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1、第五章第五章 留数留数n5.1 孤立奇点孤立奇点n如果函数 虽在 不解析，但在 的某一去心邻域 内处处解析，那末 称为 的孤立奇点。n例例：函数 都以 为孤立奇点。n如果在 的任意小的邻域内总有 的其它奇点存在，则 不是 的孤立奇点。n例：例：考察函数 。n 是它的一个奇点，除此之外， 或 也都是它的奇点，当 的绝对值逐渐增大时， 可任意接近 ，也就是说，在 的不论怎样小的去心邻域内总有 的奇点存在，所以 不是 的孤立奇点。n孤立奇点分为可去奇点，极点和本性奇点。n4.1.1 可去奇点可去奇点n如果 在 的洛朗级数中不含 的负幂项，则称孤立奇点 是 的可去奇点。n例例： 以 为孤立奇点，其洛朗
2、展开式为n式中不含 的负幂项，是可去奇点，且 ，若 在 点无定义或不等于1，则只要重新定义 处的函数值，使其等于1，奇点就可去， 就在 解析了。n5.1.2 极点极点n如果 在 的洛朗级数中只有 的有限个负幂项，则称孤立奇点 是 极点。若负幂的最高项为 ，则称 为 级极点。此时函数 可表示为n (5.1.1)n其中， 在 内是解析的函数，且 ，反过来，当任何一个函数 能表示成上式的形式，且 时，那末 是 的m级奇点。n如果 为 的极点，由(5.1.1)式，就有n 或写作n例：对有理分式函数 来说，n 是它的一个三级极点， 都是它的一级极点。n5.1.3 本性奇点本性奇点n如果 在 的洛朗级数中
3、含有 的无穷多个负幂项，则称孤立奇点 为 的本性奇点n例例：函数 以 为它的本性奇点，因为在级数 中含有无穷多个 的负幂项。n在本性奇点的邻域内， 具有以下性质：n（维尔斯特拉斯定理）（维尔斯特拉斯定理）若 是 的本性奇点，则对于任一复数 及任给的 ，任意的 ，在区域 ，必存在一点 ，使得 。n推论：推论：在任意一个圆环域 中，必存在序列 ，使 。n综上所述，如果 为 的可去奇点，那末 存在且有限；如果 为 的极点，那末 ；如果 为 的本性奇点，那末 不存在也不为 。n5.1.4 函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系n不恒等于零的解析函数 若能表示为n其中 在 解析，且 ，m为一正整数
4、，则称 为 的m级零点。n若 在 解析，则 为 的m级零点的充要条件是 n一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。n定理定理 若 是 的m级极点，则 是 的m级零点，反之也成立。这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法。例例1 函数 有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。解：解：函数 的奇点显然是使 的点，这些奇点是 ，很明显它们是孤立奇点，由于所以 都是 的一级零点，也就是 的一级极点。n例例2 设函数 和 分别以 为n级极点及m级极点（ ），则 是下列函数的什么奇点？n（1） ；n（2） ；n（3）n例例3 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。n（1） ； （2） ；n（3
5、） ； （4） ；n（5） ； （6） ； n解解：1） 为奇点，0是一级极点， n是二级极点。n2） 是奇点，是二级极点（分母是三级零点，分子是一级零点）。n3） 是奇点，1是二级极点，1是一级极点。n4） 是奇点，是可去奇点。n5） 是本性奇点。n6） 是奇点， 是二级极点， 是一级极点。n5.1.5函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态n如果 在无穷远点 的去心邻域 内解析，则称 是 的孤立奇点。n作变换 规定把扩充 平面上的无穷远点n 映射为扩充 平面上的点 ），把扩充 平面上的邻域 映射成扩充 平面上的去心邻域 ，且有 ，于是，可以把在 去心邻域 上对 的研究化为在 内对 的研究。
6、 n（1）如果 是 的可去奇点、m级极点或本性奇点，则 是 的可去奇点，m级极点或本性奇点。n（2）若 在 内可以展开为洛朗级数，那么我们有如下结论：n1）如果在洛朗级数中不含正幂项，则 为 可去奇点。 n2）如果在洛朗级数中含有限个正幂项，则 为 的极点。n3）如果在洛朗级数中含无穷多个正幂项，则 为 的本性奇点。n例：例：1）函数 在圆环域 内可以展开成 它不含正幂项，所以 是 的可去奇点。 n2）函数 含有正幂项，且 为最高正幂项，所以 为它的一级极点。n3）函数 的展开式： 含有无穷多的正幂项，所以 是它的本性奇点。n例例4：函数 在扩充平面内有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。 n
