第四章4弯曲切应力ppt课件

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1、材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力14-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件4-6 梁的合理设计梁的合理设计 I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组组合截面的惯性矩和惯性积合截面的惯性矩和惯性积第第 4 章章3 弯曲应力弯曲应力2材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力24-5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件I. 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力1. 矩形截面梁矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图的微段

2、，如图所示。所示。hbzyO材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力3 由于由于m-m和和n-n上的弯矩不相等，故两截面上对上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力应点处的弯曲正应力 1和和 2不相等。因此，从微段不相等。因此，从微段中用距离中性层为中用距离中性层为y且平行于它的纵截面且平行于它的纵截面AA1B1B假假想地截出的体积元素想地截出的体积元素mB1(图图a及图及图b)，其两个端面，其两个端面mmA1A上与正应力对应的法向内力上与正应力对应的法向内力F*N1和和F*N1也不也不相等。相等。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力4它们分别为它们分别为式中

3、，式中， 为面积为面积A*(图图b)对中性轴对中性轴z的静的静矩；矩； A*为横截面上距中性轴为横截面上距中性轴z为为y的横线的横线AA1和和BB1以外部分的面积以外部分的面积(图图b中的阴影线部分中的阴影线部分)。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力5即即由于由于 ，故纵截面，故纵截面AA1B1B上有切向内力上有切向内力dFS(图图b)：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力6 为确定离中性轴为确定离中性轴z为为y的这个纵截面上与切向内的这个纵截面上与切向内力力dFS对应的切应力对应的切应力 ，先分析横截面与该纵截面，先分析横截面与该纵截面的交线的交线AA1处横

4、截面上切应力处横截面上切应力 的情况：的情况：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力7 1. 由于梁的侧面为自由表面由于梁的侧面为自由表面(图图a和图和图b中的面中的面mABn为梁的侧表面的一部分为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；切应力必与侧边平行； 2. 对称弯曲时，对称轴对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿处的切应力必沿y轴方轴方向，亦即与侧边平行。向，亦即与侧边平行。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力8从而对于狭长矩形截面可以假设：从而对

5、于狭长矩形截面可以假设：1. 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2. 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力9 于是根据切应力互等定理可知，距中性层为于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的的纵截面纵截面AA1B1B上在与横截面的交线上在与横截面的交线AA1处处各点的各点的切应力切应力 均与横截面正交，且大小相等均与横截面正交，且大小相等。至于。至于 在在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面纵截面AA1B1

6、B上的切应力上的切应力 在该纵截面范围内是在该纵截面范围内是没有变化的。于是有没有变化的。于是有材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力10 根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴中性轴z的距离为的距离为y处的切应力处的切应力 必与必与 互等，从而互等，从而亦有亦有 以上式代入前已以上式代入前已得出的式子得出的式子得得材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力11矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式式中，式中，FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Iz 为为整个横截面对于中性轴的惯性矩；整个横截

7、面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度为矩形截面的宽度(与剪力与剪力FS垂直垂直的截面尺寸的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切为横截面上求切应力应力 的点处横线以外部分面积对的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，中性轴的静矩， 。 上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。一点处切应力的计算公式。zyy材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力12横截面上切应力的变化规律横截面上切应力的变化规律 前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应在

8、对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力力大小相等。现在分析横截面上切应力 在与中在与中性轴垂直方向的变化规律。性轴垂直方向的变化规律。 上述切应力计算公式中，上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上在一定的横截面上为一定的量，为一定的量，Iz和和b也是一定的，可见也是一定的，可见 沿截面高度沿截面高度(即随坐标即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与与坐标坐标y之间的关系确定。之间的关系确定。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力13bhdy1yyzOy1材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力

9、14可见：可见： 1. 沿截面高度系按沿截面高度系按二次抛物线规律变化；二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最同一横截面上的最大切应力大切应力 max在中性轴在中性轴处处(y=0):材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力横截面上的切应力合成剪力横截面上的切应力合成剪力横截面上的剪力产生切应力横截面上的剪力产生切应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力关于切应力的两点假设关于切应力的两点假设目标：目标：距离中性轴为距离中性轴为y的直线上各点切应力计算公式的直线上各点切应力计算公式距中性轴等远距中性轴等远的各点处切应的各点处切应力大小相等力大小相等。材料力学材料

10、力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1、在、在AC 段取长为段取长为dx的微段的微段FsMPPPa材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力2、分析微段上的应力、分析微段上的应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力3、切开微段分析、切开微段分析材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力4、分析微段的平衡条件、分析微段的平衡条件材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力5、计算右侧截面正应力形成的合力、计算右侧截面正应力形成的合力同理同理材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力6、微元体的平衡方程、微元体的平衡方程材料力学材料力学()

11、电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力距离中性轴为距离中性轴为y y的的直线上点的切应直线上点的切应力计算公式力计算公式7、切应力计算公式、切应力计算公式材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力各项的物理意义各项的物理意义1、Fs欲求切应力的点所在截面的剪力；欲求切应力的点所在截面的剪力；2、Iz欲求切应力的点所在截面欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；对中性轴的惯性矩；3、b 欲求切应力的欲求切应力的点处截面的宽度点处截面的宽度；4、Sz*横截面上距离中性轴为横截面上距离中性轴为y y的的横线以横线以外部分外部分的面积的面积A A1 1对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。1628144

