计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术课件

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1、 计计 算算 机机 图图 形形 学学Computer Graphics王汝王汝传传 W南京邮电学院计算机科学与技术系南京邮电学院计算机科学与技术系1计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 第五章第五章 目录目录 第五章第五章 三三维图形生成和变换技术维图形生成和变换技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三维图形的变换三维图形的变换 5.4 5.4 三维图形剪裁和消隐三维图形剪裁和消隐 2计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术第五章第五章三维图形生成和变换技术三维图形生成和变换技术 第五章第五章 三维图形生成和变换技

2、术三维图形生成和变换技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三维图形变换三维图形变换 5.4 5.4 三维图形剪裁和消隐技术三维图形剪裁和消隐技术 5.15.1三维图形的概念三维图形的概念 在在第第二二章章我我们们已已讨讨论论过过坐坐标标系系统统的的世世界界坐坐标标系系、规规范范坐坐标标系系和和设设备备坐坐标标系系三三种种坐坐标标系系。坐坐标标系系统统确确定定之之后后，需需要要使使用用不不同同的的绘绘图图元元素素来来描描述述图图形形，它它们们是是点点、直直线线、曲线和其他基本的图形元素。曲线和其他基本的图形元素。 3计算

3、机图形学第五章三维图形生成和变换技术 在计算机图形学研究中，三维图形概念有几种在计算机图形学研究中，三维图形概念有几种: :1 1、是采用线框图构成的三维图形，这是最基本、最简单、是采用线框图构成的三维图形，这是最基本、最简单的，它实际上是在二维屏幕上展示的具有三维视觉效果的，它实际上是在二维屏幕上展示的具有三维视觉效果的图形；的图形；2 2、三维实体图形，它是采用各种颜色图案、纹理等填充、三维实体图形，它是采用各种颜色图案、纹理等填充过的图形，在视觉上也具有三维效果；过的图形，在视觉上也具有三维效果；3 3、三维立体图形，它借助于光照、浓淡和明暗技术，产、三维立体图形，它借助于光照、浓淡和明

4、暗技术，产生了真正的三维立体效果。这些三维图形都是我们在计生了真正的三维立体效果。这些三维图形都是我们在计算机图形学中要研究和予以实现的内容。算机图形学中要研究和予以实现的内容。 4计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 三三维维图图形形的的应应用用可可以以根根据据所所处处理理的的图图形形是是一一个个真真实实的的物物体体，还还是是一一个个设设计计的的新新物物体体类类型型来来分分类类。我我们们可可以以通通过过对对一一个个三三维维空空间间物物体体进进行行近近似似的的描描述述，采采用用该该描描述述数数据据构构造造相相应应的的三三维维图图形形。例例如如，将将立立方方体体图图形形描描述述成成线线框框结

5、结构构或或者者平平面面集集合合，或或者者说说明明成成曲曲线线、曲曲面面表表示示等等, ,也也可可以以通通过过构构造造和和变变换换产产生生新新的的图图形形和和物物体体，以以组组成成新新的的三三维维空空间间形形状状，这这在在计计算算机机和和辅辅助助设设计计中中应应用用很很广广。例例如如，汽汽车车和和飞飞机机的的主主体体就就是是通通过过表表面面图图形形的的各各种种拼拼接接及及安安排排。直直至至达达到到某某些些设设计计指指标标。无无论论何何种种应应用用，三三维维立立体体图图形形的的描描述述都都是是在在一一个个世世界界坐坐标标系系统统中中予予以以说说明明，然然后再映射到显示器或其它输出设备的二维坐标系统

6、上。后再映射到显示器或其它输出设备的二维坐标系统上。5计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术第五章第五章 三维图形生成和变换技术三维图形生成和变换技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三维图形变换三维图形变换 5.4 5.4 三维图形剪裁和消隐技术三维图形剪裁和消隐技术 5.2 5.2 自由曲面的生成自由曲面的生成一、概述一、概述 在在计计算算机机出出现现之之前前以以及及在在计计算算几几何何没没有有很很好好地地发发展展之之前前，一一些些工工程程实实际际中中应应用用的的复复杂杂自自由由曲曲面面，如如飞飞机机、船船舶舶、

