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1、考纲要考纲要求求1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的性质会运用函数图象理解和研究函数的性质.热点提热点提示示1.函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是2011年高考年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题2在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题题、填空题的形式出现，属中、低档题.1奇偶函数的定义 (1)如果对于函数f(x)定义
2、域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 (2)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有 f(x)f(x)奇函数奇偶性2具有奇偶性的函数的图象特点一般地，奇函数的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图象关于 对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 原点原点y轴偶函数3函数奇偶性的判定方法 (1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于 对称，若不对称，则函数是 函数；若对称，再判定f(x)f(x)或f(x)f(
3、x)有时判定f(x)f(x)比较困难，可考虑判定f(x) 或判定 (f(x)0)原点非奇非偶f(x)01 (2)性质法判定在定义域的公共部分内，两奇函数之积(商)为偶函数；两偶函数之积(商)也为偶函数；一奇一偶函数之积(商)为奇函数(注意取商时分母不为零)；偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在区间(b，a)上 ；奇函数在区间(a，b)与(b，a)上的增减性 递减(增)相同 4.奇函数在关于原点对称的两个区间上有的单调性；偶函数在对称的两个区间上有的单调性相同相反1对任意实数x，下列函数为奇函数的是()Ay2x3By3x2Cyln5x Dy|x|cosx解析：A为非奇非偶函数，B、D为偶函数
4、，C为奇函数设yf(x)ln5xxln5，f(x)xln5f(x)答案：C2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()答案：B3已知函数yf(x)为奇函数，若f(3)f(2)1，则f(2)f(3)_.解析：f(x)为奇函数且f(3)f(2)1，f(2)f(3)f(3)f(2)1.答案：14下面四个命题：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)其中正确的命题序号为_解析：当yf(x)在x0处无定义时，都不正确；偶函数的图象关于y轴对称，正确；既是奇函数又是偶函数的函数可以写成f
5、(x)0，xa，a(其中a可为任一确定的正实数)，错误答案：5设函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，求实数a的值解：f(x)(x1)(xa)，f(x)(x1)(xa)又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，(x1)(xa)(x1)(xa)，x2(a1)xax2(a1)xa，a1(a1)，a1.(3)函数的定义域为R.若x为无理数，则x也是无理数，f(x)f(x)0；若x为有理数，则x也是有理数，f(x)f(x)1.综上可知，对任意实数x都有f(x)f(x)f(x)为偶函数判断函数的奇偶性，首先应考察定义域是否关于原点对称，再研究f(x)与f(x)的关系. 【例2】已知函数f(x)对一切x、yR
6、，都有f(xy)f(x)f(y)(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若f(3)a，用a表示f(12)思路分析：(1)判断f(x)的奇偶性，即找f(x)与f(x)之间的关系，令yx，有f(0)f(x)f(x)，再想法求f(0)即可；(2)寻找f(12)与f(3)之间的关系，注意用(1)问的结论解：(1)显然f(x)的定义域是R，关于原点对称又函数f(x)对一切x、yR都有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，得f(0)2f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)f(3)a且f(x)为奇函数f(3)f(3)a.又f(xy)f(x)f(y)，
7、x、yR，f(12)f(66)f(6)f(6)2f(6)2f(33)4f(3)4a.变式迁移 2函数f(x)，xR，若对于任意实数x1，x2都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)试判断函数yf(x)的奇偶性解：对于任意实数x1，x2都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，令x10，x2x，得f(x)f(x)2f(0)f(x)令x1x，x20，得f(x)f(x)2f(0)f(x)由得，f(x)f(x)，yf(x)为偶函数(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0
8、)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题. 变式迁移 3(2009山东高考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解析：f(x4)f(x)，f(x)f(x4)f(x8)f(x8)知函数f(x)的周期为T8，又f(x)f(x4)，f(x2)f(x2)f(2x)，知函数f(x)关于直线x2对称函数f(x)大体图象为：x1x212，x3x44.x1x2x3x48.答案：8【例4】已知函数yf(x)的定义域为
9、R，且对任意a，bR，都有f(ab)f(a)f(b)且当x0时，f(x)0恒成立，f(3)3.(1)证明：函数yf(x)是R上的减函数；(2)证明：函数yf(x)是奇函数；(3)试求函数yf(x)在m，n(m，nZ)上的值域(1)证明：设任意x1，x2R，且x10，f(x2x1)0.f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x1)故f(x)是R上的减函数(2)证明：f(ab)f(a)f(b)恒成立，可令abx，则有f(x)f(x)f(0)又令ab0，则有f(0)f(0)f(0)，f(0)0.从而任意的xR，f(x)f(x)0，f(x)f(x)故yf(x)是奇函数(3)解：由于yf(x)是R上的单调
10、递减函数，yf(x)在m，n上也是减函数，故f(x)在m，n上的最大值f(x)maxf(m)，最小值f(x)minf(n)由于f(n)f1(n1)f(1)f(n1)nf(1)，同理f(m)mf(1)又f(3)3f(1)3，f(1)1，f(m)m，f(n)n.因此函数yf(x)在m，n上的值域为n，m解决抽象函数的单调性、奇偶性等问题时，若条件中含有某一范围内某一式子都成立的语句时，常采用赋值法，但赋值要恰当. 解：对任意的xR，有f(x)(x3x)f(x)，所以，f(x)是R上的奇函数因为x1，x2R，且x1x2，均有xx，从而xx1xx2.故f(x1)0f(msin)f(m1)msinm1(1sin)m1.4解题中要注意以下性质的灵活运用：(1)f(x)为偶函数f(x)f(|x|)；(2)若奇函数f(x)在x0时有定义，则f(0)0.