12、8208012020材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力8 切应力分布规律切应力分布规律切应力沿截面高度按切应力沿截面高度按抛物线抛物线规律变化。规律变化。中性轴处中性轴处最大正应力所最大正应力所在的点在的点材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力工字形截面梁切应力沿高度的分布规律工字形截面梁切应力沿高度的分布规律max计算公式计算公式切应力危险点切应力危险点中性轴处中性轴处最大切应力最大切应力腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板部分的切应力合力占总剪力的腹板部分的切应力合力占总剪力的9597%9597%。材料力学材料力学()电子教案电子教案

13、弯曲应力弯曲应力工字形截面的翼缘工字形截面的翼缘翼缘部分的水平切应力沿翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按翼缘宽度按直线规律直线规律变化；变化；翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。并与腹板部分的竖向剪力并与腹板部分的竖向剪力形成形成“剪应力流剪应力流” 。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力T形截面梁切应力形截面梁切应力沿高度沿高度的分布规律的分布规律计算公式计算公式中性轴处中性轴处maxT形截面梁切应力流形截面梁切应力流材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力圆形截面梁切应力的分布规律圆形截面梁切应力的分布规律1 1、边缘上

14、各点的切应力与圆周相切。、边缘上各点的切应力与圆周相切。AB不能假设总切应力与剪力同向；不能假设总切应力与剪力同向；2 2、同一高度各点的切应力汇交于一点。、同一高度各点的切应力汇交于一点。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力中性轴处中性轴处max3 3、竖直分量竖直分量沿截面宽度均匀分布；沿截面宽度均匀分布；圆形截面梁切应力圆形截面梁切应力沿高度沿高度的分布规律的分布规律计算公式计算公式沿高度呈抛物线规律变化。沿高度呈抛物线规律变化。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力 max= 2.0FsA圆环截面的最大切应力圆环截面的最大切应力zy材料力学材料力学()电子

15、教案电子教案弯曲应力弯曲应力切应力的危险点切应力的危险点能否说：能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上切应力的最大值一定发生在中性轴上”？当中性轴附近有尺寸突变时当中性轴附近有尺寸突变时最大切应力不发生在中性轴上；最大切应力不发生在中性轴上；当中性轴附近没有尺寸突变时当中性轴附近没有尺寸突变时最大切应力最大切应力发生在中性轴发生在中性轴上；上；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力33 某空心矩形截面梁，分别按图某空心矩形截面梁，分别按图a及图及图b两种方式两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。

16、梁的横截面上剪力方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已已知。并比较哪种胶合方式较合理？知。并比较哪种胶合方式较合理？例题例题 4-12材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力341.图图a所示胶合方式，以底板为分离体，由平衡条所示胶合方式，以底板为分离体，由平衡条件，得件，得bdx (c) zy例题例题 4-12解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力35图图b所示胶合方式下，由图可知：所示胶合方式下，由图可知：b- -2 dx (d)zy例题例题 4-12材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力36因此，图因此，图b所示胶合方式更合理。所示胶

17、合方式更合理。例题例题 4-12材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力372. 工字形截面梁工字形截面梁(1) 腹板上的切应力腹板上的切应力其中其中材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力38 可见腹板上的切应力在与中性轴可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向垂直的方向按二次抛物线规律变化。按二次抛物线规律变化。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力39(2) 在腹板与翼缘交界处：在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：在中性轴处：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力40 对于轧制的工字钢，上式中的对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢就是型钢表

18、中给出的比值表中给出的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。厚度变化和圆角等考虑在内。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力41(3) 翼缘上的切应力翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于翼缘横截面上平行于剪力剪力FS的切应力在其上、的切应力在其上、下边缘处为零下边缘处为零( (因为翼缘的因为翼缘的上、下表面无切应力上、下表面无切应力) )，可，可见翼缘横截面上其它各处见翼缘横截面上其它各处平行于平行于FS的切应力不可能的切应力不可能大，故不予考虑。分析表大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上

19、剪力承担了整个横截面上剪力FS的的90%以上。以上。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力42 但是，如果从长为但是，如果从长为d dx的梁段中的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力分横截面上弯曲正应力构成的合力 和和 不相等，因而铅垂的纵截不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力面上必

20、有由切应力 1构成的合力。构成的合力。udx A*自由边自由边材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力43根据根据 可得出可得出 从而由切应力互等定理可从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为知，翼缘横截面上距自由边为u处有平行于翼缘横截面边长的处有平行于翼缘横截面边长的切应力切应力 1，而且它是随，而且它是随u按线性按线性规律变化的。规律变化的。udx A*自由边自由边材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力44思考题思考题: 试通过分析说明，图试通过分析说明，图a中中所示上、下翼缘左半部分所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹和右半部分横截面上与腹板横

21、截面上的切应力指向板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了是正确的，即它们构成了“切应力流切应力流”。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例 矩形截面的简支梁受均布荷载作用，分别表示横截面上的正应力和剪应力， 以下结论中错误的是： A）在A点处，=0，=0 B）在B点处，=0，=0 C）在C点处，=0，=0 D）在D点处，=0，=0ABCDqL/2L/2D答答：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力ABCDqL/2L/2Q）M）ABCD材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例 a、b、c是T形截面梁某截面（存在剪力和弯矩）上的三个点，问下列结论哪

