第二章初等模型

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1、第二章第二章第二章第二章初等模型初等模型初等模型初等模型 浙江大学数学建模实践基地浙江大学数学建模实践基地某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行行员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。2.1 舰艇舰艇的会合的会合令：令：则上式可简记成则上式可简记成 ：A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 护卫舰护卫舰 1 2 即：即：可化为：可化为：记记v2/

2、v1=a通常通常a1 则则汇合点汇合点 p必位于此圆上。必位于此圆上。 （护卫舰的路线方程）（护卫舰的路线方程）（航母的路线方程（航母的路线方程 ）即可求出即可求出P点的坐标和点的坐标和2 的值。的值。本模型虽简单，但分析本模型虽简单，但分析极极清晰清晰且且易于实际应用易于实际应用 2.2 双层玻璃的功效双层玻璃的功效在寒冷的北方，在寒冷的北方， 许多住房的许多住房的 玻璃窗都是双层玻璃窗都是双层玻璃的，现在我们来建立一个简单玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模的数学模型，研究一下双层玻璃到底有多型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。大的功效。比较两座其他条件完全相同的房屋，它们比较两座

3、其他条件完全相同的房屋，它们 的的差异仅仅在窗户不同。差异仅仅在窗户不同。 不妨可以提出以下不妨可以提出以下 假设假设：1、设室内热量的流失是热传导、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对引起的，不存在户内外的空气对流。流。2、室内温、室内温 度度T1与户外温与户外温 度度T2均均为常数。为常数。3、玻璃是均匀的，热传导系数、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。为常数。设玻璃的热传导系数设玻璃的热传导系数 为为k1，空气的，空气的热传导系数热传导系数 为为k2，单位时间通过单，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为的一侧的热量为Q d

4、dl室室外外T2室室内内T1TaTb由热传导公式由热传导公式 Q =kT/d 解得：解得：此函数的图形为此函数的图形为dd室室外外T2室室内内T1类似有类似有 一般一般故故记记h=l/d并令并令f(h)= 01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.91hf(h)考虑到考虑到美观美观和使用上和使用上 的的方便方便，h不必取得过大，例如，可不必取得过大，例如，可 取取h=3，即，即l=3d，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的时的 3% 。 2.3 崖高的估算崖高的估算假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功假如你站在崖顶且身

5、上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。我有一只具有跑我有一只具有跑 表功能的计算器。表功能的计算器。方法一方法一假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式来计算。例如，来计算。例如， 设设t=4秒，秒，g=9.81米米/秒秒2，则可求得，则可求得h78.5

6、米。米。 我学过微积分，我可以做我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属属空气阻力空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系速度，阻力系 数数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得：为常数，因而，由牛顿第二定律可得： 令令k=K/m，解得解得 代入初始条件代入初始条件 v(0)=0，得，得c=g/k，故有，故有 再积分一次，得：再积分一次，得： 若设若设k=0.05并仍设并仍设 t=4秒，则可求秒，则可求 得得h73.6米

7、。米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间反应时间 进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑进一步深入考虑不妨设不妨设平均反应时间平均反应时间 为为0.1秒秒 ，假如仍，假如仍 设设t=4秒，扣除反秒，扣除反应时间后应应时间后应 为为3.9秒，代入秒，代入 式式，求得，求得h69.9米。米。 多测几次，取平均值多测几次，取平均值再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑再一步深入考虑代入初始条代入初始条 件件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式：，得到计算山崖高度的公式： 将将e-kt用泰勒公式展开并用泰勒公式展开并 令令k 0+ ，即

8、可，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。得出前面不考虑空气阻力时的结果。还应考虑还应考虑回声回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间的真正时间 为为t1，声音传回来的时间记，声音传回来的时间记 为为t2，还得解一个，还得解一个方程组：方程组： 这一方程组是这一方程组是非线性非线性的，求的，求解不太容易，解不太容易，为了估算崖高为了估算崖高竟要去解一个竟要去解一个非线性主程组非线性主程组似乎不合情理似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次用方法二先求一次 h，令，令t2=h/3

9、40，校正，校正t，求石，求石块下落时间块下落时间 t1t-t2将将t1代入式代入式再算一次，得出再算一次，得出崖高的近似值。例如，崖高的近似值。例如， 若若h=69.9米，则米，则 t20.21秒，故秒，故 t13.69秒，求得秒，求得 h62.3米。米。 最小二乘法最小二乘法 插值方法插值方法 当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知当问题的机理非常不清楚难以直接利用其他知识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据识来建模时，一个较为自然的方法是利用数据进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系进行曲线拟合，找出变量之间的近似依赖关系即函数关系。即函数关系。2.4 经验模型经验模型最小二乘法最

