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1、高三数学一轮复习教案10.710.7二项式定理二项式定理1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题梳理自测一、二项式定理及特点1(教材改编)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 a0a2a4的值为()A9B8C7D62(12x)5的展开式中，x2的系数等于()A80B40C20D101x325的展开式中的常数项为()3(教材改编)二项式xA10B10C14D14答案1.B2.B3.A以上题目主要考查了以下内容：(1)二项式定理n1 n 1bCran rbrCnbn(nN N* *)这个公式所表示的定理叫二项(ab)nC0na Cnann式定理，右边
2、的多项式叫(ab)n的二项展开式其中的系数 Crn(r0,1，n)叫二项式系数n r rn r r式中的 Crb 叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项 Tr1Crb .nana(2)二项展开式形式上的特点项数为 n1.各项的次数都等于二项式的幂指数n，即 a 与 b 的指数的和为 n.字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1 直到 n.1高三数学一轮复习教案n 1n1二项式的系数从 C0n，Cn，一直到 Cn，Cn.二、二项式系数的性质1xn的展开式中第3项的二项式系数是15，1 若则展开式中所有项系数之和为()2
3、11A.B.326411CD.6412813xn展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含 x3的项的系数为()2若xA5B5C405D405答案1.B2.C以上题目主要考查了以下内容：n r(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即CrnCn(r0,1，n)(2)增减性与最大值：n1二项式系数 Ck当 k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐n，2n1n1n减小的； 当 n 是偶数时， 中间一项 Cn取得最大值； 当 n 是奇数时， 中间两项 C， C22n2n取得最大值0C1C2CrCn2n；C0C2C4C1C3(3)各二项式系数和：Cnnnnnnnnnn52n
4、1.Cn指点迷津1一个防范n r r运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Crb ，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具na体到它们展开式的某一项时是不同的， 一定要注意顺序问题， 另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分，前者只与n和 r 有关，恒为正，后者还与a，b 有关，可正可负2一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明， 也可根据次数， 项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续3两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用： 证明与二项式系
5、数有关的等式； 证明不等式； 证明整除问题；做近似计算等2高三数学一轮复习教案考向一二项展开式中的特定项或系数_.2x235展开式中的常数项为()(2)(2013高考江西卷)xA80B80C40D40审题视点根据二项展开式的通项公式，令x 的次数为 4，则为x4的项，含x 的次数为 0，则为常数项xa84(1)(2013高考安徽卷)若3的展开式中， x 的系数为 7，则实数 axa533 3 4典例精讲(1)含 x4的项为 C38x3C8a x ，x13C38a 7，a .222 5rrCrx102r(2)rx3rCr(2)rx10(2)设展开式的第 r1 项为 Tr1Cr5(x )55x35
6、r.若第2(2)240.r1 项为常数项，则 105r0，得 r2，即常数项 T3C51答案(1)(2)C2类题通法 求二项展开式中的指定项， 一般是利用通项公式进行， 化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 k1，代回通项公式即可11(2014浙江省温州市调研)( x)6的展开式中的常数项是_2x1116r()r( )rCrx3解析二项式( x)6的展开式的通项公式为 Tr1Cr6( x)2x2x263r，215当 r2 时，Tr1是常数项，此时 T3.415答案43高三数学一轮复习教案考向二二项展开式的系数和问题在(2x3y)10的
7、展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和审题视点分清二项式系数与项的系数，奇数项与偶数项，正确赋值典例精讲设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和即为 a0a1a10，奇数项系数和为 a0a2a10，偶数项系数和为 a1a3a5a9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为0C1C10210.C101010(2)令 xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为0C2C1029，C101010偶数项