7、解：函数 除使分母为零的点 外，在 内解析，所有这些点中除去 外都是 的三级零点，从而都是 的三级极点n因 以1与1为一级零点，所以1与1是 的2级极点。n对于 ，因为 ， 所以 是 的可去奇点。n令 ，则原函数可化为 可知 使分母为零， 时， 所以 不是 的孤立奇点，也就是 不是 的孤立奇点。n5.2 留数留数n5.2.1 留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理n1. 定义定义 若 是解析函数 的一个孤立奇点， 在 的去心邻域内解析，C为 邻域内任一条简单闭曲线，则称 为 在 处的留数，记作 ，即 是 在以 为中心的圆环域内的洛朗级数中 项的系数。n2. 留数定理留数定理 设函数 在区域D
8、内除有限个孤立奇点 外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则n利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。n5.2.2留数的计算规则留数的计算规则n如果 是 的可去奇点，那末 n ；n如果 是本性奇点，则须把 在 展开成洛朗级数来求 ；n如果 是极点，则可根据以下规则来求 ：n规则规则1：若 是 的一级极点，有n规则规则2：若 是 的m级极点，有n规则规则3：当 ， 和 都在 解析，如果 ，则 为 的一级极点，且有例例1 计算下列积分，C为正向圆周 ： （1） ；（2） ；（3）解解：（1）被积函数有两个一级极点都在圆周 内，由规则1，可得n
9、因此n我们也可用规则3来求留数：n n（2）被积函数有四个一级极点 ，n都在圆周 内，由规则3可求得n（3） 为被积函数的一级极点， n为二级极点，所以据规则1和规则2可得例例2 求函数 在 处的留数。解：因为所以注意此题直接利用洛朗级数展开要比应用上述规则求留数相对简单一些。n5.2.3 在无穷远点的留数在无穷远点的留数n设函数 在圆环域 内解析，C为这圆环域内绕原点的任何一条简单正向闭曲线，则称积分 为 在无穷原点的留数，记作n定理定理2 如果函数 在扩充复平面内只有n有限个孤立奇点，那末 在所以各奇点（包括 点）的留数的总和必等于零。n规则规则4 n定理2和规则4为我们提供了计算函数沿闭
10、曲线积分的又一种方法。n例例3 计算积分 ，C为正向圆周：n解：函数 在 的外部，除 点外没有其它奇点，因此根据定理2与规则4，n例例5 计算积分 ，C为正向圆周：n解：除 外，被积函数的奇点是：n故 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。3 留数在定积分计算上的应用如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：1.
11、形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数. 令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.例1 计算 的值.解 由于0p1, 被积函数的分母在0q 2p内不为零, 因 而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点
12、, z=p为一级极点.例2 计算 的值.解：令例 3解：若函数 f(z)在上半平面除去z1z2z3yCR-RROx特别地，若f(z)是有理函数P(z)/Q(z)，Q(z)在实轴上无零点，且Q(z)的次数比P(z)大2，则上式成立。证明：略例 4例 5 解：z1z2z3yCR-RROx若函数 f(z)在上半平面除去也可写为证明：利用若当引理。如果在f(z)在实轴上取实值，分出实部和虚部得到特别地，若f(z)是实系数的有理函数P(z)/Q(z)，Q(z)在实轴上无零点，且Q(z)的次数比P(z)的次数至少大1，则上面各式成立。例6 计算 的值.解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai,例4 计算积分 的值.解 因为 是偶函数, 所以（Dirichlet积分，在研究阻尼振动中十分有用。） 为了使积分路线不通过原点, 取如下图所示的路线. 由柯西积分定理, 有CrCRyxO-rrR-R令x=-t, 则有因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限 证明(1)小圆弧引理（2）若当引理
