：动量各分量之量各分量之间是是对易的易的 3.3.坐坐标与与动量算符的量算符的对易关系易关系 动量分量和它所量分量和它所对应的坐的坐标之之间的的对易关系易关系
2、设 恣意恣意态函数函数 为恣意波函数为恣意波函数, , 所以所以 同理同理 结论：动量分量和它所量分量和它所对应的坐的坐标是不是不对易的易的 动量分量和它不量分量和它不对应的坐的坐标之之间的的对易关系易关系 所以所以 同理：同理： 结论：动量分量和它不量分量和它不对应的坐的坐标是是对易的易的 力力学学量量都都是是坐坐标和和动量量的的函函数数，知知道道了了坐坐标和和动量量之之间的的对易易关关系系后后，就就可可以以得得出出其其它它力力学学量量之之间的的对易关系易关系4. 4. 与角动量算符有关的对易关系式与角动量算符有关的对易关系式 1 1坐坐标与角与角动量算符的量算符的对易式易式 角角动量分量和
3、它所量分量和它所对应的坐的坐标之之间的的对易关系易关系 同理：同理： 结论：角：角动量分量和它所量分量和它所对应的坐的坐标是是对易的易的 角角动量分量和它不量分量和它不对应的坐的坐标之之间的的对易关系易关系 同理同理 (1)(1)结论：角：角动量分量和它不量分量和它不对应的坐的坐标是不是不对易易的的 同理同理: : 2 2角角动量分量之量分量之间的的对易式易式 即即 同理：同理： 结论：角：角动量分量之量分量之间的不的不对易易 上三式可合写为上三式可合写为 该式可看成是角式可看成是角动量算符的定量算符的定义，它比以，它比以前的定前的定义具有更广泛的意具有更广泛的意义，原来只是，原来只是轨道角道
4、角动量，而量，而该式包含有自旋角式包含有自旋角动量。量。 3 3有心力场中有心力场中 、 、 的对易关系的对易关系 而而 、 均与均与r r无关，所以上式第一项和第三项无关，所以上式第一项和第三项作用在作用在 、 上就和作用在常数上一样，而第二上就和作用在常数上一样，而第二项中的项中的 分别与分别与 、 对易，因此与对易，因此与 、 分别对易分别对易 综上上所所述述，算算符符之之间或或对易易、或或不不对易易。那那么么什什么么条条件件下下两两者者对易易呢呢？对易易与与否否具具有有什什么么意意义呢呢？二二. . 两个算符具有共同本征两个算符具有共同本征态的条件的条件 1 1定理定理: :两个具有共
5、同的完备本征函数组两个具有共同的完备本征函数组 的算的算符符 必定对易必定对易 证证 所以所以 2 2逆逆定定理理: : 假假设两两个个算算符符对易易，那那么么这两两个个算符有算符有组成完全系的共同本征函数。成完全系的共同本征函数。证略略3 3上述定理可推行到两个以上情况。上述定理可推行到两个以上情况。 它们的共同本征函数完选集是它们的共同本征函数完选集是 相互对易，它们有共同本征函数相互对易，它们有共同本征函数 要完全确定体系所要完全确定体系所处的形状，需求有一的形状，需求有一组相互相互对易的力学量，易的力学量，这一一组完全确定体系形状完全确定体系形状的力学量，称的力学量，称为力学量完力学量
6、完选集。集。 从从对易关系可以看出，普朗克常数在力学易关系可以看出，普朗克常数在力学量量对易关系中占有重要位置。体系微易关系中占有重要位置。体系微观规律与宏律与宏观规律之律之间差差别，如，如h h在所在所讨论问题中可略去，那么中可略去，那么坐坐标，动量，角量，角动量之量之间都都对易，易，这些力学量同些力学量同时有确定有确定值，微，微观体系就体系就过渡到宏渡到宏观体系。体系。 下面讨论不对易情况下面讨论不对易情况 三、不确定关系三、不确定关系 1.1.统计偏向的定偏向的定义规范差范差 假设力学量假设力学量 ，其相应的算符为，其相应的算符为 ，统计平均值，统计平均值为为 在恣意态在恣意态 察看值对
7、统计平均值的统计偏向规察看值对统计平均值的统计偏向规范差定义为范差定义为 令令 方均根方均根值其中，其中， 例如：例如： 值越大阐明偏向越大值越大阐明偏向越大 讨论： 1 1假假设设处处于于本本征征态态，那那么么丈丈量量值值等等于于本本征征值值，等等于于平平均均值值，因因此此 即即本本征征态态是是统统计计偏偏向向等等于于零，既无涨落的形状零，既无涨落的形状 2 2. .假设两力学量假设两力学量 ，其相应的算符为，其相应的算符为 ，且，且 ，统计平均值为，统计平均值为 即即 可同时确定。可同时确定。 由由于于具具有有共共同同的的本本征征函函数数组组，因因此此在在本本征征态态时时， ， ， 即即
8、下限。下限。3 3. .假假设 ，那么能，那么能够 等于等于 假设假设 越小不确定程度低，离散性小，那么越小不确定程度低，离散性小，那么 越大确定程度高，离散性大，即越大确定程度高，离散性大，即 不可同不可同时确定。时确定。 2. 2. 不确定关系的严厉证明不确定关系的严厉证明在量子力学中力学量的不确定关系在量子力学中力学量的不确定关系 ？ 证明：明： 第第1 1步：设两恣意厄米算符步：设两恣意厄米算符 的对易关系为的对易关系为 为实数数或厄米算符或厄米算符 构造态函数构造态函数对对恣恣意意态态函函数数 ，再再构构造造出出一一个个新新的的恣恣意意态态函数其中函数其中 是实参数，是实参数， 第第
9、2 2步步 计算算态函数内函数内积被积函数不小于零被积函数不小于零 展开为展开为 : :其中用到了厄米算符定义其中用到了厄米算符定义 其中，由平均其中，由平均值定定义得得 第第1 1项项 第第4 4项项 第第2 2项项 利用利用 第第2 2项项+ +第第3 3项等于项等于 所以：所以： 关于关于 的二次三的二次三项式式 第第3 3步步讨论 的条件的条件因此因此 上式大于零的条件是：上式大于零的条件是： 即得：即得： 1 1 第第4 4步步进一步一步证明明 也是厄米算符，可证有也是厄米算符，可证有 由于由于 为厄米算符，而为厄米算符，而 又是实数，又是实数， 因此因此 因此将因此将 交换交换1
10、1式中的式中的 得得 不等式成立的条件是：不等式成立的条件是： 2 2 又知又知 所以所以 ： 这就是常见的不确定关系的普通表达式。这就是常见的不确定关系的普通表达式。 例例1 1：坐：坐标和和动量的不确定关系量的不确定关系 取取 对比对易关系对比对易关系 得得 由公式由公式 ，这正是大家所熟习的不确定关系。详，这正是大家所熟习的不确定关系。详细的细的 需求详细来求。需求详细来求。 例例2 2：一：一维谐振子的不确定关系振子的不确定关系【解】【解】 振子的平均能量是振子的平均能量是 ，见，见4.224.22式式 ， 见见4.324.32式式 又：又： 见见4.234.23式式 ， 见4.33式 因此， 不确定关系是量子力学中的根本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。
