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1、1 31 平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡 第三章第三章 平面力系的合成与平衡平面力系的合成与平衡目录2平平平平面面面面汇汇汇汇交交交交力力力力系系系系的的合合成成、分分解解的的规规律律、平平衡衡条条件件及及其应用。其应用。教学要求：教学要求：1 1、掌掌握握平平面面汇汇交交力力系系合合成成的的力力多多边边形形法法则则及及合成的解析法；合成的解析法；2 2、掌握平面汇交力系平衡条件的具体应用。掌握平面汇交力系平衡条件的具体应用。重点：重点：平面汇交力系的简化及平衡方程的应用平面汇交力系的简化及平衡方程的应用难点：难点：平衡方程的应用。平衡方程的应用。学时安排：学时安排：2 2教
2、学内容教学内容：3 平面汇交力系平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。汇交于一点的力系。引引 言言 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面平行力系平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况平面力偶系是其中的特殊情况 ) 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系)研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。例：起重机的挂钩。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。行力系。
3、4 一、合成的几何法一、合成的几何法1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：合力方向由正弦定理：由余弦定理：由余弦定理：由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。3-1 3-1 平面汇交力系的合成与平衡平面汇交力系的合成与平衡F2F1R180-5 合力的大小与方向与力多边形的合力的大小与方向与力多边形的作图的先后次序无关作图的先后次序无关 一、合成的几何法一、合成的几何法2. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成力多边形画法力多边形画法F1F2F3F4RR1R2F2F3F1F4RR1R2首尾相接首尾相接3-1 平面汇交力系合
4、成与平衡平面汇交力系合成与平衡67 结论：结论：即：即： 即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。线通过各力的汇交点。二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：是：平面汇交力系平衡的充要条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭或或力系中各力的矢量和等于零力系中
5、各力的矢量和等于零8例例 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍物。的障碍物。求：在中心作用的水平力求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。又由几何关系：又由几何关系：选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解： 当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时NA=0,=0,拉力拉力F最大最大, ,这时这时 拉力拉力F和自重及支反力和自重及支反力NB构成一平衡力。构成一平衡力。 选比例尺为选比例尺为20kN20kN 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故由平衡的几何条件，力多边形封闭，故NA
6、NBPFNB F=11.5kN , NB=23.1kN所以所以由作用力和反作用力的关系，由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kN。9此题也可用力多边形方法用比例尺去量。此题也可用力多边形方法用比例尺去量。几何法解题步骤：几何法解题步骤：选研究对象；选研究对象；作出受力图；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺；作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数求出未知数几何法解题不足：几何法解题不足： 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合
7、成与平衡的另一种方法：下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法解析法。 PFNB P=20KN F=11.5kN , NB=23.1kN101、力沿直角坐标轴的分解、力沿直角坐标轴的分解 Fx=Fcosa a （一）、（一）、力的分解力的分解F三、三、 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法Fy=Fsina=F cos112、力沿非正交坐标轴的分解、力沿非正交坐标轴的分解F1F2ACDBF1F2FFa、平行四边形法则、平行四边形法则b、三角形法则、三角形法则121、力在坐标轴上的投影：、力在坐标轴上的投影：( (二二) )、力的投影力的投影X=FxY=Fy
