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1、 1 习题四习题四 1.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（X） ，E（X2） ，E（2X+3）. 【解解】(1) 11111()( 1)012;82842E X (2) 2222211115()( 1)012;82844E X (3) 1(23)2 ()32342EXE X 2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 5905100C0.583C 1410905100C C0.340C
2、 2310905100C C0.070C 3210905100C C0.007C 4110905100C C0C 5105100C0C 故 ()0.583 00.340 10.070 20.007 30 40 5E X 0.501, 520()()iiiD XxE XP 222(00.501)0.583(1 0.501)0.340(50.501)00.432. 3.设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求 P1，P2，P3. 【解解】因1231PPP, 又12331()( 1)010.1E XPPPPP , 222212
3、313()( 1)010.9E XPPPPP 由联立解得1230.4,0.1,0.5.PPP 4.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白球的概率是多少？ 【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球，则 2 0( )|NkP AP A XkP Xk全概率公式 0011().NNkkkP XkkP XkNNnE XNN 5.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）=., 0, 21,2, 10,其他xxxx 求 E（X） ，D（X）. 【解解】12201()( )dd(2)dE Xxf xxxxxxx 213320111.33xxx 1222320
4、17()( )dd(2)d6E Xx f xxxxxxx 故 221()() ().6D XE XE X 6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ4X. 【解解】(1) (231)2 ()3 ( ) 1E UEXYE XE Y 2 53 11 144. (2) 44 ()E VE YZXE YZE X ,( )( )4 ()Y ZE YE ZE X因独立 11 84 568. 7.设随机变量 X， Y 相互独立，且 E（X） =E （Y） =3， D（X） =12，D（Y）
5、=16， 求 E （3X2Y） ，D（2X3Y）. 【解解】(1) (32 )3 ()2 ( )3 32 33.EXYE XE Y (2) 22(23 )2()( 3)4 129 16192.DXYD XDY 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为 3 f（x，y）=., 0,0, 10,其他xyxk 试确定常数 k，并求 E（XY）. 【解解】因1001( , )d ddd1,2xf x yx yxk yk 故 k=2 100()( , )d dd2 d0.25xE XYxyf x yx yx xy y . 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）=;, 0, 10,
6、2其他xx fY（y）=(5)e,5,0,.yy其他 求 E（XY）. 【解解】方法一：先求 X 与 Y 的均值 102()2 d,3E Xxx x 5(5)500( )ed5e de d5 1 6.z yyzzE Yyyzzz 令 由 X 与 Y 的独立性，得 2()()( )64.3E XYE XE Y 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立，故联合密度为 (5)2 e,01,5,( , )( )( )0,yXYxxyf x yfxfy其他 于是 11(5)2(5)50052()2 ed d2ded64.3yyE XYxyxx yxxyy 10.设随机变量 X，Y 的概率
7、密度分别为 fX（x）=; 0, 0, 0,22xxxe fY（y）=. 0, 0, 0,44yyye 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X3Y2）. 【解解】22-2000()( )d2edee dxxxXXxfxxxxxx 201ed.2xx 401( )( )d4edy.4yYE Yyfyyy 22242021()( )d4ed.48yYE Yy fyyyy 从而(1)113()()( ).244E XYE XE Y 4 (2)22115(23)2 ()3 ()23288EXYE XE Y 11.设随机变量 X 的概率密度为 f（x）=. 0, 0, 0,22xxcxxke 求（1）
8、 系数 c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解解】(1) 由2220( )ded12k xcf xxcxxk得22ck. (2) 2220()( )d( )2edk xE Xxf xxxk xx 2 22202ed.2k xkxxk (3) 2 22222201()( )d( )2e.k xE Xx f xxxk xk 故 2222214()() ().24D XE XE Xkkk 12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解解】设随机变量
9、 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 900.750,12P X 3910.204,1211P X 32920.041,1211 10P X 321930.005.1211 109P X 于是，得到 X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由此可得()0 0.750 1 0.2042 0.041 3 0.0050.301.E X 22222222()0750 10.20420.041 30.0050.413()() ()0.413(0.301)0.32
