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1、目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第二节函数的连续性 第一章 重点是:初等函数的连续性;目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数在点一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数(1) 在点即(2) 极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;目录 上页 下页 返回 结束 对应函数的左右极限的定义，我们定义函数的左连续和右连续(单侧连续) 目录 上页 下页 返回 结束 可见 , 函数在点二、二、 间断点间断点(1) 在点(2) 极限(3)不连续不存在 ;无定义 ,不连续 ， 而点则称函数 f
2、 (x) 在点称为f(x)的间断点间断点 . 目录 上页 下页 返回 结束 间断点类型：间断点类型：第一类间断点第一类间断点（左右极限存在，但是不连续）（左右极限存在，但是不连续）可去间断点，跳跃间断点可去间断点，跳跃间断点第二类间断点第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点，振动间断点。无穷间断点，振动间断点。自习目录 上页 下页 返回 结束 0xy解目录 上页 下页 返回 结束 在其定义域内连续二、连续函数的运算法则二、连续函数的运算法则定理定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为 0)
3、 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,定理定理2. 连续函数的复合函数是连续的.目录 上页 下页 返回 结束 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)一元初等函数在其定义区间内连续，其图形是一条连续不断的曲线；目录 上页 下页 返回 结束 四 、用连续性求极限由对数函数的连续性；目录 上页 下页 返回 结束 一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 若函数在开区间上
4、连续,结论不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1-3.1-3.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如又如, 目录 上页 下页 返回 结束 二、介值定理二、介值定理定理定理1-4. ( 零点定理 )至少有一点且使( 证明略 )推论推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论. ( 介值定理 )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点证证: 作辅助函数则且故由零点定理知, 至少有一点使即推论推论: 在闭区间上的连续函数使至少有必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .目录 上页 下页 返回 结束 例例. 证明方程一个根 .证证: 显然又故据零点定理, 至少存在一点使即在区间内至少有内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结左连续右连续函数的间断点，即为不连续点；函数的间断点，即为不连续点；在点连续的等价形式作业：p18: 5, 8, 9, 10，11, 13, 15, 17