8、的二项式系数和为1C3C929.C101010(4)令 xy1，得到a0a1a2a101，令 x1，y1(或 x1，y1)，得 a0a1a2a3a10510，得 2(a0a2a10)1510，1510奇数项的系数和为；2，得 2(a1a3a9)1510，1510偶数项的系数和为.2类题通法(1)对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，b，cR R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1 即可；对形如(axby)n(a，bR R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可(2)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，f1f1
9、奇数项系数之和为 a0a2a4，24高三数学一轮复习教案f1f1偶数项系数之和为 a1a3a5.22(2014福建厦门模拟)设(1x)na0a1xanxn，若 a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x2B20x3C21x3D35x30C1Cn64，解析选 B.令 x1，则(11)nCnnn33n6.故(1x)6的展开式中最大项为T4C36x 20x .考向三二项式定理的综合应用(1)求证：122225n 1(nN N* *) 能被 31 整除；227(2)求 SC127C27C27除以 9 的余数；(3)根据下列要求的精确度，求1.025的近似值(精确到 0.01)审题视点(1)
10、(2)利用二项展开式寻求倍数关系(3)根据展开式适当取舍典例精讲(1)证明：1222225n132n1(311)n1nn 2n11C0Cnn31 Cn31n31Cn1n 1n 2131(C0C1Cnn31n31n)，n 1n 21显然 C0C1Cnn31n31n为整数，5n125n121原式能被 31 整除227279(2)SC127C27C272 18 191889(91)91C099 C99 C99C9181789(C099 C99 C9)2.8178C099 C99 C9是正整数，S 被 9 除的余数为 7.2255(3)1.025(10.02)51C150.02C50.02 C50.0
11、2 150.021.10.类题通法(1)利用二项式定理进行近似计算：当 n 不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧(3)利用二项式定理证明不等式： 由于(ab)n的展开式共有 n1 项，故可以对某些项进5高三数学一轮复习教案行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的3(2012高考湖北卷)设 aZ，且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a()A0B1C11D12解析选 D.512 012a(521)2 012a2 012C1
12、2 011C2 01152C02 012522 012522 0122 012(1)2 012a(1)2 011C2 0122 0122 0112 011C0C1C2 01252(1)2 0112 012522 01252能被 13 整除，且 512 012a 能被 13 整除2 012a1a 也能被 13 整除，C2 0122 012(1)a 可取值 12.多次应用二项展开式通项公式搭配不全15(2012高考安徽卷)(x22)x21的展开式的常数项是()A3B2C2D3正解利用二项展开式的通项求解15二项式x21展开式的通项为：15rrr2r10Tr1Cr(1) C(1)r.525xx当 2
13、r102，即 r4 时，有2444x2C45x(1) C5(1) 5；05当 2r100，即 r5 时，有 2C55x (1) 2.展开式中的常数项为 523，故选 D.答案D152易错点(x22)与x21的各因式的积为常数项，不只是2 与(1)的积，还有x与 x2的积也为常数警示 求几个二项式积的展式中某项的系数或特定项时， 一般要根据这几个二项式6高三数学一轮复习教案的结构特征进行分类搭配， 分类时要抓住一个二项式逐项分类， 分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果1n1(2013高考重庆卷)使3x(nN)的展开式中含有常数项的最小的n 为()x xA4B5C6D7解析选 B.根据二项展
14、开式的通项公式求解nrTr1Crn(3x)1rCr3nrxn5r，当 T是常数项时，n5r0，当 r2，n5nr122x x时成立2 (2013高考全国新课标卷)设m为正整数， (xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若 13a7b，则 m()A5B6C7D8解析选 B.先根据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值，再利用组合数公式求解(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为Cm2m，m 1aCm2m.同理，bC2m1.m 113a7b，13Cm2m7C2m1.132m！2m1！7.m6.m！m！m1！m！3(2013高考四川卷)二项式(xy)5的展开式中，含x2y3的项的系数是_(用数字作答)解析利用二项展开式的通项求解(xy)5展开式的通项是5 ryr，Tr1Cr5x2 32 3令 r3 得 T4C35x y 10x y ，二项式(xy)5展开式中含 x2y3项的系数是 10.答案10x154(2013高考浙江卷)设二项式3的展开式中常数项为 A，则 A_.x解析写出二项展开式的通项Tr1，令通项中 x 的指数为零，求出 r，即可求出 A.7高三数学一轮复习教案155rr55r3Tr1Cr3rCr5( x)5(1) x ，令 0，得 r3，所以 AC510.2626x5r答案108