10、小二乘法设经实际测量已得设经实际测量已得 到到n组数据（组数据（xi , yi），），i=1, n。将数据。将数据画在平面直角坐标系中，见画在平面直角坐标系中，见 图。如果建模者判断图。如果建模者判断 这这n个点很个点很象是分布在某条直线附近，令象是分布在某条直线附近，令 该直线方程该直线方程 为为y=ax+b，进而，进而利用数据来求参利用数据来求参 数数a和和b。由于该直线只是数据近似满足的关。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望一般不成立，但我们希望 最小最小此式对此式对a和和b的偏导数均的偏导数均 为为0，解相应方程组，求得：解相

11、应方程组，求得： y=ax+byO(xi ,yi)x其中其中 和和 分别为分别为xi和和yi的平均值的平均值 如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数，如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数，则可作则可作 变量替换变量替换使之转化为线性关系或用类似方使之转化为线性关系或用类似方 法法拟合拟合。显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重显然，运动员体重越大，他能举起的重量也越大，但举重成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的成绩和运动员体重到底是怎样关系的，不同量级运动员的成绩又如何比较优劣呢？运动成绩是包括生理条件、心理成绩又如何比较优劣呢？

12、运动成绩是包括生理条件、心理因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模因素等等众多相关因素共同作用的结果，要建立精确的模型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录，型至少现在还无法办到。但我们拥有大量的比赛成绩纪录，根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见，根据这些数据不妨可以建立一些经验模型。为简单起见，我们不妨取表中的数据为例。我们不妨取表中的数据为例。例例1（举重成绩的比较）（举重成绩的比较）举重举重是一种一般人都能看懂的运动，它共分是一种一般人都能看懂的运动，它共分九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举九个重量级，有两种主要的比赛方法：抓举和挺举。和挺举。 表中

13、给出了到表中给出了到1977年底为止九个年底为止九个重量级的世界纪录。重量级的世界纪录。255200110以上以上237.518511022118090207.517082.5195157.575180141.567.5161.513060151120.55614110952挺挺举（公斤）（公斤）抓抓举（公斤）（公斤）成成绩重量重量级（上限体（上限体重）重）模型模型1（线性模型）（线性模型） 将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体将数据画在直角坐标系中可以发现，运动成绩与体量近似满足线性关系，只有量近似满足线性关系，只有110公斤级有点例外，两公斤级有点例外，两项成绩都显得较低。应用前面

14、叙述的方法可求出近项成绩都显得较低。应用前面叙述的方法可求出近似关似关 系式系式L=kB+C，其中，其中B为体重，为体重，L为举重成绩。为举重成绩。你在作图你在作图 时时L轴可以放轴可以放 在在50公斤或公斤或52公斤处，因为公斤处，因为没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完没有更轻级别的比赛，具体计算留给读者自己去完成。成。 模型模型2（幂函数模型）（幂函数模型） 线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够想到的自然首先是幂函数模型，即令想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式，对此式取对数，得取对数，得 到到lnL=lnk+a

15、lnB。将原始数据也取对数，。将原始数据也取对数，问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的的Austin公式公式：L=L/B3/4就是用这一方法求得的。就是用这一方法求得的。 模型模型3（经典模型）（经典模型） 经典模型是根据生理学中的已知结果和比例关系推导出来的经典模型是根据生理学中的已知结果和比例关系推导出来的公式，应当说，它并不属于经验公式。为建立数学模型，先公式，应当说，它并不属于经验公式。为建立数学模型，先提出如下一些假设：提出如下一些假设： (

16、1)举重成绩正比于选手肌肉的平均横截举重成绩正比于选手肌肉的平均横截 面积面积A，即，即L=k1A(2)A正比于身高正比于身高 l的平方，即的平方，即 A=k2l2(3)体重正比于身高体重正比于身高 l的三次方，的三次方， 即即B=k3l3根据上述假设，可得根据上述假设，可得 显然，显然，K越大则成绩越好，故可用越大则成绩越好，故可用 来比较选手来比较选手比赛成绩的优劣。比赛成绩的优劣。 模型模型4（O Carroll公式）公式） 经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可经验公式的主要依据是比例关系，其假设条件非常粗糙，可信度不大，因而大多数人认为它不能令人信服。信度不大，因而大多