10、2.E XD XE XE X 13.一工厂生产某种设备的寿命 X（以年计）服从指数分布，概率密度为 f（x）=. 0, 0, 0,414xxxe 为确保消费者的利益， 工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100 元和200 元 5 /41/4111001ede4xP YP Xx 1/420011 e.P YP X 故1/41/41/4( )100 e( 200) (1 e)300e20033.64E Y (元). 14.设 X1，X2，
11、Xn是相互独立的随机变量，且有 E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，记 niiSXnX12,1，S2=niiXXn12)(11. （1） 验证)(XE=，)(XD =n2； （2） 验证 S2=)(11122niiXnXn； （3） 验证 E（S2）=2. 【证证】(1) 1111111()()().nnniiiiiiE XEXEXE Xnuunnnn 22111111()()nnniiiiiiiD XDXDXXDXnnn之间相互独立 2221.nnn (2) 因 222221111()(2)2nnnniiiiiiiiiXXXXXXXnXXX 2222112nniiiiXnXX nX
12、XnX 故22211()1niiSXnXn. (3) 因2(),()iiE Xu D X,故2222()()().iiiE XD XEXu 同理因2(),()E Xu D Xn,故222()E Xun. 从而 6 222221111()() ()()11nniiiiE sEXnXEXnE Xnn 221222221()()11().1niiE XnE Xnnununn 15.对随机变量 X 和 Y，已知 D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）. 【解解】Cov(321,43)3 () 10Cov(, )8 ( )XYXYD XX YD Y
13、3 2 10 ( 1)8 328 (因常数与任一随机变量独立，故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=221,1,0,.xy其他 试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解解】设22( , )|1Dx yxy. 2211()( , )d dd dxyE Xxf x yx yx x y 21001=cosd d0.rr r 同理 E(Y)=0. 而 Cov(, )( ) ( ) ( , )d dX YxE xyE Yf x yx y 2221200111d dsincosd d0xyxy x
14、yrr r , 由此得0XY,故 X 与 Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x|1 时，22121112( )d1.xXxfxyx 当|y|1 时，22121112( )d1yYyfyxy. 显然( )( )( , ).XYfxfyf x y 7 故 X 和 Y 不是相互独立的. 17.设随机变量（X，Y）的分布律为 1 0 1 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的. 【解解】联合分布表中含有零元素，X 与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得 X，Y 及 XY 的分布律，其分布律如下表 X
15、1 0 1 P 38 28 38 Y 1 0 1 P 38 28 38 XY 1 0 1 P 28 48 28 由期望定义易得 E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而 E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知 XY=0, 即 X 与 Y 的相关系数为 0，从而 X 和 Y 是不相关的. 又331111,1888P XP YP XY 从而 X 与 Y 不是相互独立的. 18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0） ， （0，1） ， （1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求 Cov（X，Y） ，XY. 【解解】如图，SD=12，故（X，Y）的概率密度为 题 18 图 2,( ,
16、 ),( , )0,x yDf x y其他. X Y 8 ()( , )d dDE Xxf x yx y11001d2d3xxxy 22()( , )d dDE Xx f x yx y112001d2d6xxxy 从而222111()() ().6318D XE XE X 同理11( ),( ).318E YD Y 而 11001()( , )d d2d dd2d.12xDDE XYxyf x yx yxy x yxxy y 所以 1111Cov(, )()()( )123336X YE XYE XE Y . 从而 1Cov(, )1362()( )111818XYX YD XD Y 19.设
17、（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=1sin(),0, 0,2220.xyxy,其他 求协方差 Cov（X，Y）和相关系数 XY. 【解解】/2/2001()( , )d ddsin()d.24E Xxf x yx yxxxyy 22222001()dsin()d2.282E Xxxxyy 从而 222()() ()2.162D XE XE X 同理 2( ),( )2.4162E YD Y 又 /2/200()dsin()d d1,2E XYxxyxyx y 故 24Cov(, )()()( )1.2444X YE XYE XE Y 9 2222224Cov(, )(4)8164.8328
18、32()( )2162XYX YD XD Y 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为4111，试求 Z1=X2Y 和 Z2=2XY 的相关系数. 【解解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而 12()(2 )()4 ( )4Cov(, )14 44 113,()(2)4()( )4Cov(, )4 144 14,D ZD XYD XD YX YD ZDXYD XD YX Y 12Cov(,)Cov(2 ,2)Z ZXYXY 2Cov(,)4Cov( ,)Cov(, )2Cov( , )2()5Cov(, )2 ( )2 1 5 12 45.X XY XX