7、汽汽车车等等几几何何外外形形的的描描述述以以及及地地形形形形状状的的表表示示，传传统统的的处处理理办办法法是是用用一一组组或或几几组组平平行行平平面面去去裁裁这这个个曲曲面面，画画出出几几组组截截交交线线来来表表示示这这个个曲曲面面。例例如如船船体体就就是是用用互互相相正正交交的的三三组组平平面面截截得得的的纵纵剖剖线线，横横剖剖线线和和水水平平线线表表示示；地地面面则则是是用用一一组组水水平平面面截截得得等等高高线线表表示示的的。这这实实际际上上是是把把曲曲面面问问题题转转化化成成了了曲曲线线问问题题。这这种种处处理理办办法法可可称称为为曲曲线网格表示法。线网格表示法。一组等高线一组等高线表

8、示地面表示地面6计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 正正是是利利用用这这些些曲曲线线网网格格来来近近似似地地表表示示自自由由曲曲面面，因因此此，在在产产生生一一张张曲曲面面时时，我我们们可可以以利利用用一一系系列列的的纵纵横横交交错且相互平行的样条曲线来构造曲面，如图所示。错且相互平行的样条曲线来构造曲面，如图所示。 我我们们如如何何确确定定这这张张曲曲面面上上任任意意一一点点位位置置呢呢？很很明明显显，如如果果这这点点恰恰好好落落在在某某一一条条网网格格线线上上，如如图图A A点点，那那么么就就可可以以根根据据这这条条网网格格线线函函数数表表示示来来计计算算这这一一点点位位置置（坐坐标

9、标）；若若这这一一点点不不在在任任何何网网格格线线上上，如如图图5.15.1中中的的B B点点，那那么么就就无无法法计计算算出出该该点点精精确确位位置置，只只能能用用离离该该点点最最近近一一条条网网格线上的点近似地表示。格线上的点近似地表示。图5.1 曲面的网格表示7计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 这这使使得得本本来来精精度度不不很很高高近近似似曲曲面面在在这这一一点点精精度度更更加加降降低低，所所以以用用这这种种方方法法来来产产生生曲曲面面只只适适合合于于一一部部分分精精度度要要求求不不太太高高场场合合，我我们们可可以以把把平平面面里里自自由由曲曲线线生生成成方方法法加加以以推推广

10、广，借借助助于于曲曲面面的的解解析析表表达达式式来来处处理理有有关关曲曲面面问问题。题。 曲曲面面的的种种类类繁繁多多，为为便便于于讨讨论论，将将曲曲面面分分为为两两类类，（1 1）规规则则曲曲面面：如如柱柱、锥锥、椭椭球球、环环、双双曲曲面面、抛抛物物面等，它可以用参数方程解析地描述。面等，它可以用参数方程解析地描述。（2 2）不不规规则则曲曲面面、如如CoonsCoons曲曲面面、BezierBezier曲曲面面、B B样样条条曲曲面面等等，这这是是构构造造某某种种曲曲面面方方程程问问题题，也也是是下下面面要要讨讨论论重点。重点。 8计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术二、空间曲面的参

11、数表示二、空间曲面的参数表示 在三维空间内一张任意曲面一段用两个参数曲面矢量在三维空间内一张任意曲面一段用两个参数曲面矢量 方程或参数方程表示，可以写成，方程或参数方程表示，可以写成，式中式中u u、v v为参数为参数 9计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术曲曲面面的的图图形形如如图图所所示示，曲曲面面有有两两族族参参数数曲曲线线，或或称称坐坐标标曲曲线线，通通常常简简称称u u线线和和v v线线。当当u u= =u ui i时时，代代人人式式（5151）得得上上式式中中是是曲曲面面上上一一条条参参数数曲曲线线r(ur(ui i, ,v)v)，即即一一条条v v线线。当当v=vv=vj j

12、时，代人式（时，代人式（5151）得）得, , 上上式式则则是是另另一一条条参参数数曲曲线线r r( (u u, ,v vj j) )，或或称称u u线线。上上述述两两条条参参数数曲曲线线r r( (u ui i, ,v v) )和和r r( (u u, ,v vj j) )的的交交点点则则是是r r( (u ui i, , v vj j) ) 。事事实实上上，用用u u= = u ui i, ,v v= =v vj j代代人人式式（5 5l l）也也得得到到曲曲面面上上同同一一点位置矢量点位置矢量r r( (u ui i, ,v vj j) ) 10计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术v

13、ur(ui,v)r(u,vj)r(ui,vj)11计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术例如，如图的平面片方程为：例如，如图的平面片方程为： 式式中中矢矢量量r r0 0为为平平面面上上一一点点的的位位置置矢矢量量，a a和和b b为为常常矢矢量量，且且a a不平行于不平行于b b，该平面片是由矢量该平面片是由矢量a a和和b b张成的四边形。张成的四边形。 r(u,v)12计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术图5.4 柱面又又例例如如，如如图图5.45.4所所示示，以以固固定定方方向向长长度度为为a a的的直直线线段段作作为为母母线线沿沿给给定定一一条条空空间间曲曲线线r r1 1 （