17、数人认为它不能令人信服。1967年，年，O Carroll基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的基于动物学和统计分析得出了一个现在被广泛使用的公式。公式。O Carroll模型的假设条件是：模型的假设条件是： (1) L=k1Aa, a1 (2) A=k2lb, bm）。由于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，）。由于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方程当且仅当可写故方程当且仅当可写 成成f(1，, m)=0时才是量纲齐次时才是量纲齐次的，定理证毕。的，定理证毕。 证证 设设x1,xk为方程中出现的变量与常数为方程中出现的变量与常数, ,对这些变量对这些变量与常数的任

18、一乘积与常数的任一乘积 ,令令 函数函数g建立了建立了xi(i=1,k)的乘积所组成的空间的乘积所组成的空间 与与k维欧维欧氏空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有氏空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有n个个,它们它们 为为y1,yn.用这些基本量纲来表达用这些基本量纲来表达 该该xi的乘幂的乘幂,设此乘幂的量纲为设此乘幂的量纲为 令令易见易见dg-1是是k维欧氏空间维欧氏空间 到到n维欧氏空间的一个变换，这维欧氏空间的一个变换，这里的里的g-1为为g的逆变换。的逆变换。 例例4（理想单摆的摆动周期）（理想单摆的摆动周期）考察质量集中于距支点为考察质量集中于距支点为 l 的质

19、点上的无阻的质点上的无阻尼尼 单摆，（如图），其运动为某周单摆，（如图），其运动为某周 期期 t 的的左右摆动，现希望得到周期左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间与其他量之间的的 关系。关系。lmg考察考察 ， 的量纲的量纲为为MaLb+dTc-2b若若 无量纲，则有无量纲，则有此方程组中不含此方程组中不含 e，故，故（0, 0, 0, 0, 1）为一解，对应的为一解，对应的1=即即为无量纲量。为求另一个无纲量可为无量纲量。为求另一个无纲量可 令令b=1，求得，求得（0，1，2，-1，0），），对应有对应有 故单摆公式可用故单摆公式可用 表示。表示。 从中解出显函数从中解出显函数 则可得

20、：则可得： 其中其中此即理想单摆的周期公式。当然此即理想单摆的周期公式。当然 k()是无法求得的，事实是无法求得的，事实上，需要用椭圆积分才能表达它。上，需要用椭圆积分才能表达它。 量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出，其

21、后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲抱有不切实际的过高要求，量纲分

22、析法的基础是公式的量纲齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如，公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的关系，量纲分析法根本无法加以研究。关系，量纲分析法根本无法加以研究。2.7 赛艇成绩的比较赛艇成绩的比较(比例模型比例模型)八人赛艇比赛和举重比赛一样，分八人赛艇比赛和举重比赛一样，分 成成86公斤公斤的重量级和的重量级和 73公斤的轻量级。公斤的轻量级。1971年，年，T.A.McMahon比较了比较了1964-1970年期间两次年期间两次奥运会和两次世锦赛成绩

23、，发现奥运会和两次世锦赛成绩，发现 86公斤级比公斤级比73公斤级的成绩大约好公斤级的成绩大约好5%，产生这一差异的，产生这一差异的原因何在呢？原因何在呢？ 我们将以我们将以L表示轻量级、以表示轻量级、以H表示重表示重量级，用量级，用S表示赛艇的浸水面积，表示赛艇的浸水面积，v表示赛艇速度，表示赛艇速度，W表示选手体重，表示选手体重，P表示选手的输出功率，表示选手的输出功率，I表示赛程，表示赛程，T表示比赛成绩（时间）。表示比赛成绩（时间）。 考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大考察优秀赛艇选手在比赛中的实际表现可以发现，整个赛程大致可以分三个阶段，致可以分三个阶段， 即即初

24、始时刻的加速阶初始时刻的加速阶 段段、中途的匀速阶中途的匀速阶段段和和到达终点的冲刺阶段到达终点的冲刺阶段 。由于赛程较长，可以略去前后两。由于赛程较长，可以略去前后两段而段而只考虑中间一段只考虑中间一段 ，为此，提出以下建模假设。，为此，提出以下建模假设。（1）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力）设赛艇浸水部分的摩擦力是唯一阻力，摩擦力f正比正比 于于Sv2,（见流体力学），空气阻力等其他因素不计。（见流体力学），空气阻力等其他因素不计。（2）同一量级的选手有相同的体重）同一量级的选手有相同的体重W，选手的输出功，选手的输出功 率率P正比于正比于W，且效率大体相同。，且效率大体相同。由

