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1、会计学1病态病态(bngti)问题与条件数问题与条件数第一页，共21页。（3.13.1） 称为计算函数值问题的称为计算函数值问题的条件数条件数. . 相对误差相对误差(xin du w ch)(xin du w ch)比值比值 自变量相对误差一般不会太大，如果条件数自变量相对误差一般不会太大，如果条件数 很大，很大，将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是(jish)(jish)病态问题病态问题. . 第1页/共20页第二页，共21页。 例如，例如， ，它表示相对误差可能放大它表示相对误差可能放大 倍倍. . 如如 ，有有 ， 自变量相对
2、误差为自变量相对误差为 ，函数值相对误差为函数值相对误差为 ， 一般情况下一般情况下, ,条件数条件数 就认为是病态，就认为是病态， 越大越大病态越严重病态越严重. . 则有则有若取若取这时问题这时问题(wnt)(wnt)可以认为是病态的可以认为是病态的. .第2页/共20页第三页，共21页。 1.3.2 1.3.2 1.3.2 1.3.2 算法算法算法算法(sun f)(sun f)(sun f)(sun f)的数值稳定性的数值稳定性的数值稳定性的数值稳定性 用一个算法进行用一个算法进行(jnxng)(jnxng)计算，如果初始数据误差在计算中传播计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果
3、的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. . 计算计算 并估计误差并估计误差. . 由分部积分可得计算由分部积分可得计算 的递推公式的递推公式 若计算出若计算出 ，代入（代入（3.23.2），可逐次求出），可逐次求出 的值的值. .（3.23.2）例例6 6第4页/共20页第五页，共21页。 而要算出而要算出 就要先计算就要先计算 . .并取并取 ，则得则得 ，计算过程中小数点后第计算过程中小数点后第5 5位的数字位的数字(shz)(shz)按四舍五入原则舍入按四舍五入原则舍入. . 若用泰勒多项式展开若用泰勒多项式展开(zhn ki)(zh
4、n ki)部分和部分和 用用4 4位小数位小数(xiosh)(xiosh)计算，计算，截断误差截断误差第5页/共20页第六页，共21页。 当初值取为当初值取为 时，用（时，用（3.23.2）递推）递推计算结果见表计算结果见表1-11-1的的 列列. . 用用 近似近似 产生的误差产生的误差 就是初值误差，就是初值误差， 它对后面它对后面(hu mian)(hu mian)计算结果是有影计算结果是有影响的响的. .（3.23.2）计算公式为计算公式为 第6页/共20页第七页，共21页。 从表中看到从表中看到 出现负值，出现负值，这与一切这与一切 相矛盾相矛盾. .因此，当因此，当 较大时，用较大
5、时，用 近似近似 显然是不正确的显然是不正确的. . （3.33.3）实际上，由积分实际上，由积分(jfn)(jfn)估估值得值得第7页/共20页第八页，共21页。 计算公式与每步计算都是正确的，计算结果错误的原因计算公式与每步计算都是正确的，计算结果错误的原因主要就是初值主要就是初值 有误差有误差 ，由此引起以后各步，由此引起以后各步计算的误差计算的误差 满足关系满足关系 容易容易(rngy)(rngy)推得推得 这说明这说明 有误差有误差 ，则，则 就是就是 的的 倍误差倍误差. . 第8页/共20页第九页，共21页。（3.33.3） 例如，例如， ，若若 ，这就说明这就说明 完全不能近似
6、完全不能近似 了了. . 若换一种计算若换一种计算(j sun)(j sun)方案方案. . 由（由（3.33.3）取）取 ，取取则则 它表明计算公式（它表明计算公式（A A）是数值）是数值(shz)(shz)不不稳定的稳定的. .则则第9页/共20页第十页，共21页。将公式将公式(gngsh)(3.2)(gngsh)(3.2)倒过倒过来算，来算，即由即由 算出算出 ，公式为，公式为计算结果见表计算结果见表1-11-1的的 列列. . （3.23.2）第10页/共20页第十一页，共21页。 反之，当用方案（反之，当用方案（A A）计算时，尽管初值）计算时，尽管初值 相当准确，相当准确， 此例说
7、明，数值不稳定的算法此例说明，数值不稳定的算法(sun f)(sun f)是不能使用的是不能使用的. . 记记 ，则则 ，比比 缩小了缩小了倍，因此，尽管倍，因此，尽管 较大，但由于误差逐步缩小，故可用较大，但由于误差逐步缩小，故可用 近似近似 . .由于误差传播是逐步扩大的，因而由于误差传播是逐步扩大的，因而(yn r)(yn r)计算结果不可靠计算结果不可靠. . 可以看出可以看出 与与 的误差不超过的误差不超过 . . 第11页/共20页第十二页，共21页。 一个算法如果输入数据一个算法如果输入数据(shj)(shj)有误差，而在计算过有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数
