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1、高斯(Gauss)公式 通量与散度第四节 第十四章 一、高斯公式一、高斯公式二、哈米尔顿算符与拉普拉斯算符二、哈米尔顿算符与拉普拉斯算符三、通量与散度三、通量与散度一、一、高斯公式高斯公式推广推广定理定理10.7 设设是一空间闭区域是一空间闭区域, 其边界曲面其边界曲面 由由分片光滑的曲面组成分片光滑的曲面组成, 如果函数如果函数 P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在在上上具有一阶连续的偏导数具有一阶连续的偏导数, 那么那么Green 公式公式平面闭曲线平面闭曲线Gauss 公式公式空间闭曲面空间闭曲面或或其中其中表示表示的的边界曲面的外侧边界曲面的外侧. 方
2、向余弦方向余弦.高斯公式高斯公式证证 先证明第三项先证明第三项假设：假设：一方面，一方面，另一方面，另一方面，xyzO下两式也下两式也成立成立三式三式相加可得相加可得高斯公式高斯公式称为称为简单区域简单区域.若若 不是简单区域不是简单区域, ,则可引进辅助面将其分割则可引进辅助面将其分割成若干个简单区域成若干个简单区域, ,故故高斯公式仍成立高斯公式仍成立. .面正反两侧面积分面正反两侧面积分正正负负抵消抵消, ,在辅助在辅助1 高斯公式高斯公式表达了空间区域上的表达了空间区域上的三重积分三重积分与与注注其其边界曲面上的边界曲面上的曲面积分曲面积分之间的关系之间的关系. .2 高斯公式高斯公式
3、使用的使用的条件：条件： 封闭，封闭，外外侧侧 P，Q，R 在在 所围所围 闭区域闭区域 上有一阶连续偏导数上有一阶连续偏导数.(内内)+奇点：奇点： 所围闭区域所围闭区域 上，使上，使P, Q, R 没有没有一阶连续偏导数的点一阶连续偏导数的点.由由高斯公式可得空间立体的体积高斯公式可得空间立体的体积:例例1 1计算曲面积分计算曲面积分解解例例 2 计算曲面积分计算曲面积分解解-球面坐标球面坐标注意积分曲注意积分曲面的方向面的方向利用利用高斯高斯公式计算曲面积分公式计算曲面积分解解例例3 Dxy关于关于x奇函数奇函数关于关于yOz面对称面对称关于关于y奇函数奇函数关于关于zOx面对称面对称方
4、法方法1方法方法2Dxy例例4分析分析所以所以不能不能直接直接用高斯公式用高斯公式. .解解 (方法方法1) 变形后，用高斯公式变形后，用高斯公式.高斯公式高斯公式(方法方法2 ) 利用两类曲面积分的关系利用两类曲面积分的关系.例例 5解解补补xyzO能能否否直接直接用高斯公式？用高斯公式？ 否！否！ 1 变形变形:xyzO 1 xyzO 1 xyzO 1 二、哈密尔顿算符与拉普拉斯算符二、哈密尔顿算符与拉普拉斯算符哈密尔顿算符哈密尔顿算符向量微分算子向量微分算子算符既可作用到数量值函数上，也可以象通常的算符既可作用到数量值函数上，也可以象通常的向量一样进行运算向量一样进行运算.读读作作“纳普
5、拉纳普拉”(Nabla)或或“台尔台尔”(del )它它作用于数量值作用于数量值 u 可得可得3. 三维拉普拉斯算符三维拉普拉斯算符例例6一阶及二阶连续偏导数一阶及二阶连续偏导数, 证明证明的外法线方向导数，的外法线方向导数，这个公式叫做这个公式叫做格林第一公式格林第一公式.证证高斯公式高斯公式高斯公式高斯公式移项整理可得移项整理可得三、通量与散度三、通量与散度1. 通量通量设有向量场设有向量场P, Q, R具有连续一阶偏导数具有连续一阶偏导数, 是是有向曲面片有向曲面片, 称称其单位法向量其单位法向量 为为n, 为为向量场向量场A 通过有向曲面通过有向曲面 的的通量通量.(1)定义定义(2)
6、 背景背景(3) 通量通量 0 ( 0 时时, 流流入入 的流体质量少于的流体质量少于 2. 0 时时,流流入入 的流体质量多于流的流体质量多于流出出的的, 单位时间通过单位时间通过3. = 0 时时, 流入与流出流入与流出 的流体质量相等的流体质量相等, 内无源内无源. 流流出出的的, 内有泉内有泉; 内有洞内有洞; （ 为取外侧为取外侧的闭曲面）的闭曲面）的的流量流量为为 以以产生产生同样多的流体进行同样多的流体进行补充补充.以以吸收吸收同样多的流体进行同样多的流体进行抵消抵消.设有向量场设有向量场在点在点 M(x, y, z) 处处 称为向量场称为向量场 A 在点在点 M 的的散度散度.
7、记作记作2. 散度散度(1) 定义定义根据高斯公式根据高斯公式, , 流量也可表为流量也可表为设设 是是包含点包含点M且方向向外的任且方向向外的任一闭曲面一闭曲面, 所围区域所围区域 的体积为的体积为V, 令令 以任意方式缩小至点以任意方式缩小至点 M ,积分中值定理积分中值定理表明该点处有表明该点处有正源正源, , 表明该点处有表明该点处有负源负源, , 表明该点处表明该点处无源无源, , 上述极限绝对值的大小反映了源的强度上述极限绝对值的大小反映了源的强度. .可以将通量对体积的变化率定义为可以将通量对体积的变化率定义为散度散度. .意义：意义：(2)(3) 高斯公式的另一种形式：高斯公式
8、的另一种形式：意义：意义：分布在分布在 内的源头所内的源头所产生产生的流体总质量的流体总质量等等于于离开离开 的流体的流体总质量总质量.或分布在或分布在 内的内的源头所源头所吸收吸收的的流体总质量流体总质量等等于于进入进入 的流体的流体总质量总质量.例例 7解解内容小结内容小结1. 高斯公式高斯公式2. 向量场通过有向曲面向量场通过有向曲面 的通量为的通量为 3. G 内任意点处的散度为内任意点处的散度为 4. 哈密尔顿算符和拉普拉斯算符哈密尔顿算符和拉普拉斯算符计算积分计算积分解解 (方法方法1)备用题备用题例例 2-1由由高斯公式高斯公式b(方法方法2) 直接计算直接计算bb例例 3-1解解设设是光滑的闭曲面，是光滑的闭曲面，V是是所围的立体所围的立体的体积的体积. 是是点点 ( x, y, z ) 的矢径，的矢径，试试证明：证明：证证例例 4-1高斯公式高斯公式