14、u u）移移动动生生成成一一个个柱柱面面，其方程为其方程为 式中式中a a是沿母线方向的常矢量。是沿母线方向的常矢量。 ar1(u)13计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术二、二、Bezier(Bezier(贝塞尔）曲面贝塞尔）曲面 如如前前所所述述，BezierBezier曲曲线线是是一一条条与与控控制制多多边边形形顶顶点点位位置置有有严严格格的的相相关关联联关关系系的的曲曲线线，BezierBezier曲曲线线形形状状趋趋向向于于特征多边形形状，阶次由控制多边形顶点个数来决定。特征多边形形状，阶次由控制多边形顶点个数来决定。BezierBezier曲曲 面面 是是 由由 BezierB

15、ezier曲曲 线线 拓拓 广广 而而 来来 ， 它它 也也 是是 以以BernsteinBernstein函函数数作作为为基基函函数数，可可以以构构造造由由空空间间点点阵阵列列的的位位置来控制曲面。置来控制曲面。 P0P1P2P3由四个数据点由四个数据点控制的三次贝控制的三次贝塞尔曲线塞尔曲线14计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术1 1、贝塞尔曲面的数学表达式、贝塞尔曲面的数学表达式 在在三三维维空空间间里里，给给定定( (n nl)(l)(m m+1)+1)个个点点的的空空间间点点到到P Pijij（i=0i=0，lnln；j=0j=0，11m m），），称称n nm m次参数曲面：

16、次参数曲面：为为 n nm m 次次 BezierBezier曲面。曲面。 P Pijij是的控制顶点，和为是的控制顶点，和为BernsteinBernstein基函数，具体表示为：基函数，具体表示为： 15计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 如如果果用用一一系系列列直直线线段段将将相相邻邻的的点点P Pi0i0，P Pi1i1P Pimim(i=0(i=0，1n)1n)和和P P0j0j，P P1j1jP Pnjnj(j=0(j=0，l l，m m)一一连连接接起起来来组组成成一一张张空空间间网网格格，称称这这张张网网络络为为mnmn次次曲曲面面特特征征网网格格，如如图图所示。所示。

17、类类似似于于BezierBezier曲曲线线情情况况，特特征征网网格格框框定定了了P(P(u,vu,v) )的的大致形状；大致形状；P(P(u,vu,v) )是对特征网格的逼近。是对特征网格的逼近。p00p10p20p30p31p21p11p01p32p22p12p02p33p23p13p033*33*3次的特次的特征曲面网格征曲面网格16计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术2 2、贝塞尔曲面的性质、贝塞尔曲面的性质 BezierBezier曲面有类似于曲面有类似于BezierBezier曲线的性质。曲线的性质。 （l l）端点位置端点位置由于由于 P P0000= =P P(0,0) (

18、0,0) P P0m0m= =P P(0,1)(0,1) P Pn0n0= =P P(1,0) (1,0) P Pnmnm= =P P(1,1)(1,1)说明说明P P0000、P P0m0m、P Pn0n0、P Pnmnm是曲面是曲面P P( (u,vu,v) )的四个端点，见图的四个端点，见图 p00p30p03p3317计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 （2 2）边界线位置）边界线位置BezierBezier曲曲面面的的四四条条边边界界线线P P(0,v)(0,v)、P P(u,0)(u,0)、P P(1,v)(1,v)、P P(u,1)(u,1)分分 别别 是是 以以P P00

19、00P P0101P P0202P P0m0m、P P0000P P1010P P2020P Pn0n0、P Pn0n0P Pn1n1 P Pn2n2P Pn nm m和和P P0m0mP P1m1mP P2m2mP Pnmnm为为控控制制多多边边形形的的BezierBezier曲曲线线，见见图。图。18计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术（3 3）端点的切平面）端点的切平面 由由计计算算易易知知，三三角角P P0000P P1010P P0101、P P0n0nP P1m1mP P0 0，m-1m-1、P PnmnmP Pn-1,mn-1,mP Pn,m-1n,m-1和和P Pn0n0P