22、些是正确的？ 1) a=b 2) a=c 3) bc 4) b=-a 5) b=c答：答：4）、）、5）zyyycba形心形心材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例 a、b、c是矩形截面梁某截面（存在剪力和弯矩）上的三个点，问下列结论哪些是正确的？ 1) a=b 2) ac 3) b c 4) a=c 5) b=-c答：答：1）、）、5）zyyyabc材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例例 矩形截面简支梁，矩形截面简支梁，l=10ml=10m，b=100mmb=100mm，h=200mmmh=200mmm，P=40kNP=40kN。求求m-mm-m截面上距中性

23、轴截面上距中性轴y=50mmy=50mm处的剪应力处的剪应力和梁中的最大剪应力，并作和梁中的最大剪应力，并作m-mm-m截面上剪应力分布截面上剪应力分布图图。ABlPzybyhommxmax=1.5MPa20kN20kNQ)材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力IZ=bh3/12=1002003/12=66.7 106m4SZ*=10050(50+25)=375106m3y=50mm处的剪应力为：处的剪应力为： =Q SZ* /(IZb)=20 103 375 106/(100 103 66.7 106)=1.12MPa最大剪应力：最大剪应力：Qmax=20kN, max=3Q/

24、2A=1.5MPam-m截面处的剪应力：截面处的剪应力：Qmm=20kN, 截面的上、下边缘处：截面的上、下边缘处：=0 截面的中间（中性轴）处：截面的中间（中性轴）处：max=1.5MPa材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例例 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较当当 l h 时，时， max max材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力52 由由56a号工字钢制成的简支梁如图号工字钢制成的简支梁如图a所示，试所示，试求梁的横截面上的最大切应力求梁的横截面上的最大切应力 max和同一横截面上和同一横截面上腹板上腹板上a点处点处( (图图b) )

25、的切应力的切应力 a 。不计梁的自重。不计梁的自重。例题例题 4-13材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力531.求求 max 梁的剪力图如图梁的剪力图如图c所示，由图可见所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表查得由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b所示，所示，Iz=65 586 cm4和和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm例题例题 4-13解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力54例题例题 4-13材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力55其中：其中：于是有：于是有：2. 求求 a例

26、题例题 4-13材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力56腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。 max例题例题 4-13材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力573. 薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图的特征如图a所示：所示： (1) 由于由于d r0，故认为切应，故认为切应力力 的大小和方向沿壁厚的大小和方向沿壁厚 无变无变化；化； (2) 由于梁的内、外壁上无切由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理应力，故根

27、据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与知，横截面上切应力的方向与圆周相切；圆周相切；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力58 (3) 根据与根据与y轴的对称关系轴的对称关系可知：可知： (a) 横截面上与横截面上与y轴相交的轴相交的各点处切应力为零；各点处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应轴两侧各点处的切应力其大小及指向均与力其大小及指向均与y轴对轴对称。称。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力59 薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力 max在中性轴在中性轴z上，半个环形截面的面积上，半个环形截面的面积A*=p pr

28、0 ，其，其形心离中性轴的距离形心离中性轴的距离(图图b)为为 ，故求，故求 max时有时有材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力60及及得出：得出： 整个环形截面对于中性整个环形截面对于中性轴轴z的惯性矩的惯性矩Iz可利用整个截可利用整个截面对于圆心面对于圆心O的极惯性矩得的极惯性矩得到，如下：到，如下：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力61从而有从而有式中，式中， A=2p pr0 为整个环形截面的面积。为整个环形截面的面积。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力62(4) 圆截面梁圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲圆截面梁在竖直平面内弯曲时，

29、其横截面上切应力的特征时，其横截面上切应力的特征如图如图a所示：认为离中性轴所示：认为离中性轴z为为任意距离任意距离y的水平直线的水平直线kk上各上各点处的切应力均汇交于点处的切应力均汇交于k点和点和k点处切线的交点点处切线的交点O ，且这些，且这些切应力沿切应力沿y方向的分量方向的分量 y相等。相等。因此可先利用公式因此可先利用公式 求出求出kk上各点的切上各点的切应力竖向分量应力竖向分量 y ，然后求出各点处各自的切应力。，然后求出各点处各自的切应力。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力63 圆截面梁横截面上的圆截面梁横截面上的最大切应力最大切应力 max在中性轴在中性轴z

30、处，其计算公式为处，其计算公式为材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力67II. 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 图图a所示受满布均布荷所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘所在跨中截面上、下边缘上的上的C点和点和D点处于点处于单轴应单轴应力状态力状态(state of uniaxial stress) (图图d及图及图e)，故根，故根据这些点对该梁进行强度据这些点对该梁进行强

31、度计算时其强度条件就是按计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应单轴应力状态建立的正应力强度条件力强度条件 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力68 该梁最大剪力所在两该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上个支座截面的中性轴上E和和F点，通常略去约束力点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其产生的挤压应力而认为其处于处于纯剪切应力状态纯剪切应力状态 (shearing state of stress ) (图图f及图及图g)，从而其切应，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切力状态建立的，即梁的切应力强度条件为应力强度条件为亦即亦即式中

32、，式中， 为材料在横力弯曲时的许用切应力。为材料在横力弯曲时的许用切应力。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力69 梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。强度条件校核。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力70 图图a所示梁，其既所示梁，其既有剪力又有弯矩的横截有剪力又有弯矩的横截面面m-m上任意点上任意点G和和H处于如图处于如图h及图

