概率论与数理统计：第一章 随机事件及其概率

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1、概率论与数理统计概率统计是研究随机现象数量概率统计是研究随机现象数量规律的学科规律的学科, 理论严谨理论严谨, 应用广泛应用广泛, 发展迅速发展迅速. 不仅高等学校各专业都不仅高等学校各专业都开设了本课程开设了本课程, 而且在上世纪末，而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认研的数学课程之一，希望大家能认前前言言真学好这门不易学好的重要课程真学好这门不易学好的重要课程.国内有关经典著作国内有关经典著作1.1.概率论基础及其应用概率论基础及其应用 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.数理统计引论数理统计引论陈希儒著 科学出版

2、社 1981年版国外有关经典著作国外有关经典著作1.概率论的分析理论概率论的分析理论P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 统计学数学方法统计学数学方法H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作概率论的最早著作数理统计最早著作数理统计最早著作 概率统计专业概率统计专业首位中科院院士首位中科院院士本学科的本学科的 ABC概率概率(或然率或几率或然率或几率) 随机事件出现随机事件出现的可能性的量度的可能性的量度 其起源与博弈问题有关其起源与博弈问题有关.16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博博中的一些问题；中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学

3、家B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯惠更斯 基于排列组合的方基于排列组合的方法，研究了较复杂法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了解决了“ 合理合理分配赌注问题分配赌注问题” ( 即得分问题即得分问题 ).概率论是一门概率论是一门研究客观世界随机现象数量研究客观世界随机现象数量规律的规律的 数学分支学科数学分支学科.发展则在发展则在17世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.基人是瑞士数学家基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速伯努利；而概率论的飞速第二次世界大战军事上的需要以及大工业第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统

4、论、信息与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科论、控制论与数理统计学等学科.数理统计学是一门数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的和行动提供依据和建议的 数学分支学科数学分支学科.论；使论；使 概率论概率论 成为成为 数学的一个分支的真正奠数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率对客观世界中随机现象的分析产生了概率统计方法的数学理论要用到很多近

5、代数学统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这样说：样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中济的各

6、个部门中. 例如例如 气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)说：说：“ 生活中最重要的问题生活中最重要的问题 , 其中绝大其中绝大多数在实质上只是概率的问题多数在实质上只是概率的问题.”确定性现象确定性现象：在一定条件下必然出现的现象：在一定条件下必然出现的现象随机现象随机现象：在一定条件下我们事先无法：在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象准确预知其结果的现象1)拋掷一枚硬币，其结果可能是国徽面朝上，也可能是国徽面朝下，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。2)

7、足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。3) 股市的变化。第一章第一章 随机事件及其概率1.1 随机事件随机事件概率论是研究概率论是研究随机现象随机现象（偶然现象）的规（偶然现象）的规律性的科学。律性的科学。 对某事物特征进行观察, 统称试验试验.若它有如下特点,则称为随机试验随机试验,用E表示q 不确定性：试验前不能预知出现哪种结果 随机试验随机试验 q 可重复性：可在相同的条件下重复进行q 可观察性：试验结果不止一个,但能明确 所有的结果样本空间样本空间 随机试验E 所有可能的结果样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为组成的集合称为样本空间样本空间 记为或S样本点

8、样本点， 常记为 ， = 样本空间样本空间其中a, b分别是零件直径的最小与最大值测量某车间零件的直径.观察总机每天9:0010:00接到的电话次数投一枚硬币3次，观察正面出现的次数.例1 给出一组随机试验及相应的样本空间给出一组随机试验及相应的样本空间（1）如果观察取出的两个球的颜色，则有样本点：）如果观察取出的两个球的颜色，则有样本点：（2）如果观察取出的两个球的号码，则有样本点：）如果观察取出的两个球的号码，则有样本点：例2 设试验为从装有三个白球（记为设试验为从装有三个白球（记为1，2，3号）与号）与两个黑球（记为两个黑球（记为4，5号）中的袋中任取两个球。号）中的袋中任取两个球。注：

9、 同一题的样本空间随试验设计的不同而不同, 如 例2.随机试验的结果称为随机试验的结果称为事件事件。每次试验一定发生的事件称为每次试验一定发生的事件称为必然事件必然事件, 每次试验一定不发生的事件称为每次试验一定不发生的事件称为不可能事件不可能事件, 每次试验可能发生、也可能不发生的事件称每次试验可能发生、也可能不发生的事件称 为为随机事件随机事件（偶然事件偶然事件）. 随机事件随机事件 一般用大写英文字母A、B、C等表示随机事件，字母U表式必然事件，V表示不可能事件。n例：在例：在0、1、2、9中任取一数，则中任取一数，则 A：“取到取到0”，B：“取到奇数取到奇数”为随机事为随机事件；件；

