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1、函数单调性的判别法函数单调性的判别法单调区间求法单调区间求法第四节第四节 函数的单调性与极值函数的单调性与极值函数的函数的极值极值及其求法及其求法最大值最小值问题最大值最小值问题一、单调性的判别法一、单调性的判别法定理定理1证证 拉氏定理拉氏定理(1)(2) 此定理不论对于开、闭、有限或无穷此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确区间都正确.注注例例解解 定义域为定义域为注意注意 1 1、函数的单调性是一个区间上的性质，函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调用一点处的导数符号来判
2、别一个区间上的单调性性2 2、在、在函数连续的区间内，如果函数的驻点和函函数连续的区间内，如果函数的驻点和函数的导数不存在的点只是离散的、孤立的，并数的导数不存在的点只是离散的、孤立的，并不构成区间，而在其余各点处导数值保持同号，不构成区间，而在其余各点处导数值保持同号，则定理结论仍成立。则定理结论仍成立。区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,如如, ,注注不影响区间的单调性不影响区间的单调性.单调增加单调增加.又如又如, ,内可导内可导,且且等号只在等号只在(无穷多个离散点无穷多个离散点)处成立处成立, 故故内内单调增加单调增加.方法方法问题问题函数在
3、定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,但在各个但在各个定义定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数然后判定区间内导数的符号的符号.的的分界点分界点二、单调区间求法二、单调区间求法部分区间上单调部分区间上单调则该区间称为函数的单调区间则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间例例解解 定义域定义域单调递增区间为单调递增区间为单调递减区间为单调递减区间为例例解解单调递减区间为单调递减区间为定义域定义域单调递增区间为单调递增区间为例例解解可能分界点为：可能分界点为：单调
4、增区间为单调增区间为不存在单调减区间为单调减区间为例例证证例例证证 定不出符号定不出符号证证 只要证只要证令令则则所以所以即即有有得得思考题思考题1思考题思考题2证明不等式证明不等式证证 先证右边不等式先证右边不等式.设设单调减少单调减少,故有故有即即再证左边不等式再证左边不等式. (两种方法两种方法)定义定义极大值极大值 (或极小值或极小值), 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值.极值点极值点. .函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值三、函数的极值及其求法三、函数的极值及其求法1. 函数极值的定义函数极值的定义使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0(自
5、变量自变量)称为称为函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值 是是局部性局部性的的. 在一个区间内在一个区间内,函数可能存在许多个极值函数可能存在许多个极值,最大值与最小值最大值与最小值,有的极小值可能大有的极小值可能大于某个极大值于某个极大值.只是只是一点附近一点附近的的定理定理2 2( (必要条件必要条件) )注注如如, ,(1)驻点驻点. .可导函数可导函数的极值点的极值点驻点却不一定是极值点驻点却不一定是极值点.但函数的但函数的2. 极值的必要条件极值的必要条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值必是必是驻点驻点,费马引理费
6、马引理如果函数如果函数可导可导,处取得极值处取得极值, 那么那么极值极值,极值点也可能是导数不存在的点极值点也可能是导数不存在的点.如如, ,但但 怎样从怎样从驻点驻点中中与与导数不存在导数不存在的点判断一点的点判断一点单减的分界点单减的分界点,(2)不可导不可导.是极小值点是极小值点.是不是极值点是不是极值点若若 x0 是连续函数是连续函数 f(x) 单增、单增、则则 x0必为极值点必为极值点.几何上几何上,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值定理定理3(3(第一充分条件第一充分条件) )则则为为极大值极大值则则不是极值不是极值.(极小值极小值);极值的一阶充分条件极值的一阶充分
7、条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值3. 极值的充分条件极值的充分条件一般求极值的步骤一般求极值的步骤求导数求导数; 求驻点与不可导点求驻点与不可导点;求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性;求极值求极值.(1)(2)(3)(4)不是极值点不是极值点函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值例例解解(1)(2)驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:(3)列表列表.求相应区间的导数符号求相应区间的导数符号,判别增减性判别增减性,确定极值点和极值确定极值点和极值.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值非非极极值值极极小小值值不存在不存在极极
8、大大值值驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值单调增加区间单调增加区间:单调减少区间单调减少区间:定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件) )证证极大值极大值 (极小值极小值).极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件因此因此,当当充分小时充分小时,由极限的保号性由极限的保号性可见可见,与与异号异号.所以所以,第一充分条件第一充分条件 对于对于驻点驻点, ,有时还可以利用函数在该点有时还可以利用函数在该点处的处的二阶导数二阶导数的正负号来判断极值点的正负号来判断极值点. .自己证极小值情形自己证极小值情形.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大
9、值最大值例例解解因为因为,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值注注仍用第一充分条件仍用第一充分条件函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件) )不能不能应用应用. .事实上事实上, ,可能有极大值可能有极大值, ,也可能有极小值也可能有极小值, ,也可能没有极值也可能没有极值. .如如, ,分别属于上述三种情况分别属于上述三种情况. .充分条件来判定有无极值充分条件来判定有无极值;对于只有驻点而没有导数不存在的点对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值可用第二充分条件判断有无极值. 运用第一、第二充分条件需要注意
10、运用第一、第二充分条件需要注意:若函数有导数不存在的点时若函数有导数不存在的点时,则可用第一则可用第一(1)(2)则则函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值定理定理5 5极大极大 值值.(小小)如如, ,则则, ,函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值设设是方程是方程的一的一解解, ,若若且且则则在在(A) 取得极大值取得极大值(B) 取得极小值取得极小值(C) 在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加(D) 在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少提示提示得得A函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值利用方程利用方程, ,代入代入函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值
11、最大值四、最大值最小值问题四、最大值最小值问题1.1.最值的求法最值的求法步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大比较大小小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值那个小那个就是最小值;注意注意: :a)a)如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值则这个极值就是最值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值) 求连续函数求连续函数 f (x)在闭区间在闭区间a, b上的最大上的最大(小小)值的方法值的方法:b) f (x)在在 a, b上连续且单调，则在端点处取到最
12、值上连续且单调，则在端点处取到最值.例例解解 因因驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值仅需计算仅需计算:比较得比较得:因因是偶函数是偶函数,最大值最大值为为最小值最小值为为函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值解解驻点驻点:导数不存在的点导数不存在的点:最大值最大值最小值最小值最大值与最小值最大值与最小值.实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值(1) 建立目标函数建立目标函数;(2) 求最值求最值;若目标函数只有唯一驻点若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数则该点的函数值即为所求的最大值即为所求的最大(小小)值值.例例解解 如图如图,2. 应用举例应用举例解得解得唯一驻点唯一驻点令令因这样的面积有最大值因这样的面积有最大值,为所求为所求.为所有三角形中面积的最大值为所有三角形中面积的最大值.函数的极值与最大值最大值函数的极值与最大值最大值作业作业