33、及图i所示的所示的平面应力状态平面应力状态(state of plane stress)。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力71 需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的矩和剪力都是最大的(图图a、b、c)(或分别接近各自的或分别接近各自的最大值最大值) 则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力则该截面上腹板与翼缘交界点处由于正应力和切应力均相当大和切应力均相当大 (图图d)，因此处于平面应力状态，因此处于平面应力状态(图图e)。这样的点必须进行强度校核。这样的点必须进行强度校核。材料力学材料力学()电子教案电子教案

34、弯曲应力弯曲应力72 但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用，见第强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用，见第七章中例题七章中例题7-7。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力73 此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它事

35、实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力切应力强度条件切应力强度条件对于等宽度截面，对于等宽度截面， 发生在中性轴上；发生在中性轴上；在进行梁的强度计算时，需注意以下问题在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1 1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。力的强度条件是次要的。对于宽度变化的截面，对于宽度变化的截面， 不一定不一定发生在中性轴上。发生在中性轴上。一般

36、情况下，一般情况下，以正应力设计为主，以正应力设计为主， 切应力校核为辅；切应力校核为辅；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力(2) 对于对于较粗短较粗短的梁，当的梁，当集中力较大集中力较大时，时，注意注意(4) 薄壁截面梁薄壁截面梁时，也需要校核切应力。时，也需要校核切应力。截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。截面上的剪力较大，需要校核切应力强度条件。(3) 载荷离支座较近载荷离支座较近时，时，截面上的剪力较大；截面上的剪力较大；(5) 木梁顺纹木梁顺纹方向，抗剪能力较差方向，抗剪能力较差;(6) 工字形工字形截面梁，要进行切应力校核截面梁，要进行切应力校核;材料力学材

37、料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力（7 7）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；该处的切应力为零；该处的切应力为零；该处的切应力为零；切应力的最大值发生在中性轴上，切应力的最大值发生在中性轴上，切应力的最大值发生在中性轴上，切应力的最大值发生在中性轴上， 该处的正应力为零。该处的正应力为零。该处的正应力为零。该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。对于横截面上其余各点，同时存在正

38、应力、切应力。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。这些点的强度计算，应按这些点的强度计算，应按这些点的强度计算，应按这些点的强度计算，应按强度理论强度理论强度理论强度理论进行计算。进行计算。进行计算。进行计算。注意注意材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力77 一简易吊车的示意图如图一简易吊车的示意图如图a所示，其中所示，其中F=30 kN，跨长跨长 l=5 m。吊车大梁由。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲号工字钢制成，许用弯曲正应力正应力 =170 MPa，许用切应力，许用切应力 =100 MPa。试。试校核梁的强度。校核梁的强度。 例题例题 4-14材料力学材

39、料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力781. 校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图图b)。 荷载移至跨中荷载移至跨中C截面处截面处(图图b)时梁的横截面上的时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，所示，例题例题 4-14解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力79 由型钢规格表查得由型钢规格表查得20a号工字钢的号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为梁的最大弯曲正应力为例题例题 4-14材料力

40、学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力802. 校核切应力强度。校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座荷载移至紧靠支座A处处(图图d)时时梁的剪力为最大。此时的约束力梁的剪力为最大。此时的约束力FAF，相应的剪力，相应的剪力图如图图如图e所示。所示。FS,max=FA=30kN对于对于20a号钢，由型钢规格表查得：号钢，由型钢规格表查得：例题例题 4-14材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力81于是有于是有由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的。该梁是安全的。(e)例题例题 4-14材料力学材料力学()电子教案电

41、子教案弯曲应力弯曲应力82 简支梁在移动荷载简支梁在移动荷载F作用下，全梁弯矩为最大时，作用下，全梁弯矩为最大时，F力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断。力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断。也可用公式推导，即也可用公式推导，即FAABFFBxl例题例题 4-14材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力83例：例：截面为三块矩形截面叠加而成截面为三块矩形截面叠加而成(胶合成一体胶合成一体)的梁的梁,胶胶 =3.4MPa，求求：Fmax及此时的及此时的max。若截面为自由叠合，若截面为自由叠合，max的值又为多大。的值又为多大。FZ10050解：解：1、确定、确定 Fma

42、x2、确定、确定max3、自由叠合时的、自由叠合时的maxxxFsMF-F*1材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力 悬臂梁由三块木板粘接而悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为成。跨度为1 1m m。胶合面的许胶合面的许可切应力为可切应力为0.340.34MPaMPa，木材木材的的= 10 MPa= 10 MPa， =1MPa=1MPa，求许可载荷。求许可载荷。1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 解：解：例例材料力学材料力学()电子教案电子教

43、案弯曲应力弯曲应力4.4.按胶合面强度条件计按胶合面强度条件计算许可载荷算许可载荷 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例例10 图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的容许正应力图示梁由两根木料胶合而成，已知木材的容许正应力 =10MPa，容许切应力容许切应力 =1.0MPa ，胶缝的容许切应力，胶缝的容许切应力 1 =0.4MPa，试确定容许荷载集度试确定容许荷载集度q。AB3mFA=1.5qFB=1.5qz100100 50M图图Fs图图 1.5q1.125q解：解：求支座反力；求支座反力；画剪力图与弯矩图；画剪力图与弯矩图； 按正应力强