20、 Pn-1,0n-1,0P Pn1n1( (图图5.65.6中中打打上上斜斜线线三三角角形形) )所所在在的的平平面面分分别别在点在点P P0000、P P0m0m和和P Pn0n0与曲面与曲面P P( (u,vu,v) )相切。相切。 p00p30p03p3319计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术（4 4）凸包性）凸包性 曲曲面面P P( (u,vu,v) )位位于于其其控控制制顶顶点点P Pijij（i=0i=0，l l，22n n；j=0j=0，1 1，22m m）的凸包内。的凸包内。（5 5）几何不变性）几何不变性曲面曲面P P( (u,vu,v) )的形状和位置与坐标系选择无关

21、，仅和点的形状和位置与坐标系选择无关，仅和点P P0000、P P0101、P Pnmnm位置有关。位置有关。 20计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术3.3.几个低次的贝塞尔曲线几个低次的贝塞尔曲线 (1) (1)双一次双一次BezierBezier曲面曲面当当n n= =m m=1=1时，得双一次时，得双一次BezierBezier曲面曲面, ,给定给定( (n n1)(1)(m m+1) =22=4+1) =22=4个控制点：个控制点：P P0000、P P0101、P P1010、P P1111。 21计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 其其图图形形表表示示如如图图所所示示，

22、可可以以证证明明它它是是一一个个双双曲曲抛抛物物面面（马鞍面）上的一块曲面片。（马鞍面）上的一块曲面片。 22计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术在上式中，当在上式中，当u u=0=0和和u u=1=1时，得到的两条边界为直线段；时，得到的两条边界为直线段；同样，当同样，当v v=0=0和和v v=1=1时，得到两条也是直线段。时，得到两条也是直线段。所以双一次所以双一次BezierBezier曲面由四条直线段包围而成。曲面由四条直线段包围而成。23计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 (2) (2)双二次双二次BezierBezier曲面曲面当当n n= =m m=2=2时，得双二次

23、时，得双二次BezierBezier曲面曲面, ,给定给定( (n n1)(1)(m m+1) =33=9+1) =33=9个控制点：个控制点：P P0000、P P0101、P P0202、P P1010、P P1111、P P1212、P P2020 、P P2121 、P P2222。24计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术当当u u取定值时，是关于取定值时，是关于v v的二次参数曲线，是抛物线；的二次参数曲线，是抛物线；当当v v取定值时，是关于取定值时，是关于u u的二次参数曲线。的二次参数曲线。当当u u=0=0和和u u=1=1时，两条边界是抛物线段；时，两条边界是抛物线段；

24、25计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术同理，当同理，当v v=0=0和和v v=1=1时，另外两条边界是抛物线段。时，另外两条边界是抛物线段。所以双二次所以双二次BezierBezier曲面由四条抛物线段包围而成。显然，曲面由四条抛物线段包围而成。显然，中间的一个顶点的变化对边界曲线不产生影响，这意味着中间的一个顶点的变化对边界曲线不产生影响，这意味着在周边八点不变的情况下，适当选择中心顶点的位置可以在周边八点不变的情况下，适当选择中心顶点的位置可以控制曲面凹凸，这种控制方式是极其直观的，而且极其简控制曲面凹凸，这种控制方式是极其直观的，而且极其简易。易。 26计算机图形学第五章三维图形

25、生成和变换技术（3 3）双三次贝塞尔曲线）双三次贝塞尔曲线4 4、贝塞尔曲线的拼接、贝塞尔曲线的拼接27计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术三、三、B B样条曲面（略）样条曲面（略）28计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术四、四、CoonsCoons（孔斯）曲面孔斯）曲面 Coons Coons曲面是曲面是19641964年由孔斯（年由孔斯（coons)coons)提出的构造曲面的提出的构造曲面的方法，这种方法的基本思想是将任意复杂的曲面分割成若方法，这种方法的基本思想是将任意复杂的曲面分割成若干小块，而每小块用参数方程来描述，即用四条边界曲线干小块，而每小块用参数方程来描述，即用四条

26、边界曲线来定义，再通过适当地选择块与块之间的连接条件，使边来定义，再通过适当地选择块与块之间的连接条件，使边界上一阶导数和二阶导数连续，最后获得整个曲面。界上一阶导数和二阶导数连续，最后获得整个曲面。 29计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术1 1、混合函数、混合函数（1 1）定义定义 Coons Coons在他所研究的孔斯曲面中，定义了四个一元三次在他所研究的孔斯曲面中，定义了四个一元三次函数函数 F Fo o（u u），），F F1 1（u u），），G G0 0（u u），），G G1 1（u u），），它们的功能它们的功能是用四条给定的边界曲线生成一张曲面。是用四条给定的边界曲线生

