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1、第第第第 1 1 页页页页第五章第五章 连续系统的连续系统的s s域分析域分析 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复
2、频域来解决这些问题。域来解决这些问题。 本章引入本章引入复频率复频率 s = +j,以复指数函数以复指数函数est为基本信为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s ，故称为，故称为s域分域分析析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。第第第第 2 2 页页页页5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换 收敛域收敛域 ( (单边单边) )拉普拉斯变换拉普拉斯变换 常见函数的拉普拉斯变换常见函数
3、的拉普拉斯变换 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系单边拉氏变换与傅里叶变换的关系第第第第 3 3 页页页页一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e- t( 为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t) ，适，适当选取当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t) e- t当当t时信号幅度趋近时信号幅度趋近于于0 ，从而使，从而使f(t) e- t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换相应的傅里叶逆变换 为为f(t) e- t=
4、 F Fb b( ( +j+j )=)= f(t) e- t= 令令s = + j ,d =ds/j，有，有第第第第 4 4 页页页页定义双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或的双边拉氏变换（或象函数象函数），），f(t)称为称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或的双边拉氏逆变换（或原函数原函数）。）。 第第第第 5 5 页页页页二、收敛域二、收敛域 只有选择适当的只有选择适当的 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)的双边的双边拉普拉斯变换存在。拉普拉斯变换存在。 使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 的取值范围称为的取值范围称为Fb(s)的收敛域的收敛
5、域。 下面举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。收敛域的问题。第第第第 6 6 页页页页例例1 因果信号因果信号f1(t)= e t (t) ，求拉氏变换。，求拉氏变换。解解 可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。收敛域收敛域收敛边界收敛边界第第第第 7 7 页页页页例例2 反因果信号反因果信号f2(t)= e t (-t) ，求拉，求拉氏氏变换。变换。解解 可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res= 时，其收敛域时，其收敛域为为 Res 2Res= 3 3 2可见，象函数相同
6、，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。第第第第 1010 页页页页通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，坐标原点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 第第第第 1111 页页页页三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换简记为简记为F(s)= f(t) f(t)=-1F(s) 或或 f(t) F(s)第第第第 1212 页页页页四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换1、 (t) 1， -2、 (t)或
7、或1 1/s ， 03、指数函数、指数函数e-s0t -Res0cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 sin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 第第第第 1313 页页页页5.2 拉普拉斯变换性拉普拉斯变换性质质 线性性质线性性质 尺度变换尺度变换 时移特性时移特性 复频移特性复频移特性 时域微分时域微分 时域积分时域积分 卷积定理卷积定理 s s域微分域微分 s s域积分域积分 初值定理初值定理 终值定理终值定理第第第第 1414 页页页页一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2则则 a
8、1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例1 1f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 第第第第 1515 页页页页二、尺度变换二、尺度变换若若f(t) F(s) , Res 0，且有实数，且有实数a0 ，则则f(at) 证明：证明：第第第第 1616 页页页页三、时移特性三、时移特性若若f(t) F(s) , Res 0, 且有实常数且有实常数t00 ,则则f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(at-t0) (at-t0)例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的
9、单边拉氏变换。解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1) (t-1)F1(s)=第第第第 1717 页页页页例例2:已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t-2)f1(0.5t) 2F1(2s)f10.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)第第第第 1818 页页页页四、复频移（四、复频移（s域平移）特性域平移）特性若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有复常数且有复常数sa= a+j a,则则f(t)esat F(s-sa) , Res 0+
10、 a 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)= 求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) 第第第第 1919 页页页页五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）若若f(t) F(s) , Res 0, 则则f(t) sF(s) f(0-) 推广：推广：证明：证明：第第第第 2020 页页页页六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理）证明：证明：第第第第 2121 页页页页例例1: t2 (t)? 第第第第 2222 页页页页七、卷积定理七、卷积定理时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t
11、) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2则则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 第第第第 2323 页页页页八、八、s域微分和积分域微分和积分若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 第第第第 2424 页页页页例例2：第第第第 2525 页页页页九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而不必求出原函数而不必求
12、出原函数f(t)初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数及其各阶导数则则 终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，则，则 第第第第 2626 页页页页举例例例1：第第第第 2727 页页页页5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法 :（1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3） 部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 若若m
13、n （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 第第第第 2828 页页页页由于由于L- 11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。第第第第 2929 页页页页一、零、极点的概念一、零、极点的概念若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（m 0 要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： （1） 0-2；则则 F(j )=1/( j +2)第第第第 5050 页页页页（2） 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， 如如f(t)= (t)F(s)=1/s = ( ) + 1/j （3） 0 0，F(j )不存在。不存在。 例例 f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变；其傅里叶变换不存在。换不存在。