10、 “取到取到10”为不可能事件为不可能事件V； “取到小于取到小于10的数的数”为必然事件为必然事件U. 随机事件随机事件 的一个子集, 记为 A ,B ,它是满足某些条件的样本点所组成的集合.事件的集合表示事件的集合表示如，例2中，设随机事件A表示“取出的两球都是白球.基本事件基本事件 仅由一个样本点组成的子集它是随机试验的直接结果,每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件. 必然事件必然事件U全体样本点组成的事件,即为样本空间, 每次试验必定发生的事件. 今后将必然事件记为不可能事件不可能事件V不包含任何样本点的事件,即为空集 ,每次试验必定不发生的事件.今后将不可能不可能事件记为.A 随

11、机事件的关系和运算集合之间的关系和运算维恩图维恩图 ( Venn diagram ) 事件的关系和运算事件的关系和运算 A 包含于B 事件 A 发生必导致事件 B 发生 A B 且1. 事件的包含2. 事件的相等 事件 A与事件B 至 少有一个发生发生的和事件 的和事件 A 与B 的和事件3. 事件的并(和) 或事件 A与事件B 同时 发生发生的积事件 的积事件 A 与B 的积事件 4. 事件的交(积)发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生 A 与B 的差事件5. 事件的差 A 与B 互斥A、 B不可能同时发生AB两两互斥两两互斥6. 事件的互斥(互不相容) A 与B 互相对立每次试验 A

12、、 B中有且只有一个发生A称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为注意：“A 与B 互相对立”与“A 与B 互斥”是不同的概念7. 逆事件8. 完备完备事件组若 两两互斥，且则称 为完备完备事件组或称 为 的一个划分q 交换律q 结合律q 分配律q 德摩根 定律(对 偶律）运算律运算律对应事件运算集合运算BCABA CA 分配律 图 示Aq 吸收律q 幂等律q 差化积q自反律补充：补充：A B B红色红色区域区域黄色黄色区域区域交交例例3 3 用图示法简化用图示法简化AA例例4 4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系A ,B ,C 都不发生 A ,B ,C至少发生其一例例5 5 在一批产品

13、中任取5件进行检查，则可能的结果是：未发现次品，发现一件次品，发现5件次品，设事件Ai表示“发现i件次品”，则B: “发现2件或3件次品”可以表示为C:“至多发现2件次品”可以表示为D:“至少发现2件次品”可以表示为1.2 随机事件的概率历史上概率的三次定义历史上概率的三次定义 公理化定义 统计定义 古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出n设随机事件设随机事件A在在n次试验中发生了次试验中发生了m次，则比次，则比值值m/n称为随机事件称为随机事件A的的相对频率相对频率（简称（简称频频 率率），记作），记作 ，用公式表示如下：，用公式表示如下：n频率性质：

14、频率性质： 频率频率 n 频率的稳定性频率的稳定性当试验次数充分大时，随机事件当试验次数充分大时，随机事件A的频率的频率常在一个确定的数字附近摆动。常在一个确定的数字附近摆动。稳定性稳定性某一定数某一定数投一枚硬币观察正面向上的次数 n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069 n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005频率稳定性的实例频率稳定性的实例 蒲丰( Buffon )投币 皮尔森( Pearson ) 投币 概率的概率的统计定义统计定义概率的定

15、义概率的定义1在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).对本定义的评价对本定义的评价优点：直观 易懂缺点：粗糙 模糊不便使用n概率的性质：概率的性质：设P(A)为事件的实函数,若P(A)满足 非负性非负性 0P(A)1; 规范性规范性 P()=1,P()=0; 可加性可加性 则称P(A)为概率的公理化定义概率的公理化定义.由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很多计算随机事件概率的方法.但都要求具有下面三个基本性质. 概率的公理化定义概率的公理化定义概率的重要性

16、质概率的重要性质(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立逆不一定成立.(2)若若AB=,则则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广可推广 到有限个到有限个互斥事件的情形互斥事件的情形.即即:若若A1,A2,An两两互斥两两互斥,则则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB), P(-A)=1-P(A). 若若A是是B的子事件的子事件,则则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B);证明证明 (3) A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(

17、AB).(4)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形可推广到有限个事件的情形.P(AUB)=PA+(B-AB)证明证明 (4) =P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)类似可证其他.得：P(B)=P(AUB)-P(A)=0.8-0.6=0.2， 例1. AB=，P(A)=0.6，P(AUB)=0.8， 求求 B的逆事件的概率。的逆事件的概率。所以，P（ ）=1-0.2=0.8解解 由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)

18、思考思考 在以上条件下，P（A-B）=？例例2 设A发生的概率是0.6，A与B都发生的概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15 ,求A发生B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(AUB).解解 由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1, P( )=0.15，则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5 P(B-A)=P(B)-P(AB）P（AUB）=1-P（ ）=1-P（ )=0.85又因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.2