44、度条按正应力强度条件确定容许荷载；件确定容许荷载；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力AB3mFA=1.5qFB=1.5q100100 50M图图Fs图图 1.5q1.5qz 按切应力强度条按切应力强度条件确定容许荷载；件确定容许荷载；1.125q材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力AB3mFA=1.5qFB=1.5q100100 50M图图Fs图图 1.5q1.5qz1.125q 按胶缝切应力强度按胶缝切应力强度条件确定容许荷载；条件确定容许荷载；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例例11 图示圆截面梁，直径图示圆截面梁，直径d=200mm，

45、材料的容许正应力材料的容许正应力 =10MPa，容许切应力容许切应力 =2MPa 。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。AB3m1mFA=5kNdFB=10kN解：解：求支座反力；求支座反力；画剪力图和弯矩图；画剪力图和弯矩图；Fs图图M图图 5kN3kN7kN1.25m3kN.m3.125kN.m 最大正应力发生在距最大正应力发生在距A 端端1.25m截面的上下边缘；截面的上下边缘； 最大切应力发生在最大切应力发生在B 的左的左截面的中性轴上。截面的中性轴上。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力AB3m1mFA=5kNdFB=10kNFs图图M图图 5kN3kN7kN1.25

46、m3kN.m3.125kN.m此梁安全。此梁安全。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力91 例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应例：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力力=160MPa，=100MPa，试求最小直径，试求最小直径dmin。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力92解：解：由正应力强度条件：由正应力强度条件：由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力例例 铸铁梁的截面为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力为字形，受力如图。已知材料许用拉应力为 ，许用压应力为，许用压应力为 ，

47、。试校核梁的正。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？AB2m1m3mP=20KNECDq=10KN/m200mm30200mmycz约束反力：约束反力：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力200mm30200mmycz解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置最大静矩：最大静矩：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图约束反力：约束反力：(+)(-)(-)20KN10KN10KN(+)(

48、-)10KN.m20KN.m由由 、 知：知：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力（3）正应力强度校核）正应力强度校核对于对于A A截面：截面：z200mm30200mmycz材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力对于对于D D截面：截面：z200mm30200mmyczz材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力正应力强度足够正应力强度足够。因此因此（4 4）剪应力强度校核）剪应力强度校核在在A A截面：截面：剪应力强度足够剪应力强度足够。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1、求、求图示梁上示梁上1-1截面上、二点的切截面上、二点的切

49、应力，及力，及梁内最大的切梁内最大的切应力。力。101.2m1m1m1-1P=8KN40ab材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力2、求图示梁内最大正应力、最大切应力，并画、求图示梁内最大正应力、最大切应力，并画出正应力与切应力的分布规律。出正应力与切应力的分布规律。q=10KN/m1mD=50材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力3、矩形截面简支梁由三根宽为、矩形截面简支梁由三根宽为150、高为、高为60的矩形的矩形板胶合而成。已知胶合面上的许用剪应力为板胶合而成。已知胶合面上的许用剪应力为 胶合胶合0.5MP，梁的许用应力为：，梁的许用应力为：10MP， 2MP

50、。校核梁的强度。校核梁的强度。q=2KN/m2m150606060材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力4、矩形截面简支梁、矩形截面简支梁24100，许用剪应力，许用剪应力为为60MP，校核梁的剪切强度。，校核梁的剪切强度。P=10KN5m5mbh材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力5、P200KN，均布载荷的集度为，均布载荷的集度为q=10KN/m，梁的，梁的跨度为跨度为L2米，集中力到支座的距离米，集中力到支座的距离a0.2米。米。梁的许用应力为：梁的许用应力为：160MP， 100MP，选择工字钢型号。选择工字钢型号。q=10KN/mPPaaL材料力学材料力

51、学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力6、矩形截面简支梁、矩形截面简支梁24100，梁的许用应，梁的许用应力为：力为：120MP，许用剪应力为，许用剪应力为 100MP，校核梁的强度。，校核梁的强度。2m2m2mq=1KN/mP=4KN24100材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力7、矩形截面简支梁，高：宽、矩形截面简支梁，高：宽3：2，梁的许用应，梁的许用应力为：力为：8MP， 0.7MP，设计矩形截，设计矩形截面的尺寸、。面的尺寸、。hbq=2KN/m1mP=4KN1m材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力8、矩形截面简支梁，宽、矩形截面简支梁，宽50，高，高

52、160，梁的，梁的许用应力为：许用应力为：MP， 1MP，求梁，求梁的许可载荷。的许可载荷。hb1m材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1104-6 梁的合理设计梁的合理设计I. 合理配置梁的荷合理配置梁的荷载和支座和支座材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力111材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力112II. 合理选取截面形状合理选取截面形状 (1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。增大。 由四根由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四

53、不等边角钢按四种不同方式焊成的梁种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系和弯曲截面系数数Wz如下：如下：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力113图图a所示截面所示截面图图b所示截面所示截面图图c所示截面所示截面图图d所示截面所示截面材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力选择合理的梁截面选择合理的梁截面 1、根据抗弯截面系数与截面面积、根据抗弯截面系数与截面面积 比值比值Wz /A选择

54、截面选择截面 高高h、宽、宽b的矩形截面的矩形截面 直径为直径为h的圆形截面的圆形截面 高高h的工字形、槽形截面的工字形、槽形截面 比较比较：具有同样高度：具有同样高度h的的矩形矩形、圆形圆形和和工字形工字形（或（或槽形槽形）截面的）截面的Wz /A值。值。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力 抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，梁使用的材料越少。面积越小，梁使用的材料越少。综合考虑综合考虑梁的梁的安全安全性性与与经济性经济性，可知，可知Wz /A值越大，梁截面越合理。因值越大，梁截面越合理。因此这三种截面的此这三种截面的合