25、由假假设1，故，故 竞赛成成绩记比例系数比例系数 为k，则有有：故故由由假设假设2， 故故令令WH=86,WL=73,则有则有由于由于SL略小于略小于SH，故轻量级所化时间比重量级所化时间，故轻量级所化时间比重量级所化时间约约 多多5%左右。左右。2.8 方桌问题方桌问题将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不 允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转 ，是否总能设法使其四条腿同时落地？，是否总能设法使其四条腿同时落地？ 不附加任何条件，答案不附加任何条件，答案 显然显然 是否定的，是否定的， 因此我们因此我们假设假设 （

26、1）地面为连续曲面地面为连续曲面 （2）方桌的四条腿长度相方桌的四条腿长度相同同 （3）相对于地面的弯曲程相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长度而言，方桌的腿是足够长的的 （4）方桌的腿只要有一点方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。接触地面就算着地。总可以使三条腿总可以使三条腿同时着地。同时着地。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌图所示，方桌的四条腿分别在的四条腿分别在A、B、C、D处，处，A、C的初始位置在的初始位置在

27、x轴上，轴上，而而B、D则在则在y轴上，当方桌绕中轴上，当方桌绕中 心心0旋转时，对角线旋转时，对角线 AC与与x轴轴的夹角记为的夹角记为。容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令定的。为消除这一不确定性，令 f()为为A、C离地距离之和，离地距离之和，g()为为B、D离地距离之和，它们的值离地距离之和，它们的值 由由唯一确定。由唯一确定。由假设假设（1），），f()、g()均为均为的连续函数。又的连续函数。又 由由假设（假设（3），），三条腿三条腿总能同时着地，总能同时着地， 故故f()g()=0

28、必成立（必成立（ ）。不妨设）。不妨设f(0)=0,g(0)0（若（若g(0)也为也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：再旋转），于是问题归结为：yxCDABo已知已知f()、g()均为均为的连续函数，的连续函数，f(0)=0,g(0)0且对任意且对任意有有f()g()=0，求证存在某一，求证存在某一0，使，使f(0)=g(0)=0。 （证法一）（证法一）当当=/2时，时，AC与与BD互换位置，故互换位置，故f(/2)0 , g(/2)=0。作。作h()=f()-g()，显然，显然，h()也是也是的连续函数，的连续函数，h(0)=f(0)-

29、g(0)0，由连续函数的取，由连续函数的取零值定理，存在零值定理，存在 o，0o 0,g(/2)=0。令。令o =sup |f ()=0，0,显然显然0 0，总有，总有0且且0。因为。因为f(0+)g (o+)=0，故必有，故必有g (0+)=0，由，由可任意小且可任意小且g连续，可知必连续，可知必 有有 g (0)=0，证毕。证法，证毕。证法二除用二除用 到到f、g的连续性外，还用到了上确界的性质。的连续性外，还用到了上确界的性质。 在解决实际问题时，注意观察和善于想象是十分重要的，在解决实际问题时，注意观察和善于想象是十分重要的，观察与想象不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺观察与想象

30、不仅能发现问题隐含的某些属性，有时还能顺理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明，理成章地找到解决实际问题的钥匙。本节的几个例子说明，猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做猜测也是一种想象力。没有合理而又大胆的猜测，很难做出具有创新性的结果。开普勒的三大定律（尤其是后两条）出具有创新性的结果。开普勒的三大定律（尤其是后两条）并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，并非一眼就能看出的，它们隐含在行星运动的轨迹之中，隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例隐含在第谷记录下来的一大堆数据之中。历史上这样的例子实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们常子

31、实在太多了。在获得了一定数量的资料数据后，人们常常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证常会先去猜测某些结果，然后试图去证明它。猜测一经证明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常会被明就成了定理，而定理一旦插上想象的翅膀，又常常会被推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，推广出许多更为广泛的结果。即使猜测被证明是错误的，结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的更为深入结果也决不是一无所获的失败而常常是对问题的更为深入的了解。的了解。 2.9最短路径与最速方案问题最短路径与最速方案问题 例例5（最短路径问题）（最短路径问题） 设有一个半径为设有一个半径为 r 的圆形湖