27、成一张曲面。 定义在区间定义在区间0 0， l l上四个三次函数上四个三次函数 30计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术（2 2）混合函数性质）混合函数性质我们构造这样一段曲线我们构造这样一段曲线P P（u u），），来理解这四个混合函数的来理解这四个混合函数的功能。若要求功能。若要求u=0u=0时时P P（0 0）=A=A0 0且且u u0 0处切向量处切向量P(0)=BP(0)=B0 0u=1u=1时，时，P(1)P(1)A A1 1，且且u ul l处的切向量处的切向量P(1)=BP(1)=B1 1。显然，根据上述四个一元三次函数显然，根据上述四个一元三次函数F F0 0(u)(u)

28、，F F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)的端点性质，我们很容易得到的端点性质，我们很容易得到 31计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 由此我们可以看出四个函数由此我们可以看出四个函数F F0 0(u),F(u),F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u) 在在P P（u u）的表示中所起作用：的表示中所起作用： F F0 0(u)(u)，F F1 1(u)(u)和用于控制两个端点（和用于控制两个端点（x x0 0）和（和（x=1x=1）的函数值，的函数值， G G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)而和却用来控制

29、两个端点（而和却用来控制两个端点（x x 0 0）和（和（x x l l）的切向量。的切向量。 正是由于正是由于F F0 0(u)(u)，F F1 1(u),G(u),G0 0(u),G(u),G1 1(u)(u)和的上述作用，使和的上述作用，使得它们被用来定义双三次得它们被用来定义双三次CoonsCoons曲面。曲面。 32计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术2 2、双三次、双三次CoonsCoons曲面曲面 Coons Coons曲面有几种类型，双三次曲面是其中最有实用曲面有几种类型，双三次曲面是其中最有实用价值的一种。在几何造型计算中使用的价值的一种。在几何造型计算中使用的coons

30、coons曲面，都是曲面，都是这种双三次曲面。双三次这种双三次曲面。双三次coonscoons曲面是定义在一个单位区曲面是定义在一个单位区域域R R0 0上，并用向量方式表示的双参数向量方程。上，并用向量方式表示的双参数向量方程。 设两个参数分别用设两个参数分别用u u和和v v表示，则空间曲面上任意一点表示，则空间曲面上任意一点用向量用向量P P可表示为，其分量形式为：可表示为，其分量形式为：其中参数其中参数u u，v v的定义域为单位区域的定义域为单位区域R R0 0上的值，即上的值，即 33计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术（1 1）CoonsCoons简洁符号简洁符号为了研究方便

31、，运算简洁，为了研究方便，运算简洁，CoonsCoons提出了一套表示参数曲提出了一套表示参数曲面的简洁符号。在面的简洁符号。在CoonsCoons记号中，参数记号中，参数u u和和v v之间的逗号以之间的逗号以及矢量的各分量之间的逗号都省略掉。当仅在讨论一张曲及矢量的各分量之间的逗号都省略掉。当仅在讨论一张曲面时，向量函数面时，向量函数P(u,v)P(u,v)前面字母前面字母P P连同其后圆括号也一起连同其后圆括号也一起省略掉。符号省略掉。符号u u0 0, ,u ul l,0,0v v,1,1v v分别表示曲面的四条边界曲线，分别表示曲面的四条边界曲线，曲面的四个角点则简记为曲面的四个角点

32、则简记为00,01,10,1100,01,10,11，如图所示。，如图所示。 00111001u0u11v0v34计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术曲面的偏导向量的记号是：曲面的偏导向量的记号是：其中。分别其中。分别0 0v vu u,1v,1vu u,u0,u0v v,u1,u1v v为边界为边界0 0v v,1,1v v, ,u u0 0和和u u1 1上的斜率。上的斜率。0000u u,01,01u u,10,10u u和和1111u u，是在四个角点是在四个角点u u向切矢；向切矢；0000v v,01,01v v,10,10v v和和1111v v。是在四个角点是在四个角点v

33、v向切矢；向切矢； 00 00uvuv,01,01uvuv,10,10uvuv和和1111uvuv是四个角点混合偏导，又称扭矢。是四个角点混合偏导，又称扭矢。 35计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术(2)(2)CoonsCoons曲面定义曲面定义 由式（由式（5 52 2），我们得到四个混合函数的矩阵，表示），我们得到四个混合函数的矩阵，表示形式如下：形式如下： 36计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术37计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 根据点动生线、线动生面的几何原理，把根据点动生线、线动生面的几何原理，把U U和和V V取作两取作两个独立参数，即得一张个独立参数，即得一