55、理顺序合理顺序是：是：工字形与槽形截面工字形与槽形截面 矩形截面，矩形截面， 圆形截面。圆形截面。 结结 论论材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力116 (2) 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料 (例如建筑用钢例如建筑用钢) 制成的梁，其横截面应以中性轴为制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁例如铸铁)制成的梁，宜采用制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。dz

56、yO(b) yc,max yt,maxyz b 1 1 hO 2(c) hbzyO(a)材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力117为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为因因即即材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力118 III. 合理设计梁的外形合理设计梁的外形 可将梁的截面高度设可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为则这种变截面梁称

57、为等等强度梁强度梁。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力采用变截面梁采用变截面梁 变截面梁变截面梁：梁的截面沿梁轴变化的梁。梁的截面沿梁轴变化的梁。等强度梁等强度梁：理想的变截面梁是使所有横截面上的最大弯曲理想的变截面梁是使所有横截面上的最大弯曲正应力均相同，并且等于许用应力。正应力均相同，并且等于许用应力。 例例：如图所示的悬臂梁，自由端作用有集中力：如图所示的悬臂梁，自由端作用有集中力F，下面讨论，下面讨论该梁的等强度梁截面形状。该梁的等强度梁截面形状。悬臂梁的悬臂梁的弯矩函数弯矩函数为：为： x材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力 选取梁截面为矩形，宽度为

58、常选取梁截面为矩形，宽度为常量量b，高度可变高度可变，设为，设为h(x)，则，则 所以截面所以截面高度高度沿轴线按沿轴线按抛物线抛物线规律变化，如图规律变化，如图b所示。所示。 悬臂梁的悬臂梁的弯矩函数弯矩函数为：为： x材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力 按梁弯曲正应力强度条件设计梁截面，等强度梁按梁弯曲正应力强度条件设计梁截面，等强度梁是理想状态，考虑到生产工艺，工程实际常采用是理想状态，考虑到生产工艺，工程实际常采用近似近似的等强度梁的等强度梁，如图所示的汽车板簧即为应用实例。，如图所示的汽车板簧即为应用实例。 说说 明明材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲

59、应力 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1 1、合理布置支座、合理布置支座一、一、 降低降低 Mmax 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力2 2、合理布置载荷、合理布置载荷降低降低 Mmax FL/65FL/36安装齿轮安装齿轮靠近轴承一侧；靠近轴承一侧；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力3 3、集中力分散、集中力分散降低降低 Mmax F材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力二、梁的合理截面二、梁的合理截面增大抗弯截面系数增大抗弯截面系数截面面积几乎不变的情况下，截面面积几乎不变的情况下，

60、截面的大部分分布在截面的大部分分布在远离中性轴远离中性轴的区域的区域1、合理设计截面合理设计截面材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力抗弯截面系数抗弯截面系数W WZ Z越大、横截面面积越大、横截面面积A A越小，越小， 截面越合理。截面越合理。来衡量截面的经济性与合理性来衡量截面的经济性与合理性合理截面合理截面材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力合理截面合理截面伽利略伽利略16381638年年关于两种新科学的对话和证明关于两种新科学的对话和证明“空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，空心梁能大大提高强度，而无须增加重量，所以在技术上得到广泛应用。所以在技术上得到

61、广泛应用。在自然界就更为普遍了，在自然界就更为普遍了，这样的例子在这样的例子在鸟类的骨骼鸟类的骨骼和各种和各种芦苇芦苇中可以看到，中可以看到，它们它们既轻巧既轻巧而又而又对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力对弯曲和断裂具有相当高的抵抗能力。“材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力矩形截面中性轴附近的材料未充矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更合理。分利用，工字形截面更合理。根据应力分布的规律：根据应力分布的规律：解释解释z材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力合理截面合理截面合理截面要求上下危险点同时达到各自的许用应力。合理截面要求上下危险点同时达到各自的许

62、用应力。对于塑性材料对于塑性材料宜设计成关于中性轴对称的截面宜设计成关于中性轴对称的截面对于脆性材料对于脆性材料宜设计成关于中性轴宜设计成关于中性轴不对称不对称的截面的截面且使中性轴且使中性轴靠近受拉靠近受拉一侧。一侧。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力2 2、合理放置截面、合理放置截面竖放比横放更合理。竖放比横放更合理。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力为降低重量，可在中性轴附近开孔。为降低重量，可在中性轴附近开孔。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力三、等强度梁三、等强度梁 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力工程中的等强

63、度梁工程中的等强度梁 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力工程中的等强度梁工程中的等强度梁 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力工程中的等强度梁工程中的等强度梁 材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力2、T型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强型铸铁梁，承受正弯矩的条件下，下列哪一种放置中，强度最高？度最高？abcd讨论讨论1、梁发生平面弯曲时，横截面绕、梁发生平面弯曲时，横截面绕 旋转旋转A：轴线；：轴线； B：中性轴；：中性轴； C：横截面对称轴；：横截面对称轴；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力3、EA均相同，哪