8、值稳定的，否则称程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的此算法为不稳定的. . 在例在例6 6中算法（中算法（B B）是数值）是数值(shz)(shz)稳定的，而算法（稳定的，而算法（A A）是不）是不稳定的稳定的. . 定义定义(dng(dngy)4y)4第12页/共20页第十三页，共21页。 1.3.3 1.3.3 1.3.3 1.3.3 避免误差危害的若干避免误差危害的若干避免误差危害的若干避免误差危害的若干(rugn)(rugn)(rugn)(rugn)原则原则原则原则 数值计算中首先要分清问题数值计算中首先要分清问题(wnt)(wnt)是否病态和算法是否数是
9、否病态和算法是否数值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字值稳定，计算时还应尽量避免误差危害，防止有效数字的损失，有下面若干原则的损失，有下面若干原则. . 1. 1. 要避免除数要避免除数(ch sh)(ch sh)绝对值远远小于被除数绝对值远远小于被除数(ch sh)(ch sh)绝对值的除法绝对值的除法 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算用绝对值小的数作除数舍入误差会增大，如计算 若若 ， 则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免则可能对计算结果带来严重影响，应尽量避免. . 第13页/共20页第十四页，共21页。 2. 2. 要避免要避免(bmin)(bmin)两相近数
10、相减两相近数相减 在数值在数值(shz)(shz)计算中两相近数相减有效数字会严重损失计算中两相近数相减有效数字会严重损失. . 这说明必须尽量避免出现这类运算这说明必须尽量避免出现这类运算. . 最好是改变计算方最好是改变计算方法，防止法，防止(fngzh)(fngzh)这种现象产生这种现象产生. . 分析前述例分析前述例18位有效数字位有效数字8位有效数字位有效数字0位有效数字位有效数字第14页/共20页第十五页，共21页。改变改变(gibin)计算计算公式：公式：精度精度(jn d)提高了提高了很多。很多。第15页/共20页第十六页，共21页。 此例说明，可通过改变此例说明，可通过改变(
11、gibin)(gibin)计算公式避免或减少有效数字计算公式避免或减少有效数字的损失的损失. . 类似地，如果类似地，如果 和和 很接近时，由很接近时，由 用右边算式有效数字用右边算式有效数字(yu xio sh z)(yu xio sh z)就不损失就不损失. . 也应该也应该(ynggi)(ynggi)用右端算式代替左端用右端算式代替左端. . 当当 很大时，很大时，第16页/共20页第十七页，共21页。 3. 3. 要防止大数要防止大数(d sh)“(d sh)“吃掉吃掉”小数小数 在数值运算在数值运算(yn sun)(yn sun)中参加运算中参加运算(yn sun)(yn sun)的
12、数的数有时数量级相差很大，有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数而计算机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉吃掉”小数小数(xiosh)(xiosh)的现象，影响计算结果的可靠性的现象，影响计算结果的可靠性. . 前面用求根公式求根的例前面用求根公式求根的例2中，中，现改变计算公式如下：现改变计算公式如下：第18页/共20页第十九页，共21页。 4. 4. 注意简化计算步骤，减少注意简化计算步骤，减少(jinsho)(jinsho)运算次数运算次数 同样一个计算问题同样一个计算问题(wnt)(wnt)，如果能减少运算次数，不但可节省计，如果能减少运算次数
13、，不但可节省计算机的计算时间，还能减少舍入误差算机的计算时间，还能减少舍入误差. . 这是数值计算必须遵从的原则，也是这是数值计算必须遵从的原则，也是“数值分析数值分析”要要研究研究(ynji)(ynji)的重要内容的重要内容. . 第19页/共20页第二十页，共21页。内容(nirng)总结会计学。将引起函数值相对误差很大，出现这种情况的问题就是病态问题.。第1页/共20页。用一个算法进行计算(j sun)，如果初始数据误差在计算(j sun)中传播。程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称。1.3.3 避免误差危害的若干原则。数值计算(j sun)中首先要分清问题是否病态和算法是否数。值稳定，计算(j sun)时还应尽量避免误差危害，防止有效数字。1. 要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。在数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大，第二十一页，共21页。
