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1、对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算重点回顾重点回顾 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.定义定义 规定各元素之间有一个标准次序规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同个不同的自然数，规定由小到大为的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数 分别计算出排列中每个元素前面比它大的分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.定义
2、定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.方法方法解解此排列为此排列为偶排列偶排列.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性三、三、n阶行列式的定义阶行列式的定义说明说明1.行列式是一种特定的行列式是一种特定的算式算式;2. 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3. 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4. 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;
3、5. 的符号为的符号为例例1 1计算计算副对角行列式副对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算计算上三角行列式上三角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕例例5 5 写出四阶行列式
4、中含因子写出四阶行列式中含因子 的项的项解解 分析分析(1) 4321的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.(2) 4312的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带负号前边应带负号.故故四阶行列式中含因子四阶行列式中含因子 的项：的项：2 . 行列式是一种行列式是一种特定的算式特定的算式，它是根据求解方，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的而定义的.3. 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决
5、定列的逆序数决定.四、小结四、小结1.逆序数的计算方法：逆序数的计算方法：分别计算出排列中每个元素前分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.4.特殊行列式特殊行列式：(1)对角行列式；对角行列式； (2)副对角行列式；副对角行列式； (3)上三角行列式；上三角行列式； (4)下三角行列式下三角行列式. 性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称
6、为行列式 的的转置行列式转置行列式. 记记一、行列式的性质一、行列式的性质说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.阅读教材阅读教材P9-10：性质性质2-性质性质6 ，推论，推论1-3例如例如推论推论1 1 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零. .证明证明 互换相同的两行，有互换相同的两行，有 性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行
7、与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.推论推论推论推论2 2 2 2 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .性质性质性质性质3 3行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面因子可以提到行列式符号的外面推论推论推论推论3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素全行列式的某一行（列）中所有的元素全为零时，则此行列式的值等于零为零时，则此行列式
8、的值等于零. .性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如例：例：证明证明证证性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如例例计算行列式方法之一：计算行列式方法之一：利用运算把行列式利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算
9、得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值二、应用举例二、应用举例解解例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得例例3 3证证即即分块上三角形行列式分块上三角形行列式等于等于主对角线上各分块行列式的乘积。主对角线上各分块行列式的乘积。一般地，有一般地，有例如例如 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立).计算行列式的方法：计算行列式的方法：(1)观察行列式的特点，若能利用性质化行列式观察行列式的特点，若能利用性质化行列式两行相同或成比例，则行列式为两行相同或成比例，则行列式为0;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值而算得行列式的值行列式的行列式的6个性质个性质三、小结三、小结求求解解作业作业nP26-27： 4(2) (3), 5(1) 要求：要求： 利用性质把行列式化为上三角形行列式利用性质把行列式化为上三角形行列式