19、YY YD XX YD Y 故 121212Cov(,)5513.26()()134Z ZZ ZD ZD Z 21.对于两个随机变量 V，W，若 E（V2） ，E（W2）存在，证明： E（VW） 2E（V2）E（W2）. 这一不等式称为柯西许瓦兹（CouchySchwarz）不等式. 【证证】令2( ) ,.g tE VtWtR 显然 22220( )() 2g tE VtWE VtVWt W 2222,.E Vt E VWtE WtR 可见此关于 t 的二次式非负，故其判别式 0， 即22202 ()4 ()()E VWE WE V 2224 ()()().E VWE VE W 故222 (
20、)()().E VWE VE W 22.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数 =1/5 的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F（y）. 【解解】设 Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间 10 XE(),E(X)=1=5. 依题意 Y=min(X,2). 对于 y0,f(y)=PYy=0. 对于 y2,F(y)=P(Xy)=1. 对于 0y2,当 x0 时，在(0,x)内无故障的概率分布为 PXx=1ex,所以 F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=
21、PXy=1ey/5. 23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品.从甲箱中任取 3 件产品放乙箱后，求： （1）乙箱中次品件数 Z 的数学期望； （2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解解】 （1） Z 的可能取值为 0，1，2，3，Z 的概率分布为 33336C CCkkP Zk, 0,1,2,3.k Z=k 0 1 2 3 Pk 120 920 920 120 因此，19913( )0123.202020202E Z (2) 设 A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 30( )|kP AP Zk
22、P A Zk 191921310.202062062064 24.假设由自动线加工的某种零件的内径 X（毫米）服从正态分布 N（,1） ，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润 T（单位：元）与销售零件的内径 X 有如下关系 T=.12, 5,1210,20,10, 1XXX若若若 问：平均直径 取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 【解解】( )1020 1012 5 12E TP XPXP X 1020 1012 5 12(10)20(12)(10)51(12)25 (12)21 (10)5.P XuuPuXuuP
23、Xuuuuuuuu 故 2/2d ( )125 (12) ( 1)21 (10) ( 1)0( )e),d2xE Tuuxu 令 这里 11 得 22(12) /2(10) /225e21euu 两边取对数有 2211ln25(12)ln21(10) .22uu 解得 125111ln11ln1.1910.91282212u (毫米) 由此可得，当 u=10.9 毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=., 0,0,2cos21其他xx 对 X 独立地重复观察 4 次，用 Y 表示观察值大于 /3 的次数，求 Y2的数学期望. （2002 研考） 【解解】令 1,
24、3(1,2,3,4)0,3iXYiX. 则41(4, )iiYYBp.因为 133pP XP X 及/3011cosd3222xP Xx, 所以111( ),( ),( )42,242iiE YD YE Y 2211( )41()()22D YE YEY , 从而222()( ) ( )125.E YD YE Y 26.两台同样的自动记录仪， 每台无故障工作的时间 Ti(i=1,2)服从参数为 5 的指数分布， 首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间 T=T1+T2的概率密度 fT(t)，数学期望 E（T）及方差 D（T）. 【解解】由题意知：
25、55e,0,( )0,0titf tt. 因 T1,T2独立，所以 fT(t)=f1(t)*f2(t). 当 t0 时，fT(t)=0; 当 t0 时，利用卷积公式得 55()5120( )( )()d5e5ed25 etxt xtTftf xf txxxt 故得 12 525 e,0,( )0,0.tTttftt 由于 Ti E(5),故知 E(Ti)=15,D(Ti)=125( i=1,2) 因此，有 E(T)=E(T1+T2)=25. 又因 T1,T2独立，所以 D（T）=D（T1+T2）=225. 27.设两个随机变量 X，Y 相互独立，且都服从均值为 0，方差为 1/2 的正态分布，
26、求随机变量|XY|的方差. 【解解】设 Z=XY，由于22110,0,22XNYN 且 X 和 Y 相互独立，故 ZN（0，1）. 因 22()()(| ) (|)D XYD ZE ZE Z 22() ( ) ,E ZE Z 而 22/21()( )1,(|)|ed2zE ZD ZE Zzz 2/2022ed2zzz， 所以 2(|)1DXY . 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0p1=P=0, PX=1,Y=1=PU1,U1 11d1 1144xPU 21d11,11,1144xP XYP UUP U . 故得 X 与 Y 的联合概率分布为 ( 1, 1)( 1,1)(1,
