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1、第十三章第十三章第十三章第十三章 轴对称轴对称轴对称轴对称13.4 13.4 13.4 13.4 课题学习课题学习课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题最短路径问题最短路径问题【学习目标学习目标】 能利用轴对称和平移的知识解决路径能利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问题。最短的问题。【学习重、难点学习重、难点】 重难点：能利用轴对称和平移的知识重难点：能利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问题。解决路径最短的问题。【预习导学预习导学】1 1、自学、自学1：自学课本P8586页“问题1”，掌握在直线上找一点到直线同侧两点距离和最短的问题，完成下列填空。10分钟点A、B分别是直线l异侧的两个
2、点，如何在l上打到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短。解：连接AB交直线l于点P，则根据“两点之间，线段最短”，可得AP+BP最短。则点P即为所求。如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 分析：如果我们能把点B移到l的另一侧B处，同时对直线l上的任一点C，都保持CBCB，就把问题转化为第题的情况了。如果直线l上的任一点到B、B的距离都相等，则说明直线l是线段BB的 垂直平分线 ，则点B与点B关于直线l对称。解：作点B关于直线l的对称点B,连接点A、B交直线l于点P， 则根据“两点之间，线段最短”，可得AP+BP最短
3、。理由如下：在直线l上取任意一点P（不与点P重合），连接AP、BP、BP，在APB中，根据两边之和大于第三边，可得ABAP+PB，而因为点B与点B关于直线l对称，则PBPB，所以AP+PBAP+PBAB，则AP+PBAP+PB。【合作探究合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟分钟探究探究1 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） 分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM
4、+MN+NB最小，这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？可以通过将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AAMN，AM+NBAN+NB，当AB在一条直线上时，根据“两点之间，线段最短”，可得AN+NB的值最小，则路径AMNB最短。解：在直线a上取任意一点M，作MNb于点N，平移AM，使点M移动点N的位置，点A移动到点A的位置，连接AB交直线b于点N，过点N作MNa于点M，则路径AMNB最短。理由如下：如图，点M为直线a上任意一点（不与点M重合）， 线段AN是线段AM平移得到的 AAMN，ANAM AM+MN+BNAN+AA+BN MN平行
5、AA且MNAA MN可以看作是AA经过平移得到的 ANAM AM+NBAN+NB 根据两点之间线段最短，得AN+NBABAN+BN AM+NBAM+BN MNMN AM+MN+NBAM+MN+NB，即路径AMNB最短。【跟踪练习跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5 5分钟分钟1、如图，某牧童在A外放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且ACBD，若A到河岸CD的中点的距离为500米。牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？试通过作图找出这一点；最短路程是多少？解：作点A
6、关于直线b的对称点A，连接AB交直线b于点E，则AE+BEAE+BEAB，根据两点之间线段最短，AE+BE的路程最短。点A与点A关于直线b对称 AEAE，ACAC AECAEC BEDAEC AECBED ACEBDE90，ACBD AECBED(AAS) ECED，BEAE 点A到河岸CD的中点的距离为500米 BEAE500 AE+BE1000（米），即最短路是1000米。【点拨精讲点拨精讲】（3分钟）分钟） 1、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。 2、证明路线最短常采取作对称点的依法，利用两点之间线段最短及三角形三边关系来解决问题。，【课堂小结课堂小结】（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟【当堂训练当堂训练】10分钟
