《教学课件第2章线性代数方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教学课件第2章线性代数方程组（86页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第2 2章章 线性代数方程组线性代数方程组第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组线性代数方程组线性代数方程组 可以写为矩阵形式可以写为矩阵形式 其中其中 第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组求解方法求解方法 方法方法1 1 计算量为矩阵求逆计算量为矩阵求逆 矩阵求逆的方法矩阵求逆的方法: :初等行变换法、伴随矩阵法、高斯初等行变换法、伴随矩阵法、高斯约当法约当法第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组求解方法求解方法 方法方法2 Crammer2 Crammer法则法则 第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组求解方法求解方法 方法方法2 Crammer2 Crammer法则法则 第第
2、2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.1 2.1.1 消去法消去法消去法的过程消去法的过程1.1.将将n n元方程组的元方程组的n-1n-1个方程通过个方程通过“消元消元”，形成一个与原，形成一个与原方程组等价的新方程组方程组等价的新方程组2.2.继续将继续将n-1n-1个方程通过个方程通过“消元消元”形成与之等价的新方程形成与之等价的新方程组组3.3.直到最后一个方程为一元一次方程为止直到最后一个方程为一元一次方程为止4.4.从最后一个方程中解出最后一个未知量，然后回代得到从最后一个方程中解出最后一个未知量，然后回代得到其它的解其它的解第
3、第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.1 2.1.1 消去法消去法消去法的基本思想消去法的基本思想: : 将求解将求解n n元方程组的问题通过降维元方程组的问题通过降维, ,变为等价的变为等价的n-1n-1元元方程组进行求解，逐次进行直至变为一个一元一次方程方程组进行求解，逐次进行直至变为一个一元一次方程为止，然后求解，再逐步回代得到其余的解为止，然后求解，再逐步回代得到其余的解消去法的基本步骤：消去、回代消去法的基本步骤：消去、回代第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.1 2.1
4、.1 消去法消去法消去过程消去过程 对于以下的增广矩阵对于以下的增广矩阵第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.1 2.1.1 消去法消去法依此类推，消去的第依此类推，消去的第k步，得到矩阵步，得到矩阵第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.1 2.1.1 消去法消去法经过经过n-1n-1步消去后，得到步消去后，得到然后，经过回代，得到所有的解然后，经过回代，得到所有的解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.2 2.1.2 算
5、法组织算法组织算法算法 Gauss(A,b,n,x) Gauss(A,b,n,x) 系数矩阵系数矩阵A A存放于数组存放于数组A A中，右端向量放在数组中，右端向量放在数组b b中中 N-1次N-k次N-k次 N-1次N-k次第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法时间复杂度分析时间复杂度分析1.1.消去算法运算量消去算法运算量2.2.回代运算量回代运算量第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法空间复杂度分析空间复杂度分析第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消
6、去法消去法2.1.3 2.1.3 主元主元Gauss消去法可以顺利执行的条件消去法可以顺利执行的条件若在若在Gauss消去过程中出现以下两种情况消去过程中出现以下两种情况则则Gauss消去过程中会出现问题消去过程中会出现问题第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.3 2.1.3 主元主元第第1种情况下种情况下(1)若若A A非奇，则可以通过交换方程组中各方程的行序非奇，则可以通过交换方程组中各方程的行序, ,可以继续执行消去过程可以继续执行消去过程 (2)(2)若若A A奇异，则不能继续执行消去过程奇异，则不能继续执行消去过程 第第2章章
7、 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.3 2.1.3 主元主元第第2种情况下种情况下 真实解为真实解为按按Gauss消去法为消去法为第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.3 2.1.3 主元主元原因原因则同理若有误差 第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.3 2.1.3 主元主元列主元列主元GaussGauss消去法消去法 若若A A非奇则可以通过选主元的方式继续执行消去过程非奇则可以通过选主元的方式继续执行消去过程第第2章章 线性
8、代数方程组线性代数方程组2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.3 2.1.3 主元主元算法算法 GaussPP(A,b,n,x) GaussPP(A,b,n,x) 列主元消去法列主元消去法第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组列主元消去法的特点：列主元消去法的特点：2.1 Gauss2.1 Gauss消去法消去法2.1.3 2.1.3 主元主元当系数矩阵的行列式不为当系数矩阵的行列式不为0 0时，算法总可以执行完成时，算法总可以执行完成 算法稳定，在消去过程中计算误差能被有效控制；算法稳定，在消去过程中计算误差能被有效控制；当矩阵当矩阵A A是对称正定或严格对角占优，则不选
9、主元，是对称正定或严格对角占优，则不选主元，GaussGauss消去法也是稳定的消去法也是稳定的第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.1 Gauss2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义消去法的矩阵意义第一步消去等价于用一个初等下三角阵左乘方程组的两端第一步消去等价于用一个初等下三角阵左乘方程组的两端第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.1 Gauss2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义消去法的矩阵意义第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.1 Gauss2.2.1 G
10、auss消去法的矩阵意义消去法的矩阵意义第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.1 Gauss2.2.1 Gauss消去法的矩阵意义消去法的矩阵意义第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.2 2.2.2 矩阵的矩阵的LULU分解分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.2 2.2.2 矩阵的矩阵的LULU分解分解由此定理可以得到由此定理可以得到L L和和U U的计算公式的计算公式第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.2 2.2.2
11、矩阵的矩阵的LULU分解分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.2 2.2.2 矩阵的矩阵的LULU分解分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.2 2.2.2 矩阵的矩阵的LULU分解分解在迭代过程中，为节省存储空间，可以将每个系数存储在矩阵中在迭代过程中，为节省存储空间，可以将每个系数存储在矩阵中第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.3 2.2.3 其它的三角分解其它的三角分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.3 2.