34、张CoonsCoons双三次曲面片，其数学表达双三次曲面片，其数学表达式如下：式如下： 式中式中C C称为角点信息矩阵。称为角点信息矩阵。其中前三组信息可以完全决定四边边界曲线位置的形状，而第其中前三组信息可以完全决定四边边界曲线位置的形状，而第四组与四条边界曲线形状无关，反映四组与四条边界曲线形状无关，反映R R0 0的内部曲面形状变化。的内部曲面形状变化。 这里角点信息这里角点信息矩阵矩阵C C元素可以元素可以分成四组，分成四组，其左上角一块代表四个角点位其左上角一块代表四个角点位置矢量，右上角和左下角表示置矢量，右上角和左下角表示边界曲线在角点边界曲线在角点v v方向和方向和u u方向方

35、向切矢量，右下角是四个角点混切矢量，右下角是四个角点混合偏导数，表示角点扭矢，合偏导数，表示角点扭矢，38计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术由由此此可可看看出出，通通过过选选择择四四条条边边界界曲曲线线就就可可求求出出CoonsCoons曲曲面面，贝贝塞塞尔尔曲曲面面通通过过给给出出若若干干个个控控制制点点来来构构造造曲曲面面，而而CoonsCoons曲面通过给定四条边界线来构造曲面。曲面通过给定四条边界线来构造曲面。39计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术第五章第五章 三维图形生成和变换技术三维图形生成和变换技术 5.1 5.1 三维图形的概念三维图形的概念 5.2 5.2 自由曲

36、面的生成自由曲面的生成 5.3 5.3 三维图形变换三维图形变换 5.4 5.4 三维图形剪裁和消隐技术三维图形剪裁和消隐技术 5 5、3 3 三维图形变换三维图形变换 在二维图形变换的讨论中已经提出了齐次坐标表示法，即在二维图形变换的讨论中已经提出了齐次坐标表示法，即n n维空间的点用维空间的点用n nl l个数表示。因此，对于三维空间点需要个数表示。因此，对于三维空间点需要用用4 4个数来表示，而相应的变换矩阵个数来表示，而相应的变换矩阵4444阶矩阵。阶矩阵。 如果用如果用 表示变换前三维空间的一个点，表示变换前三维空间的一个点，用用 表示变换后结果，则空间点的变换式为：表示变换后结果，

37、则空间点的变换式为： 40计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术式中式中 T T为三维图形变换矩阵它是一个阶方阵，即：为三维图形变换矩阵它是一个阶方阵，即： 41计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术一、三维图形几何变换一、三维图形几何变换 下下面面介介绍绍三三维维图图形形的的变变换换，为为了了表表示示清清楚楚三三维维空空间间点点或或立立体体位位置置，我我们们选选择择右右手手坐坐标标系系，即即右右手手的的食食指指和和中中指指分分别别指指向向X X和和Y Y轴轴方方向向；而而大大姆姆指指指指向向Z Z轴轴的的正正方方向向，三三个个轴轴互相垂直。互相垂直。 三三维维几几何何变变换换和和二二维维

38、几几何何变变换换类类似似，通通过过改改变变变变换换矩矩阵阵中不同元素值实现不同变换。中不同元素值实现不同变换。 42计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术1 1三维比例变换三维比例变换关于原点的比例变换的变换矩阵为：关于原点的比例变换的变换矩阵为： 主主对对角角线线上上元元素素a,e,i,sa,e,i,s的的作作用用是是使使空空间间立立体体产产生生局局部部或或总体比例变换。总体比例变换。（l l）局部比例变换局部比例变换在在3*33*3子子矩矩阵阵中中主主对对角角线线上上元元素素a,e,ia,e,i控控制制比比例例变变换换，令令其其余元素为零，则空间立体点（余元素为零，则空间立体点（x x，

39、y y，z z）的比例变换为：的比例变换为： 43计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术由由此此可可知知，空空间间点点坐坐标标分分别别按按比比例例系系数数a,e,ia,e,i进进行行变变换换，可使整个图形按比例放大或缩小。可使整个图形按比例放大或缩小。 当当a ae ei i1 1时，图形不变，是恒等变换；时，图形不变，是恒等变换；当当a ae ei i1 1时，图形放大时，图形放大; ;当当a ae ej j1 1时，图形缩小时，图形缩小; ;当当a ae ei i时时，立立体体各各向向缩缩放放比比例例不不同同，这这时时立立体体要要产产生生类似变化。类似变化。 44计算机图形学第五章三维图