64、一个截面承担的最大弯矩均相同，哪一个截面承担的最大弯矩M最大？最大？abcd材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力4、铸铁梁有四种截面形式，、铸铁梁有四种截面形式，C为截面形心，为截面形心，y1/y2=2，最佳形状为：，最佳形状为： 。2L/5 y2 y1 Cy1y2C材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力5、T型截面铸铁梁，受主动力偶型截面铸铁梁，受主动力偶M作用，从强度的作用，从强度的角度看，如何放置？阐述原因。角度看，如何放置？阐述原因。M材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力7、弯曲时，梁的横截面中性轴过形心。对吗？、弯曲时，梁的横截面中性轴过

65、形心。对吗？6、从哪些方面考虑提高梁的承载力？、从哪些方面考虑提高梁的承载力？8、梁在横力弯曲时，横截面上、梁在横力弯曲时，横截面上 。A：正应力不等于零，剪应力等于零；：正应力不等于零，剪应力等于零； B：正应力等于零，剪应力不等于零；：正应力等于零，剪应力不等于零；C：正应力、剪应力均不等于零；：正应力、剪应力均不等于零； D：正应力、剪应力均等于零；：正应力、剪应力均等于零；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力9、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两、材料、横截面均相同的两梁，变形后轴线为两个同心圆，那么，最大弯曲正应力哪一个大？个同心圆，那么，最大弯曲正应力哪一个大

66、？ab材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力11、用一块板与、用一块板与4块不等边角钢组成复合型截面梁，块不等边角钢组成复合型截面梁，请画出合理截面的组合形式。请画出合理截面的组合形式。10、梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底、梁的某段承受正弯矩时，靠近顶面或底面的纵向纤维分别：面的纵向纤维分别： 。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力12、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采、简支梁材料为普通碳钢，承受均布载荷，采用用 截面形式最合理。如果材料为铸截面形式最合理。如果材料为铸铁，哪种截面合理？为什么？铁，哪种截面合理？为什么？材料力学材料力学()电子教案电子教

67、案弯曲应力弯曲应力13、等强度梁各个横截面上的、等强度梁各个横截面上的 。A：最大正应力相等；：最大正应力相等； B：最大正应力相等且等于许用正应力；：最大正应力相等且等于许用正应力；C：最大剪应力相等：最大剪应力相等 ；D：最大剪应力相等且等于许用剪应力；：最大剪应力相等且等于许用剪应力；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力14、厂房中的、厂房中的“鱼腹梁鱼腹梁”是根据简支梁上是根据简支梁上 而设计的等强度梁。而设计的等强度梁。 A：受集中力、截面宽度不变：受集中力、截面宽度不变 B：受均布力、截面宽度不变；：受均布力、截面宽度不变；C：受集中力、截面高度不变：受集中力、截面

68、高度不变 D：受均布力、截面高度不变；：受均布力、截面高度不变；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1515、悬臂梁受力后与大半径臂梁受力后与大半径刚性性圆柱面柱面贴合，合，从此后随力从此后随力P P的增加，梁内弯矩的增加，梁内弯矩 。PA：上升；：上升；B：下降；：下降；C：不：不变；材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力小结小结1 1、了解梁纯弯曲正应力的推导方法、了解梁纯弯曲正应力的推导方法2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用强度条件及其应用4 4、了解提高梁弯曲强度的主要措施、了解提高梁弯曲强度

69、的主要措施3 3、掌握弯曲切应力的计算公式、强度条件及、掌握弯曲切应力的计算公式、强度条件及其应用其应用材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力149I-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合组合 截面的惯性矩和惯性积截面的惯性矩和惯性积 工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例工程中常遇到由基本图形构成的组合截面，例如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面如下面例题中所示的两种横截面。当对组合截面杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出杆件计算在外力作用下的应力和变形时需要求出它们对于形心轴它们对于形心轴x、y (本节中的本节中的x轴就是以前我们轴就

70、是以前我们所用的所用的z轴轴) 的一些几何性质，例如：的一些几何性质，例如：惯性矩惯性矩 (moment of inertia)惯性积惯性积 (product of inertia)材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力150 在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自在已知构成组合截面的每一图形对于通过其自身形心且平行于组合截面某个轴身形心且平行于组合截面某个轴(例如例如x轴轴)的惯性的惯性矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求矩时，组合截面的惯性矩可利用平行移轴公式求得。组合截面对于某对相互垂直的轴得。组合截面对于某对相互垂直的轴(例如例如x、y轴轴)的惯性积也可类似地求得

71、。的惯性积也可类似地求得。 y2 y1yx b 1 1 hO 2x材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力151 已知任意形状的截面已知任意形状的截面(如图如图)的面积的面积A以及对于形以及对于形心轴心轴xC和和yC的惯性矩的惯性矩 及惯性积及惯性积 ，现需，现需导出该截面对于与形心轴导出该截面对于与形心轴xC ， yC平行的平行的x轴和轴和y轴轴的惯性矩的惯性矩Ix，Iy和惯性积和惯性积Ixy。截面的形心。截面的形心C在在x，y坐坐标系内的坐标为标系内的坐标为I. 惯性矩和惯性积的惯性矩和惯性积的平平行移轴公式行移轴公式材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力152注

72、意到注意到xC轴为形心轴，故上式中的静矩轴为形心轴，故上式中的静矩SxC等于零，等于零，从而有从而有因截面上的任一元素因截面上的任一元素dA在在x，y坐标系内的坐标为坐标系内的坐标为于是有于是有材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力153同理可得同理可得 以上三式就是惯性矩和惯性积的以上三式就是惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式。需要注意的是式中的需要注意的是式中的a、b为坐标，有正负，应用为坐标，有正负，应用惯性积平行移轴公式时要特别注意。惯性积平行移轴公式时要特别注意。材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力154II. 组合截面的惯性矩及惯性积组合截面的惯