19、5设 随机试验E 具有下列特点：q 基本事件的个数有限q 每个基本事件等可能性发生则称 E 为 古典(等可能)概型古典概型中概率的计算：记 则1.3古典（等可能）概型古典（等可能）概型 概率的概率的古典定义古典定义计算古典概率的方法：排列与组合计算古典概率的方法：排列与组合设完成一件事有设完成一件事有m种方式种方式, 其中其中第一种方式有第一种方式有种方法种方法,第二种方式有第二种方式有种方法种方法,，无论通过哪种方法都可以完成这件事无论通过哪种方法都可以完成这件事, 则完成这件则完成这件事的方法总数为事的方法总数为加法公式加法公式加法原理：加法原理：加法原理加法原理答答:共有共有3+2种方法

20、种方法.例如例如, 某人要从甲到乙地去某人要从甲到乙地去,可以乘火车或乘轮船可以乘火车或乘轮船,已知火车有两班已知火车有两班, 轮船有三班轮船有三班, 问共有多少种方法？问共有多少种方法？乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有 m个步骤个步骤, 其中其中第一个步骤有第一个步骤有种方法种方法,第二个步骤有第二个步骤有种方法种方法,必须通过每一步骤才算完成这件事必须通过每一步骤才算完成这件事.则完成这件事的方法总数为则完成这件事的方法总数为乘法公式乘法公式乘法原理乘法原理例如例如, 若一个男人有三顶帽子和两件背心若一个男人有三顶帽子和两件背心, 问他可问他可以有多少种打扮以有多少种打扮?答答

21、: 共有共有32种打扮种打扮.排列公式排列公式1. 从从n个不同元素任取个不同元素任取k个个的不同的不同排列排列总数总数为为k=n 时称其为时称其为全排列全排列:排列公式排列公式2.在允许重复条件下在允许重复条件下, 从从n个不同元素中取个不同元素中取k个个的不同排列总数为的不同排列总数为例如例如,从装有从装有4张卡片的盒中有放回地摸取张卡片的盒中有放回地摸取3张张, 则共则共有有种可能取法种可能取法.组合公式组合公式从从n个不同元素任取个不同元素任取k个个的不同组合总数的不同组合总数为为有时记作有时记作,称为称为组合系数组合系数.排列和组合的区别排列和组合的区别:顺序不同的排列视为不同的排列

22、顺序不同的排列视为不同的排列, 而组合与顺而组合与顺序无关序无关.解解例例1 1 在0,1,2,3, ,9中任取一个数，求取得奇数数字的概率。基本事件的总数N10.设 A为“取的奇数数字”, 则A所包含的基本事件数M5。所以所求概率为例例2 2 袋中有3 只白球，2 只黑球，从袋中任取2个球，求取出的球都是白球的概率解解E: 对球编号，任取两球:记事件 A 为取到2个白球，则例例3 3 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中不放回地取k个球（ ),求第k次取得白球的概率解解E: 球编号，不放回任取k个球:记事件 A 表示第k次取到白球则结论可直接用1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需设计符合

23、问题要求的随机试验, 使其成为等可能概型.2o 同一题的样本空间的基本事件总数 随试验设计的不同而不同。计算古典概率注意事项1.4 条件概率条件概率引例引例 两台车床加工同一种机械零件，第一两台车床加工同一种机械零件，第一台加工了台加工了35个合格品，个合格品，5个次品，第二台加工个次品，第二台加工了了50个合格品，个合格品，10个次品，个次品，. 现从所有零件中任取现从所有零件中任取1个零件。若已知取个零件。若已知取得的零件是第一台车床加工的，则取得合格品得的零件是第一台车床加工的，则取得合格品的概率是多少？的概率是多少？设设 A 表示任取一零件，取得第一台机床加工的；表示任取一零件，取得第

24、一台机床加工的； B 表示任取一零件，取得合格品表示任取一零件，取得合格品.条件概率条件概率古典概型古典概型所求的概率称为所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。记为记为解解 列表列表合格合格次品次品小计小计第一台机床第一台机床35540第二台机床第二台机床501060小计小计8515100 设A、B为两事件, P ( A ) 0 , 则称 为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率 ,即定义定义1 同理：同理：条件概率也是概率条件概率也是概率, , 故具有概率的性质：故具有概率的性质：可列可加性：若B1，B2，An，两两互不相容，则有条件概率与无条件概率条件概率与无