12、2.3 其它的三角分解其它的三角分解推论推论2.22.2第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.3 2.2.3 其它的三角分解其它的三角分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.4 2.2.4 对称正定矩阵对称正定矩阵定理定理2.32.3第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.4 2.2.4 对称正定矩阵对称正定矩阵定理定理2.42.4第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.5 2.2.5 带状矩阵的分解带状矩阵的分解定理定理2.52
13、.5第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.5 2.2.5 带状矩阵的分解带状矩阵的分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.5 2.2.5 带状矩阵的分解带状矩阵的分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.5 2.2.5 带状矩阵的分解带状矩阵的分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.5 2.2.5 带状矩阵的分解带状矩阵的分解第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.6 2.2.6 矩阵
14、分解的应用矩阵分解的应用第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.6 2.2.6 矩阵分解的应用矩阵分解的应用第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.6 2.2.6 矩阵分解的应用矩阵分解的应用第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解2.2.6 2.2.6 矩阵分解的应用矩阵分解的应用第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.2 2.2 矩阵分解矩阵分解n n n n 第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性残向量残向量第第2章
15、章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.1 2.3.1 误差向量和范数误差向量和范数第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.1 2.3.1 误差向量和范数误差向量和范数第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.1 2.3.1 误差向量和范数误差向量和范数第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.1 2.3.1 误差向量和范数误差向量和范数第第2章章 线性
16、代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.1 2.3.1 误差向量和范数误差向量和范数第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.1 2.3.1 误差向量和范数误差向量和范数第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.1 2.3.1 误差向量和范数误差向量和范数第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.1 2.3.1 误差向量和范数误差向量和范数第第2章章 线性代数方程
17、组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代
18、数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组
19、2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征病态方程组的特征及判别病态方程组的特征及判别第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.3 2.3 线性方程组解的可靠性线性方程组解的可靠性2.3.3 2.3.3 误差的代数表征误差的代数表征求解病态方程组的措施求解病态方程组的措施第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法n n 第第2章
20、章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.1 2.4.1 基本迭代法基本迭代法u Jacobi迭代迭代第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法u Jacobi迭代迭代2.4.1 2.4.1 基本迭代法基本迭代法第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法u Gauss-Seidel迭代迭代2.4.1 2.4.1 基本迭代法基本迭代法第第2章
21、章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.2 2.4.2 迭代法的矩阵表示迭代法的矩阵表示第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.2 2.4.2 迭代法的矩阵表示迭代法的矩阵表示第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.2 2.4.2 迭代法的矩阵表示迭代法的矩阵表示第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.2 2.4.2 迭代法的矩阵表示迭代法的矩阵表示
22、第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.2 2.4.2 迭代法的矩阵表示迭代法的矩阵表示第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.2 2.4.2 迭代法的矩阵表示迭代法的矩阵表示第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.2 2.4.2 迭代法的矩阵表示迭代法的矩阵表示第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.3 2.4.3 收敛性收敛性第第2章章
23、线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.3 2.4.3 收敛性收敛性定理定理2.62.6第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.3 2.4.3 收敛性收敛性第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.3 2.4.3 收敛性收敛性第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.3 2.4.3 收敛性收敛性第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.4 2.4.4 算法算法定理定理2.112.11第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.4 2.4.4 算法算法第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.4 2.4.4 算法算法第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组2.4 2.4 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法2.4.4 2.4.4 算法算法第第2章章 线性代数方程组线性代数方程组小结小结
