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1、 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程15.8 常系数常系数非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程小结小结 思考题思考题 作业作业非齐次非齐次第第5 5章章 微分方程微分方程 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程2方程方程对应对应齐次齐次方程方程通解结构通解结构难点难点方法方法二阶二阶 常系数常系数非齐次非齐次线性线性如何求如何求非齐次非齐次方程特解方程特解?待定系数法待定系数法. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程3求导代入原方程求导代入原方程设设非齐次方程特解非齐次方程特解为为特征方程特征方程 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系
2、数非齐次线性微分方程4综上讨论设非齐次方程特解为综上讨论设非齐次方程特解为注注上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k是重根次数是重根次数).不是特征方程根不是特征方程根是特征方程的单根是特征方程的单根是特征方程的二重根是特征方程的二重根特征方程特征方程 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程5解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解此题此题其中其中?所以所以 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性
3、微分方程6代入方程代入方程, 得得原方程通解为原方程通解为对应对应齐次齐次方程通解方程通解所以所以 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程7二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为的通解为 考研数学一考研数学一, 4分分设设 对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根(1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解解解代入方程代入方程, 得得原方程通解为原方程通解为 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程8解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根(
4、1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题例例考研数学考研数学(一一, 二二, 三三) 8分分二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程的切线重合的切线重合,求函数求函数y的解析表达式的解析表达式. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程9(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解解得解得所以所以(3) 求求原方程原方程的特解的特解即即特征根特征根原方程通解为原方程通解为(求函数求函数y的解析表达式的解析表达式)将点将点(0,1)的坐标代入通解的坐标代入通解, 得得 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程10由题意由题意, 得得即即联立联
5、立将之代入通解得将之代入通解得所以所以, 函数函数y的解析表达式为的解析表达式为 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程11m次多项式次多项式,注注上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次阶常系数非齐次线性微分方程线性微分方程. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程12解解例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程方程 特征根特征根其通解其通解这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程. 且且特征方程特征方程的通解的通解 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程13(2) 求求非齐次非齐次方程方程 故设故设代入方程代入方程,
6、 比较系数比较系数. 得得 这里这里特征根特征根非齐次方程特解为非齐次方程特解为是特征根是特征根.原方程通解为原方程通解为 的特解的特解. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程14考研考研(数学一数学一, 二二, 三三)7分分解解两端再对两端再对x求导求导,得得积分方程积分方程 微分方程微分方程积分方程积分方程即即即即这是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.其中其中 f 为连续函数为连续函数, 求求f (x). 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程15即即即即初始条件初始条件初始条件初始条件 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次
7、线性微分方程16其通解其通解(1)对应对应齐次齐次方程方程特征方程特征方程特征根特征根(2)设原方程的特解为设原方程的特解为 解得解得则则方程的通解为方程的通解为由初始条件由初始条件,得得所以所以,初始条件初始条件是特征根是特征根. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程17三、小结三、小结待定系数法待定系数法 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程18思考题思考题考研考研(数学一数学一, 二二) 5分分解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程特征根特征根(1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题其中其中(0次多项式次多项式),(二
8、重二重)其中其中a为实数为实数. 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程19(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解且且所以所以,原方程通解为原方程通解为特征根特征根不是特征根不是特征根.代入方程代入方程, 设特解设特解得得 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程20所以所以,原方程通解为原方程通解为特征根特征根是是二重特征根二重特征根.代入方程代入方程, 得得(二重二重) 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程21 综上所述综上所述, 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程22提示提示根椐线性微分方程的性质根椐线性微
9、分方程的性质, 可先求方程可先求方程和和的特解的特解, 两个解的和就是原方程的特解两个解的和就是原方程的特解.考研数学一考研数学一, 3分分 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程23考研数学二考研数学二, 4分分微分方程微分方程的特解形式可设为的特解形式可设为特征根特征根特征方程特征方程解解 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程24若二阶常系数线性齐次微分方程若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为的通解为 考研数学一考研数学一, 填空填空, 4分分所以所以,故故特征根特征根的解为的解为设特解为设特解为解解所以所以,所求所求则非齐则非齐次方程次方程 满足条
10、件满足条件 特征方程特征方程微分方程微分方程为为得得特解特解得得所以所以, 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程25考研数学考研数学(二二)选择选择, 4分分函数函数满足的一个微分满足的一个微分方程是方程是定理定理5.35.3与与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(2)的的通解通解.的通解的通解, 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程26考研数学考研数学(一一)填空填空, 3分分(C1, C2为任意常数为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解, 则微分则微分方程为方程为解解由所给通解的表达式知由所给通解的表达式知,是所求是所求由微分方程的特征方程的根由微分方程的特征方程的根,于是特征方程为于是特征方程为故所求微分方程为故所求微分方程为 5.8 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程27作作 业业习题习题5.8(1935.8(193页页) )