32、，圆心为的圆形湖，圆心为 O。A、B 位于湖的两侧，位于湖的两侧，AB连线过连线过O，见图。，见图。现拟从现拟从A点步行到点步行到B点，在不得进入湖中的限点，在不得进入湖中的限 制下，问怎样的路径最近。制下，问怎样的路径最近。 ABOr将湖想象成凸出地面的木桩，将湖想象成凸出地面的木桩， 在在AB间拉一根软线，当间拉一根软线，当线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测线被拉紧时将得到最短路径。根据这样的想象，猜测 可以如下得到最短路径：可以如下得到最短路径： 过过A作圆的切线切圆于作圆的切线切圆于E，过，过B作圆的切线切圆作圆的切线切圆 于于F。最短路径为由线。最短路径为由线 段段AE、

33、弧、弧EF和线段和线段FB连接而成的连续曲线（根据对称性，连接而成的连续曲线（根据对称性，AE，弧弧EF，FB连接而成的连续曲线也是）。连接而成的连续曲线也是）。EFEF以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，以上只是一种猜测，现在来证明这一猜测是正确的。为此，先介绍一下凸集与凸集的性质。先介绍一下凸集与凸集的性质。定义定义2.1（凸集凸集）称集合）称集合 R为凸集，若为凸集，若x1、x2R及及0，1，总有总有x1+（1+）x2R。即若。即若x1、x2R，则，则x1、x2的连线必整个地落的连线必整个地落 在在R中。中。定理定理2.2（分离定理分离定理）对平面中的凸）对平面中的凸 集

34、集R与与R外的一点外的一点K，存在直线存在直线 l , l 分离分离R与与K，即，即R与与K分别位于分别位于 l 的两侧（注：的两侧（注：对一般的凸对一般的凸 集集R与与R外的一点外的一点K，则存在超平面分，则存在超平面分 离离R与与K），见图。），见图。klR下面证明猜想下面证明猜想猜测证明如下：猜测证明如下：（方法一）（方法一）显然，显然， 由由AE、EF、FB及及AE，EF，FB围成围成的区域的区域 R是一凸集。利用是一凸集。利用分离定理分离定理易证最短径不可能经过易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设外的点，若不然，设 为最短路径，为最短路径，过过R外的一点外的一点M，则，则必存在直

35、必存在直 线线l分离分离M与与R，由于路径，由于路径是连续曲线，由是连续曲线，由A沿沿到到M，必交，必交l于于M1，由，由M沿沿到到B又必交又必交l于于M2。这样，直线。这样，直线 段段M1M2的长度必小于路的长度必小于路 径径M1MM2的长度，与的长度，与是是A到到B的的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。内。不妨设路径经湖的上方到达不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧点，则弧EF必在路径必在路径F上，又上，又直线段直线段AE是由是由A至至E的最短路径，直线的最短路径，直线FB是由是由F到到B的最短的最短路径，猜测得证。路径，猜测得

36、证。ABOrEFEFM1M2Ml还可用还可用微积分微积分方法求弧长，根据计算证方法求弧长，根据计算证明满足限止条件的其他连续曲线必具有明满足限止条件的其他连续曲线必具有更大的长度；此外，本猜测也可用更大的长度；此外，本猜测也可用平面平面几何几何知识加以证明等。知识加以证明等。 根据猜测不难看出，根据猜测不难看出， 例例5中的条件可以大大放中的条件可以大大放松，可以不必松，可以不必 设设AB过圆心，甚至可不必设湖过圆心，甚至可不必设湖是圆形的。例如对是圆形的。例如对 下图，我们可断定由下图，我们可断定由A至至B的最短路径必的最短路径必 为为l1与与l2之一，其证明也不难类之一，其证明也不难类似给

37、出。似给出。 ABl1l2D到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，到此为止，我们的研讨还只局限于平面之中，其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间其实上述猜测可十分自然地推广到一般空间中去。中去。1973年，年，J.W.Craggs证明了以上结果：证明了以上结果：若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组若可行区域的边界是光滑曲面。则最短路径必由下列弧组成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域成，它们或者是空间中的自然最短曲线，或者是可行区域的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定的边界弧。而且，组成最短路径的各段弧在连接点处必定相切。相切。例例6 6 一辆汽车停于