27、1)(1,1)(, ) 1110424X Y . (2) 因22()() ()D XYE XYE XY,而 X+Y 及（X+Y）2的概率分布相应为 202111424XY, 204() 1122XY. 从而11()( 2)20,44E XY 211() 042,22E XY 所以22()() ()2.D XYE XYE XY 31.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)=xe21， （x+） (1) 求 E（X）及 D（X） ； （2） 求 Cov(X,|X|),并问 X 与|X|是否不相关？ （3） 问 X 与|X|是否相互独立，为什么？ 【解】(1)| |1()ed0.2xE Xxx 2|
28、 |201()(0)ed0e d2.2xxD Xxxxx (2) Cov(,|)(|)()(|)(|)XXE XXE XEXE XX | |1|ed0,2xx xx 所以 X 与|X|互不相关. (3) 为判断|X|与 X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域x+中的子区间（0,+）上给出任意点 x0，则有 0000|.xXxXxXx 所以000|1.PXxP Xx 15 故由 00000,|P XxXxPXxPXxP Xx 得出 X 与|X|不相互独立. 32.已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（1，32）和 N（0，42） ，且 X 与 Y 的相关系数XY
29、=1/2，设 Z=23YX. （1） 求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z） ； （2） 求 X 与 Z 的相关系数 XZ； （3） 问 X 与 Z 是否相互独立，为什么？ 【解解】(1) 1( ).323XYE ZE ( )2Cov,3232XYX YD ZDD 11119162Cov(, ),9432X Y 而 1Cov(, )()( )3 462XYX YD XD Y 所以 1( )1463.3D Z (2) 因11Cov(,)Cov,Cov,Cov,3232XYX ZXX XX Y 119()( 6)3=0,323D X - 所以 Cov(,)0.()( )XZX ZD XD Z
30、 (3) 由0XZ，得 X 与 Z 不相关.又因1,3 ,(1,9)3ZNXN，所以 X 与 Z 也相互独立. 33.将一枚硬币重复掷 n 次， 以 X 和 Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求 X 和 Y 的相关系数XY. 【解】由条件知 X+Y=n，则有 D（X+Y）=D（n）=0. 再由 XB(n,p),YB(n,q)，且 p=q=12, 从而有 ()( )4nD XnpqD Y 16 所以 0()()( )2()( )XYD XYD XD YD XD Y 2,24XYnn 故XY=1. 34.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 1 0 1 0 1 0.07 0.18 0.15
31、0.08 0.32 0.20 试求 X 和 Y 的相关系数 . 【解解】由已知知 E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而 XY 的概率分布为 YX 1 0 1 P 0.08 0.72 0.2 所以 E（XY）=0.08+0.2=0.12 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.120.60.2=0 从而 XY=0 35.对于任意两事件 A 和 B，0P(A)1，0P(B)1,则称 =)()()()()()(BPAPBPAPBPAPABP为事件 A 和 B 的相关系数.试证： （1） 事件 A 和 B 独立的充分必要条件是 =0； （2） |1. 【证证】 （1）由 的定义知，=0 当
32、且仅当 P(AB)P(A)P(B)=0. 而这恰好是两事件 A、B 独立的定义，即 =0 是 A 和 B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量 X 与 Y 为 1,0,AXA若 发生若 发生; 1,0,BYB若 发生若 发生. 由条件知，X 和 Y 都服从 01 分布，即 011( )( )XP AP A 011( )( )YP BP B 从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B), D(X)=P(A)P(A),D(Y)=P(B)P(B), Cov(X,Y)=P(AB)P(A)P(B) 所以，事件 A 和 B 的相关系数就是随机变量 X 和 Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数
33、的基本性质可得|1. 36. 设随机变量 X 的概率密度为 Y X 17 fX(x)=., 0, 20,41, 01,21其他xx 令 Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求： (1) Y 的概率密度 fY(y)； (2) Cov(X,Y); (3)1(,4)2F . 解解： (1) Y 的分布函数为 2( )YFyP YyP Xy. 当 y0 时， ( )0YFy ，( )0Yfy ； 当 0y1 时， 3( )004YFyPyXyPyXPXyy， 3( )8Yfyy； 当 1y4 时， 11( ) 10024YFyPXPXyy 1( )8Yfyy； 当 y4 时，(
34、)1YFy ，( )0Yfy . 故 Y 的概率密度为 3,01,81( )0,14,80,.Yyyfyyy 其他 (2) 0210111()( )ddd244+XE X =xfx xx xx x-, 02222210115( )()( )ddd)246+XE Y =E X=x fx xxxxx-, 02233310117()()( )ddd248+XE XY =E Y=x fx xxxxx-, 故 Cov(X,Y) =2()()( )3E XYE XE Y =-. 18 (3) 2111(,4),4,4222FP XYP XX 11, 22 222P XXPX 11 124PX . 37. 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,求 PX=E(X2). 解：因为其分布律为 Px=k=1!ek,k=0,1,2, 1221101112111 1()!(1)!(1)!11(2)!(1)!()2.kkkkkekkE Xkeekkkekkeee 所以 211()2.2!2P xE XP Xee所以