8、=Fcosa=Fsina力在某轴上的投影，等于力的模乘力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该投影轴正向间夹角的余弦。以力与该投影轴正向间夹角的余弦。力在某轴上的投影是代数量，当其与轴的正向一致时为正，力在某轴上的投影是代数量，当其与轴的正向一致时为正，反之为负。反之为负。132、合力投影定理、合力投影定理由图可看出，各分力在由图可看出，各分力在x轴和在轴和在y轴投影的和分别为：轴投影的和分别为： 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。轴上投影的代数和。14合力的大小：合力的大小： 为该力系的汇交点为该力系的汇
9、交点再确定再确定R与与x轴正向间小于轴正向间小于90的夹角的夹角方向：由方向：由Rx、Ry的正负号大致的正负号大致确定确定 作用点：作用点：15（三）（三） 、平面汇交力系合成与平衡的解析法、平面汇交力系合成与平衡的解析法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。的合力为零。即：即：为平衡的充要条件，也叫平衡方程为平衡的充要条件，也叫平衡方程平面汇交力系有两个独立平衡方程，故可以求解两个未知数。平面汇交力系有两个独立平衡方程，故可以求解两个未知数。即即各力在任意建立的直角坐标轴上投影的代数和分别等于零各力在任意建立的直
10、角坐标轴上投影的代数和分别等于零。（三）（三） 、平面汇交力系合成与平衡的解析法、平面汇交力系合成与平衡的解析法16 例例1 1：设设有有四四个个力力作作用用于于O O点点，方方向向如如图图。已已知知F F1 1=100N=100N，F F2 2=100N=100N，F F3 3=150N=150N，F F4 4=200N=200N，试求合力。，试求合力。xyF1F2F3F450o30o20o先求投影先求投影X2=100cos50=64.3NX3= -150sin30=-75NX4= - 200cos20= -187.9NX1=100cos0=100NRx= X=- 98.6NY1=100si
11、n0=0NY2=100sin50=76.6NY3=150cos30=129.9NY4= - 200sin20= - 68.4NRy= Y= 138.1NRx为负，为负， Ry为正，合力在第二象限为正，合力在第二象限R54.47o17解：解：研究研究AB杆杆 画出受力图画出受力图 列平衡方程列平衡方程 例例2 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA由由EB=BC=0.4m，解得：解得：；解平衡方程解平衡方程 18例例3 已知如图已知如图P、Q， 求平衡时求平衡时 = =？ 地面的反力地面的反力ND= =？解：研究球受力如图，解：研究球受力如图， 由由得得由由得得选投影轴列方程为选投影轴列方程
12、为19例例4简易吊车如图，已知简易吊车如图，已知P=20kN，不计杆和滑轮自重，略不计杆和滑轮自重，略去摩擦及滑轮大小。去摩擦及滑轮大小。求：求：系统平衡时杆系统平衡时杆AB和和BC所受的力。所受的力。 因不计杆重，因不计杆重，AB和和BC为二力杆，受为二力杆，受力沿杆轴线；又不计滑轮大小，杆力和索力沿杆轴线；又不计滑轮大小，杆力和索力通过销子力通过销子B，故取销子，故取销子B为研究对象。为研究对象。受力如图受力如图解：解：（1）取研究对象画受力图）取研究对象画受力图A AB BD DC CP.20（2）选取坐标系）选取坐标系由于不计摩擦，由于不计摩擦，F1=F2=P，只有，只有FAB和和FB
13、C的大小未知，的大小未知，为避免求解联立平衡方程，选取如图所示的坐标系。为避免求解联立平衡方程，选取如图所示的坐标系。（3）列平衡方程）列平衡方程由由A AB BD DC CP.与假设方向相反，杆件受压与假设方向相反，杆件受压21由由杆件受压杆件受压 杆件受力方向是任意假定的，若所求结果为负，则杆件受力方向是任意假定的，若所求结果为负，则表示实际受力方向与假设方向相反，若为正，则表示实表示实际受力方向与假设方向相反，若为正，则表示实际方向与假设方向相同。际方向与假设方向相同。 坐标轴的选取只影响求解的难易程度，而不影响最坐标轴的选取只影响求解的难易程度，而不影响最终结果。（同学可尝试选取其它方
14、向的坐标）终结果。（同学可尝试选取其它方向的坐标）22例例6 6 铰铰链链器器连连杆杆机机构构ABCDABCD如如图图在在铰铰链链B B上上作作用用一一已已知知力力，在在铰铰链链C C上作用一未知力，该机构处于平衡。若不计重，求力上作用一未知力，该机构处于平衡。若不计重，求力R.R. 解：解：1 1分别选取铰分别选取铰B B、C C为研究对象为研究对象 2 2画铰画铰B B、C C的受力图的受力图 3 3选取坐标轴如图选取坐标轴如图 4 4列平衡方程列平衡方程对对B B铰：铰： X=0X=0QNBCNBARNCDNCBCx对对C C铰：铰：X=0X=0BQRADBC30o45o90o60ox2
15、3几何法：几何法：1 1选取选取B B、C C铰为研究为对象铰为研究为对象 2 2画画B B、C C铰受力图铰受力图 3 3按一定比例作图按一定比例作图 4. 4.量取量取R R的大小按的大小按QNBCNBARQRADBC30o45o90o60oNCBNCDQNBCNBARNCDNCBCB24通过以上例题分析求解，我们可以把平面汇交力系平衡通过以上例题分析求解，我们可以把平面汇交力系平衡问题的解题方法概述如下：问题的解题方法概述如下： (1) (1)根据题意根据题意确定研究对象确定研究对象: :选为研究对象的物体选为研究对象的物体上应作用有已知力和待求的未知力；先选受力情况相对上应作用有已知力
