《高等数学：11-5多元函数微分学在几何上的应用(1-17)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学：11-5多元函数微分学在几何上的应用(1-17)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.5 多元函数多元函数微分学在几何上的应用微分学在几何上的应用1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面C:(1) 设空间曲线设空间曲线 C 的参数方程为的参数方程为 其中其中 x(t) , y(t) , z(t ) 可导且导数不同时为可导且导数不同时为零零设设 t = t0 时时 , 对应曲线对应曲线 C 上的点为上的点为 M0 ( x0 , y0 , z0)则曲线则曲线 C 在在 M0 点处的切线方程点处的切线方程 法平面方程法平面方程: 过过 M0 点且垂直于切线的平面称为点且垂直于切线的平面称为曲线曲线 C 在在 M0 点处的点处的法平面方程法平面方程 则曲线则曲线 C 在在
2、 M0 点处的法平面方程点处的法平面方程 若若(2) 如果空间曲线如果空间曲线 C 的方程为的方程为C:(1)则从方程组可确定则从方程组可确定:C:其切线的方向其切线的方向 :将方程组将方程组 (1) 两边对两边对 x 求导求导 , 有有解得解得所以所以 , 切线方向切线方向:(2) 曲线曲线 C 在在 M0 点处的切线方程点处的切线方程 : 曲线曲线 C 在在 M0 点处的法平面方程点处的法平面方程 : 说明说明: (1) 切线的方向公式切线的方向公式 (2) 可可通过右图记忆通过右图记忆 (3) 空间曲线空间曲线 的切线方向的切线方向 C:也可按下面的方法计算也可按下面的方法计算 例例求曲
3、线求曲线 的交线在点的交线在点 P0 = ( 1 , 1 , 2 ) 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程 解解令令 在在 P0 处的切线方向处的切线方向即即在在 P0 处的切线方程处的切线方程在在 P0 处的法平面方程处的法平面方程即即2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线设曲面设曲面 S 的方程的方程 :且设且设 F (x , y , z) 的各个偏的各个偏导数存在导数存在 , 连续且不同时为零连续且不同时为零我们证明下面的结论我们证明下面的结论:曲面曲面 S 上通过上通过 P0 点的任一曲线点的任一曲线 , 在在 P0 点处的点处的切线都在同一平面上切线都在同一平面上在在
4、S 上通过上通过 P0 点任意点任意引一条曲线引一条曲线 C 设设 C 的参数方程为的参数方程为C:设设 t = t0 对应对应 P0 点点 , 且且 不全为零不全为零 C 在在 P0 点处的切线方向点处的切线方向:由于由于 C 在在 S 上上 , 于是有于是有即即 S 上的任一通过上的任一通过 P0 点的曲线点的曲线 C , 在在 P0 处处的切线的切线 L 都与都与 垂直垂直由此证得由此证得:通过通过 P0 点的点的 S 上的任一曲线上的任一曲线 , 在在 P0 点处的点处的切线切线 L 都落在过都落在过 P0 点且以点且以 为法为法向的平面上向的平面上 , 这一平面就称为曲面这一平面就称
5、为曲面 S 在在 P0 点处点处的的切平面切平面曲面曲面 S 在在 P0 点处的切平面方程点处的切平面方程:曲面曲面 S 在在 P0 点处的法线点处的法线:通过通过 S 上上 P0 点点 , 且垂直于且垂直于 S 在在 P0 点处点处切平面的直线称为切平面的直线称为曲面曲面 S 在在 P0 点处的法线点处的法线曲面曲面 S 在在 P0 点处的法线方程点处的法线方程:说明说明: (1) 对于曲面对于曲面 :其梯度其梯度 表示曲面在表示曲面在 P = (x , y , z) 处处 的切平面的法向的切平面的法向 , 即即 (2) 对于等值面对于等值面 :即即其切平面的法向其切平面的法向:即即 也为等
6、值面也为等值面 F (x , y , z) = c 的的 切平面的法向切平面的法向 (3) 若曲面若曲面 S : z = f (x , y) 则有则有 z f (x , y) = 0其在其在 P0 = (x0 , y0 , z0) 处的切平面的法向处的切平面的法向曲面曲面 S 在在 P0 点处的切平面方程点处的切平面方程:曲面曲面 S 在在 P0 点处的法线方程点处的法线方程:例例求曲面求曲面 在点在点 ( 1 , 2 , 0 ) 处的处的 切平面方程和法线方程切平面方程和法线方程 解解令令 , 则则 在点在点 ( 1 , 2 , 0 ) 处切平面的法向处切平面的法向取取 切平面方程切平面方程: 即即法线方程法线方程: 例例求曲面求曲面 平行于平面平行于平面的切平面方程的切平面方程解解切平面的法向切平面的法向:即即设切点设切点 P = ( x , y , z )由于切平面与平面由于切平面与平面 平行平行 ,代入曲面方程有代入曲面方程有 切点切点 : P1 = ( 1 , 2 , 2 ) , P2 = ( 1 , 2 , 2 ) 切平面方程切平面方程:即即或或