40、形生成和变换技术45计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术（2 2）全比例变换）全比例变换全比例变换矩阵为：全比例变换矩阵为：由此可知：由此可知：当当s s1 1时，则立体各方向等比例缩小；时，则立体各方向等比例缩小； 当当0 0s s1 1对，则立体各方向等比例放大。对，则立体各方向等比例放大。 46计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术2 2三维平移交换三维平移交换平移变换是使立体在空间平移一段距离而形状和大小保持平移变换是使立体在空间平移一段距离而形状和大小保持不变。变换矩阵为：不变。变换矩阵为：l,m,nl,m,n分别为沿分别为沿 X X，Y Y，Z Z轴方向的平移量，由它们的正负

41、轴方向的平移量，由它们的正负来决定立体平移方向。来决定立体平移方向。 47计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术例例5.3 5.3 设设变变换换矩矩阵阵中中l l3,3,m m=3,=3,n n3 3，试试对对单单位位立立体体进进行行平移变换。平移变换。 48计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 3 3三维对称变换三维对称变换在在三三维维空空间间最最简简单单的的对对称称变变换换是是对对称称于于坐坐标标平平面面的的变变换换。空空间间一一点点对对XOYXOY坐坐标标面面对对称称变变换换时时，点点的的（x x，y y）坐标不变，只改变坐标不变，只改变z z的正负号。因此，其变换矩阵为：的正负号

42、。因此，其变换矩阵为：变换结果如图所示。变换结果如图所示。 图5.20 对XOY平面的对称变换49计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术同同理理，对对XOZXOZ坐坐标标的的对对称称变变换换矩矩阵阵和和对对YOZYOZ坐坐标标面面的的对对称称变变换矩阵分别为：换矩阵分别为： 50计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术4 4三维错切变换三维错切变换三三维维立立体体的的某某个个面面沿沿指指定定轴轴向向移移动动属属于于三三维维错错切切，三三维维错错切切是是由由子子矩矩阵阵中中非非主主对对角角线线元元素素各各项项产产生生的的，其其变变换换矩矩阵阵为：为：变换结果为：变换结果为： 51计算机图形学第

43、五章三维图形生成和变换技术 T T中中第第一一列列元元素素d d和和g g产产生生沿沿X X轴轴方方向向错错切切，第第二二列列元元素素b b和和h h产产生生沿沿Y Y轴轴方方向向错错切切，第第三三列列元元素素c c和和f f产产生生沿沿Z Z轴轴方方向向错错切切。错错切切变变换换时时，一一个个坐坐标标方方向向的的变变化化受受另另外外两两个个坐坐标标变化的影响，因此，按错切方向不同可实现变化的影响，因此，按错切方向不同可实现6 6种错切变换。种错切变换。 具体见书具体见书P184P184如如5.5.l l。 52计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 5 5三维旋转变换三维旋转变换 三三维维

44、旋旋转转变变换换是是指指空空间间立立体体绕绕坐坐标标轴轴旋旋转转角角，正正负负按按右右手手定定则则确确定定，即即右右手手姆姆指指指指向向转转轴轴正正向向，其其余余4 4个个手手指指指向便是指向便是角正角。角正角。 旋旋转转变变换换前前后后立立体体的的大大小小和和形形状状不不发发生生变变化化，只只是是空空间间位位置置相相对对原原位位置置发发生生了了变变化化。当当空空间间立立体体绕绕某某一一坐坐标标轴轴旋旋转转时时，立立体体上上各各点点在在此此轴轴坐坐标标值值不不变变，而而在在该该坐坐标标轴轴所所垂垂直直的的另另两两坐坐标标轴轴所所组组成成的的坐坐标标面面上上的的坐坐标标值值相相当当于于一一个个二

45、维的旋转变换。二维的旋转变换。 具体见书具体见书P185P18553计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术6 6 三维组合变换三维组合变换上上面面我我们们讨讨论论的的三三维维图图形形变变换换中中的的变变换换矩矩阵阵是是针针对对原原点点或或者者坐坐标标轴轴的的，如如果果要要针针对对任任意意一一个个参参考考点点，或或者者针针对对空空间间中中任任意意一一条条直直线线（轴轴）、任任意意一一个个平平面面来来进进行行变变换换，则则前前述述的的变变换换矩矩阵阵就就不不能能直直接接使使用用。对对于于上上述述情情况况就就需需要要进进行行三维图形的组合变换。三维图形的组合变换。具体见书具体见书P186P1865