38、一辆汽车停于 A A处并垂直于处并垂直于ABAB方向，此方向，此汽车可转的最小圆半径为汽车可转的最小圆半径为 R，求不倒车而由，求不倒车而由 A A到到B B的最短路径。的最短路径。解解（情况（情况1）若若|AB|2R，最短路径由，最短路径由 弧弧AC与切线与切线BC组组成（见成（见图图 ）。）。（情况（情况2）若若|AB|0为推力，为推力，fS，故由连续函数的性质存在，故由连续函数的性质存在 某某TT，S（T）=S但但这一结果与这一结果与=(t)是最优方案下的车速的假设矛盾，因为用我是最优方案下的车速的假设矛盾，因为用我们猜测的推车方法推车，只们猜测的推车方法推车，只 需需T时间即可将车推到

39、修车处，时间即可将车推到修车处， 而而TT。otATTASy=aty=-b(t-T) 圆周率是人类获得的最古老的数学概念圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约之一，早在大约37003700年前（即公元前年前（即公元前17001700年左右）的古埃及人就已经在年左右）的古埃及人就已经在 用用256/81256/81（约（约3.16053.1605）作为）作为的近似值了。几千年的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求来，人们一直没有停止过求的努力。的努力。2.10 的计算的计算 古古 典典 方方 法法 分分 析析 方方 法法 其其 它它 方方 法法 概率方法概率方法 数值积分方法数值积

40、分方法 古典方法古典方法用什么方法来计用什么方法来计 算算的近似值呢？显然，不可能仅根据的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。古典方法。6边形边形12边形边形24边形边形圆圆 阿基米德曾用圆内接阿基米德曾用圆内接 9696边形和圆外切边形和圆外切9696边形夹逼的方法证明了边形夹逼的方法证明了由由和和 导出导出 公元公元5世纪，祖冲之指出世纪，祖冲之指出比西方得到同样结比西方得到同样结果几乎早了果几乎早

41、了1000年年n三国时魏晋朝的大数学家刘徽（公元三世纪）就已经知道=3.1416。n祖先祖冲之给出的其实是以下结果： (1)约率22/7 (2)密率355/113 (3)3.14159263.1415927 要得到这一近似值需研究园内接2万4千多边形，至少需要仔细计算15年）。直到十五世纪中叶，阿拉伯人阿尔卡西给出的16位小数，这才打破了祖冲之的纪录，（计算园内接39321边形，正6边形等分16次） 十五世纪中叶，阿尔十五世纪中叶，阿尔卡西给出卡西给出的的16位小数，打破了祖冲之的纪录位小数，打破了祖冲之的纪录 1579年年, ,韦达证明韦达证明 1630年年, ,最后一位用古典方法求最后一位

42、用古典方法求的人的人格林伯格也只求到了格林伯格也只求到了的第的第39位小数位小数 分析方法分析方法从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求分析方法来求的近似值，其中应用的主的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求本节中我们将介绍一些用此类方法求近近似值的实例。似值的实例。取取取取 1656年，沃里斯年，沃里斯( (Wallis) )证明证明 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有在微积分中我们学过泰勒级数，其中有当当取取取取 在中学数学中证明过下面的等式在中学数学中证明

43、过下面的等式左边三个正方形左边三个正方形组成的矩形中，组成的矩形中， 由由 和和 可得可得 和和 的展开式的收敛速度的展开式的收敛速度都比都比 快得多快得多ACBD 麦琴麦琴( (Machin) )给出给出(Machin公式公式) )记记 ， ，得，得此式求得了此式求得了的第的第100位小数且全部正确位小数且全部正确为了求的近似值，人们推导出了许多公式，例如，光著名的数学大师们就推导出了如下的一些公式：部分其他公式 其它方法其它方法除用古典方法与分析方法求除用古典方法与分析方法求的近似值以的近似值以外，还有人用其他方法来求外，还有人用其他方法来求的近似值。的近似值。这里我们将介绍两种方法：这里

44、我们将介绍两种方法： 概率方法概率方法 数值积分方法数值积分方法 概率方法概率方法取一个二维数组（取一个二维数组（x,yx,y），取一个充分大的），取一个充分大的正整正整 数数n n，重复，重复n n次，每次独立地从次，每次独立地从 （0 0，1 1）中随机地取一对）中随机地取一对 数数x x和和y y ，分别检验，分别检验x x2 2+y+y2 211是否成立。是否成立。 设设n n次试验中等式成立次试验中等式成立的共有的共有m m次，令次，令4m/n4m/n。但这种方法很难得到但这种方法很难得到的较好的近似值。的较好的近似值。 数值积分方法数值积分方法还还可用其它数值积可用其它数值积分公式来求，但用分公式来求，但用此类方法此类方法效果也很效果也很难做得比用幂级数难做得比用幂级数展开更好展开更好 下接第三章