16、和待求的未知力；先选受力情况相对较简单的物体，再选受力情况相对较复杂的物体；若问较简单的物体，再选受力情况相对较复杂的物体；若问题较复杂时，要选两个甚至更多的研究对象，才能逐步题较复杂时，要选两个甚至更多的研究对象，才能逐步解决。解决。 (2) (2)绘分离体的绘分离体的受力图受力图，不要增减力，特别注意约，不要增减力，特别注意约束反力的画法，并要正确应用三力平衡定理。束反力的画法，并要正确应用三力平衡定理。 (3) (3)用用几何法几何法解题，应选取适当比例尺，画出研究解题，应选取适当比例尺，画出研究对象的轮廓图形和作该力系的封闭力多边形或力三角形，对象的轮廓图形和作该力系的封闭力多边形或力
17、三角形，最后用尺和量角器量出未知量或用三角公式算出未知量。最后用尺和量角器量出未知量或用三角公式算出未知量。 (4) (4) 用用解析法解析法解题时，应当选取适当的坐标轴解题时，应当选取适当的坐标轴, ,尽尽量使力的投影简便，避免解联立方程，一般应使坐标轴量使力的投影简便，避免解联立方程，一般应使坐标轴与较多的力平行或垂直，再列平衡方程求解，在计算力与较多的力平行或垂直，再列平衡方程求解，在计算力的投影时，应注意正负号。的投影时，应注意正负号。 (5) (5) 必要时应分析或讨论计算结果。必要时应分析或讨论计算结果。25 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用
18、的物体，且角度 特殊时用特殊时用 几几 何法何法（解力三角形）比较简便。（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说明：3、投影轴投影轴常常选择选择与未知力垂直，最好使每个方程中与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。只有一个未知数。 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用特殊，都用解析法解析法。5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
19、一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。力。4、对力的方向判定不准的，一般用、对力的方向判定不准的，一般用解析法解析法。26本本节节主主要要内内容容是是运运用用几几何何法法和和解解析析法法研研究究平平面面汇汇交交力力系系的的合合成成与与平衡，重点是用解析法解平衡问题应熟练掌握。平衡，重点是用解析法解平衡问题应熟练掌握。 1 1、平平面面汇汇交交力力系系只只能能合合成成一一个个合合力力，合合力力等等于于诸诸分分力力的的几何和几何和. . 即即 (1) (1) 在几何法中力多边形的封闭边表示合力的大小和方向在几何法中力多边形的封闭边表示合力的大小和方向 (2) (2) 在解析法中，合力的大
20、小和方向可按下列公式计算。在解析法中，合力的大小和方向可按下列公式计算。 式中式中 表示合力与表示合力与X X轴所夹锐角，轴所夹锐角， 合力的指向由合力的指向由x x和和y y的符号判定。的符号判定。 2 2、平面汇交力系平衡的必须要充分条件是合力为零。、平面汇交力系平衡的必须要充分条件是合力为零。 (1) (1) 在几何法中平衡的几何条件是力多边形自行封闭。在几何法中平衡的几何条件是力多边形自行封闭。 (2) (2) 在解析法中平衡方程在解析法中平衡方程 X=0 X=0 Y=0Y=0利利用用平平衡衡方方程程可可求求出出两两个个未未知知量量，它它是是解解决决平平面面汇汇交交力力系系的的平平衡衡
21、问题的基本方程。问题的基本方程。 (3) (3) 解平面汇交力系，平衡问题的方法和步骤。解平面汇交力系，平衡问题的方法和步骤。 27形式形式合成合成平衡条件平衡条件矢量形式矢量形式几何形式几何形式各力首尾相接形成一条折各力首尾相接形成一条折线其封闭边即为合力的大线其封闭边即为合力的大小与方向小与方向力多边形自力多边形自行封闭行封闭解析形式解析形式X=0 X=0 Y=0Y=0平面汇交力系平面汇交力系28例例： 如如图图所所示示为为一一简简单单的的起起重重设设备备ABAB、BCBC两两杆杆在在A A、B B、C C三三处处用用铰铰链链连连接接， 在在B B处处销销钉钉上上装装有有一一个个可可以以不
22、不计计重重量量的的光光滑滑小小滑滑轮轮，绕绕过过滑滑轮轮的的起起重重钢钢丝丝绳绳一一端端悬悬重重量量G=1.5KNG=1.5KN的的重重物物，另另一一端端绕绕在在卷卷扬扬机机绞绞盘盘D D上上。当当卷卷扬扬机机开开动动时时，可可将将重重物物吊吊起起，设设ABAB和和BCBC两两杆杆不不计计本本身身重重量量，小小滑滑轮轮尺尺寸寸不不计计，并设重物匀速上长升试求并设重物匀速上长升试求ABAB杆和杆和BCBC杆所受的力。杆所受的力。BGACD解：在本题中，由于小滑轮上作解：在本题中，由于小滑轮上作用着所有有关的力，用着所有有关的力，而小滑轮尺而小滑轮尺寸可以不计寸可以不计，即这些力可以视为，即这些力
23、可以视为平面汇交力系，现取小滑轮为分平面汇交力系，现取小滑轮为分离体，绘受力图如右因滑轮光滑，离体，绘受力图如右因滑轮光滑， 故可不考虑摩擦，故绳故可不考虑摩擦，故绳BDBD段的拉段的拉力力N NBDBD和沿重物拉力相等且均为和沿重物拉力相等且均为。ABAB、BCBC均为二杆，它们对滑均为二杆，它们对滑轮的约束反力分别沿两杆轴线且轮的约束反力分别沿两杆轴线且均假设为拉力均假设为拉力30o45o29 为负值，说明与图中假设的方向相反，为负值，说明与图中假设的方向相反，BCBC杆受压杆受压GNBCNABGxy在滑轮在滑轮B B上建立一个坐标系如图，列平衡方程上建立一个坐标系如图，列平衡方程X=0X=0yy=0=0由上可解得由上可解得303-7、3-8作业31
