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1、第五节第五节定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用五、五、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积四、已知平行截面面积函数的四、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积二、二、 平面图形的面积平面图形的面积三、三、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 一、一、 定积分的元素法定积分的元素法表示为1、什么问题可以用定积分解决、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”定积分定义一个整体量 ;一、定积分的元素法一、定积分的元素法2 、如何
2、应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值二、平面图形的面积二、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所围曲则边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 例例1. 计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积 . 解解: 由得交点例例2. 计算抛物线与直线的面积 . 解解: 由得交点所围图形为简便
3、计算, 选取 y 作积分变量,则有例例3. 求椭圆解解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积2. 极坐标情形极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应 从 0 变例例4. 计算阿基米德螺线解解:点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停到 2 所围图形面积 . 例例5. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:(利用对称性)三三、已知平行
4、截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别 , 当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时, 有当考虑连续曲线段绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有例例6. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)方法方法2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积例例7. 计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为利用对称性
5、利用对称性绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限 !注注柱壳体积说明说明: 柱面面积偶函数奇奇函数例例8. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角,解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?提示提示:四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的
6、.定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(P168)(2) 曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分) :因此所求弧长(3) 曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分) :(自己验证)例例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .求这一段弧长 . 解解:下垂悬链线方程为例例10. 计算摆线一拱的弧长 .解解:例例11. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小3. 已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴 :绕 y 轴 :(柱壳法)思考与练习思考与练习用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量.