46、4计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术二、二、 三维图形平行投影交换三维图形平行投影交换 通通常常图图形形输输出出设设备备（显显示示器器、绘绘图图仪仪等等）都都是是二二维维的的，用用这这些些二二维维设设备备来来输输出出三三维维图图形形，就就得得把把三三维维坐坐标标系系下下图图形形上上各各点点的的坐坐标标转转化化为为某某一一平平面面坐坐标标系系下下的的二二维维坐坐标标，也也就就是是将将（x x，y y，z z）变变换换为为（xx，yy）或或（xx，zz）或或（yy，zz）。这这种种把把三三维维物物体体用用二二维维图图形形表表示示的的过过程程称称为为三三维维投投影影变变换换。这这种种变变换换方

47、方式式有有很很多多种种，在在实实际际中中，根根据据不不同同目目的的或或需需要要而而采采用用不同的变换方式。不同的变换方式。55计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术三维投影变换大致分类如图所示。三维投影变换大致分类如图所示。56计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 平平行行投投影影是是将将物物体体上上所所有有点点都都沿沿着着一一组组平平行行线线投投影影到到投投影影平平面面，而而透透视视投投影影是是所所有有点点沿沿着着一一组组汇汇聚聚到到一一个个称称为为投投影中心的位置的线进行投影，两种方法如图所示。影中心的位置的线进行投影，两种方法如图所示。57计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术1

48、 1正平行投影变换正平行投影变换 投影方向垂直于投影平面时称正平行投影。投影方向垂直于投影平面时称正平行投影。 （l l）正投影变换正投影变换 在在工工程程上上将将三三维维坐坐标标系系OXYZOXYZ中中的的三三个个坐坐标标平平面面分分别别为为H H面面（XOYXOY平平面面）、V V面面（XOZXOZ平平面面）和和W W面面（YOZYOZ平平面面）。如如图所示。图所示。 58计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 所所谓谓正正投投影影就就是是三三维维图图形形上上各各点点分分别别向向某某一一坐坐标标平平面面作作垂垂线线，其其垂垂足足便便称称为为该该三三维维点点投投影影点点，将将所所有有投投影

49、影点点按按原原三三维维图图形形中中点点与与点点之之间间的的对对应应关关系系一一连连起起来来便便得得到到了了一一平平面面图图形形，这这一一平平面面图图形形称称为为三三维维图图形形在在该该平平面面上正投影。上正投影。 如如图图所所示示。在在V V面面上上的的投投影影图图形形称称主主视视图图，在在H H面面上上的的投影图形称俯视图，在投影图形称俯视图，在W W面上的投影图形称侧视图。面上的投影图形称侧视图。 59计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术正面（正面（V V面）投影主视图变换面）投影主视图变换 正正面面投投影影是是物物体体在在XOZXOZ平平面面上上的的投投影影，使使物物体体的的y y坐

50、坐标标都等于零，都等于零，x x和和z z坐标不变，其变换矩阵是：坐标不变，其变换矩阵是： 60计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 水平面（水平面（H H面）投影俯视图变换面）投影俯视图变换 水平面投影是物体在水平面投影是物体在XOYXOY平面上投影，使物体的平面上投影，使物体的z z坐标都坐标都等于零，等于零，x x和和y y坐标不变，其变换矩阵是：坐标不变，其变换矩阵是： 61计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 侧面（侧面（ W W面）投影侧视图变换面）投影侧视图变换 侧面投影是物体在侧面投影是物体在YOZYOZ平面上投影，使物体的平面上投影，使物体的x x坐标都坐标都等于零，

51、等于零，y y和和z z坐标不变，其变换矩阵是坐标不变，其变换矩阵是 62计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术 三视图三视图 上上面面投投影影后后的的三三面面投投影影图图仍仍位位于于空空间间，根根据据工工程程中中规规定定还还须须将将V V面面，H H面面，和和W W面面上上得得到到的的三三个个正正投投影影以以一一定定方方式式展展平平在在同同一一平平面面上上而而得得到到三三个个视视图图，习习惯惯上上是是放放在在V V面面上。上。 为了在为了在V V面上构成三视图，使面上构成三视图，使V V面上投影保持不变，而面上投影保持不变，而使使H H面上正投影绕面上正投影绕X X轴逆转轴逆转9090到到V V面，为了防止与原面，为了防止与原V V面面上投影发生拥挤现象，再让它向轴方向平移一段距离上投影发生拥挤现象，再让它向轴方向平移一段距离n n。同样，使同样，使w w面上正投影绕面上正投影绕Z Z轴正转轴正转9090，再向方向移一段，再向方向移一段距离距离l l。 具体变换矩阵见书具体变换矩阵见书P192P19263计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术谢谢大家！谢谢大家！64计算机图形学第五章三维图形生成和变换技术