73、性矩及惯性积 若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于若组合截面由几个部分组成，则组合截面对于x，y两轴的惯性矩和惯性积分别为两轴的惯性矩和惯性积分别为 y2 y1yx b 1 1 hO 2x材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力155 试求图试求图a所示截面对于所示截面对于x轴的惯性矩轴的惯性矩Ix ，对于，对于y轴的轴的惯性矩惯性矩Iy ，以及对于，以及对于x、y轴轴的惯性积的惯性积Ixy 。例题例题 4-15材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力156 将截面看作由一个矩形和两个将截面看作由一个矩形和两个半圆形组成，半圆形的形心位置半圆形组成，半圆形的形心位置

74、如图如图b所示。所示。例题例题 4-15材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1571. 求求Ix 设矩形对设矩形对x轴的惯性矩为轴的惯性矩为 ，每个，每个半圆形对半圆形对x轴的惯性矩为轴的惯性矩为 ，则有，则有其中：其中：例题例题 4-15解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力158 至于至于 则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯则需先求出半圆形对其自身形心轴的惯性矩。根据平行移轴公式可得性矩。根据平行移轴公式可得 ，而半圆形对于直径轴而半圆形对于直径轴x( (图图b) )的惯性矩等于圆形对的惯性矩等于圆形对x轴的惯性矩轴的惯性矩p pd 4/64的一半，即的

75、一半，即 于于是得是得例题例题 4-15材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力159然后再利用平行移轴公式求半圆形对然后再利用平行移轴公式求半圆形对x轴的惯性矩：轴的惯性矩：将将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得代入后得从而得图从而得图a所示截面对所示截面对x轴的惯性矩为轴的惯性矩为例题例题 4-15材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1602. 求求Iy 此组合截面的此组合截面的y轴就是矩形和轴就是矩形和半圆形的形心轴，故不必应用平半圆形的形心轴，故不必应用平行轴公式行轴公式, ,所以所以将将 d = 80 mm，a = 100 mm 代入后得

76、代入后得例题例题 4-15材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1613. 求求 Ixy 由由 可知，只要可知，只要x 轴或轴或y 轴为截面的对称轴，则由于轴为截面的对称轴，则由于与该轴对称的任何两个面积元素与该轴对称的任何两个面积元素dA的惯性积的惯性积xydA数值相等而正负数值相等而正负号相反，致使整个截面的惯性积号相反，致使整个截面的惯性积必定等于零。图必定等于零。图a所示截面的所示截面的x 轴轴和和y 轴都是对称轴，当然轴都是对称轴，当然Ixy=0。例题例题 4-15材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力162 图示组合截面由一个图示组合截面由一个25c号槽

77、钢截面和两个号槽钢截面和两个90 mm90 mm12 mm等边角钢截面组成。试等边角钢截面组成。试求此截面分别对于形心求此截面分别对于形心轴轴x和和y的惯性矩的惯性矩Ix 和和 Iy 。例题例题 4-16材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力16390 mm90 mm12 mm等等边角钢截面边角钢截面形心位置如图所示形心位置如图所示形心位置如图所示形心位置如图所示1. 求组合截面的形心位置求组合截面的形心位置由型钢规格表查得：由型钢规格表查得：25c号槽钢截面号槽钢截面例题例题 4-16解解:材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力164 组合截面的形心组合截面的形心

78、C在对在对称轴称轴x上。以两个角钢截面的上。以两个角钢截面的形心连线为参考轴形心连线为参考轴, ,只需求组只需求组合截面形心合截面形心C以该轴为基准以该轴为基准的横坐标的横坐标 ：例题例题 4-16材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力165于是有于是有例题例题 4-16材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力1662. 利用平行移轴公式求利用平行移轴公式求Ix和和Iy槽钢截面对槽钢截面对x轴和轴和y轴的惯性矩为轴的惯性矩为例题例题 4-16材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力167角钢截面对角钢截面对x轴和轴和y轴的惯性矩为轴的惯性矩为例题例题 4-

79、16材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力168于是有组合截面对于两主轴于是有组合截面对于两主轴x轴和轴和y轴的惯性矩分别为轴的惯性矩分别为 顺便指出，该组合截面的顺便指出，该组合截面的x轴为对称轴，因轴为对称轴，因此截面对于此截面对于x、y轴的惯性积轴的惯性积Ixy等于零。等于零。例题例题 4-16材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力169思考思考: 图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合图示为两根同一型号的槽钢截面组成的组合截面。已知每根槽钢截面面积截面。已知每根槽钢截面面积A，每根槽钢截面对，每根槽钢截面对于自身形心轴于自身形心轴y0的惯性矩的惯性矩 以及通过槽钢截面腹板以及通过槽钢截面腹板外侧的轴外侧的轴y1的惯性矩的惯性矩 ，试问是否可用下列两式中，试问是否可用下列两式中的任何一式求组合截面对于的任何一式求组合截面对于y轴的惯性矩轴的惯性矩Iy ，并说明并说明理由：理由：材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力材料力学材料力学()电子教案电子教案弯曲应力弯曲应力175