25、条件概率之间的大小无确定关系之间的大小无确定关系若若一般地一般地条件概率条件概率无条件概率无条件概率概率概率 P(A|B)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系联系：事件联系：事件A，B都发生了都发生了 区别：区别： （1）在）在P(A|B)中，事件中，事件A，B发生有时间上的差异，发生有时间上的差异，B先先A后；在后；在P（AB）中，事件）中，事件A，B同时发生。同时发生。（2）样本空间不同，在）样本空间不同，在P(A|B)中，事件中，事件B成为样本成为样本空间；在空间；在P（AB）中，样本空间仍为）中，样本空间仍为 。因而有因而有 （1） 古 典 概 型 可用缩减样本空间法（2） 其 他

26、概 型 用定义与有关公式条件概率的计算方法例例1 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，件二等品，规定一、二等品为合格品从中任取规定一、二等品为合格品从中任取1 件，求件，求 (1) 取得取得一等品的概率；一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等已知取得的是合格品，求它是一等品的概率品的概率 解解设表示取得一等品，表示取得合格品，则设表示取得一等品，表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以 （2）方法方法1：方法方法2： 因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一

27、等品，所以某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活，活到到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动岁的这种动物活到物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A表示表示“活到活到20岁岁”，B表示表示“活到活到25岁岁”则则 所求概率为所求概率为 利用条件概率求积事件的概率即为概率乘法定理概率乘法定理推广推广概率乘法定理概率乘法定理例例2 2 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次才取得一等品的概率;（3）取两次，已知第二次取得一等品

28、，求 第一次取得的是二等品的概率.解解 令 Ai 为第 i 次取到一等品（1）提问：第二次才取得一等品的概率, 是(2)(3)B1BnAB1AB2ABn全概率公式A全概率公式全概率公式 B2特别地：例例4 设设10件产品中有件产品中有4件不合格品，从件不合格品，从 中不放回取两中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概次，每次一件，求第二件为不合格品的概 率为多少率为多少？解解 设设A=第一次取得不合格品第一次取得不合格品,B=第二次取得不合格品第二次取得不合格品,则则 =(4/10)(3/9)+(6/10)(4/9)=2/5贝叶斯公式贝叶斯公式n后验概率后验概率 设设A1，A2，, A

29、n构成完备事件组，且诸构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则有则有( k =1 , 2 , , n)证明证明 贝叶斯公式贝叶斯公式 若若一一病病人人高高烧烧到到4 40 0，医医生生要要确确定定他他患患有有何何种种疾疾病病，则则必必须须考考虑虑病病人人可可能能发发生生的的疾疾病病A1,A2,An。这这里里假假定定一一个个病病人人不不会会同同时时得得几几种种病病，即即A1,A2,An互互不不相相容容，医医生生可可以以凭凭以以往往的的经经验验估估计计出出发发病病率率P(Ai)，这这通通常常称称为为先先验验概概率率。进进一一步步要要考考

30、虑虑的的是是一一个个人人高高烧烧到到4 40 0时时，得得Ai这这种种病病的的可可能能性性，即即P(Ai|B)的的大大小小，它它可可由由B Ba ay ye es s公公式式计计算算得得到到。这这个个概概率率表表示示在在获获得得新新的的信信息息( (即即知知病病人人高高烧烧4 40 0) )后后，病病人人得得A1,A2,An这这些些疾疾病病的的可可能能性性的的大大小小，这这通通常常称称为为后后验验概概率率。有有了了后后验验概概率率，就就为为医医生生的的诊诊断断提提供供了了重重要要依依据据。 若我们把若我们把B视为观察的视为观察的“结果结果”，把，把A1,A2, An理解为理解为“原因原因”，则

31、，则BayesBayes公式反映了公式反映了“因果因果”的概率规律，并作出了的概率规律，并作出了“由果朔因由果朔因”的推断。的推断。例例1 1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.事件的独立性事件的独立性 设第 i 次求取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) .解解1.5 事件的独立性事件的独立性事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响可视为事件A1与A2相互独立定义定义1设 A , B 为两事件，若则称事件 A 与事件 B 相互独立 两事件相互独立的性质两事件相互独立的性质q 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的若q 推论推论 在在 A 与与

32、 B, 与与 B, A 与与 ， 与与 这四这四对事件中对事件中,若有一对独立若有一对独立,则另外三对也相互独则另外三对也相互独立。立。注意注意 判断事件的独立性一般有两种方法判断事件的独立性一般有两种方法: 由定义判断由定义判断,是否满足公式是否满足公式; 由问题的性质从直观上去判断由问题的性质从直观上去判断.三事件三事件 A A, , B B, , C C 相互独立相互独立是指下面的关系式同时成立：注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 (1)(2)A, B, C 相互独立A, B, C 两两独立 定义定义2 n 个事件 A1, A2

33、, , An 相互独立 是指下面的关系式同时成立定义定义3注意注意:从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.例例2 2 随机投掷编号为随机投掷编号为 1 1 与与 2 2 的两个骰子的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数 则但本例说明本例说明 不能由 A, B, C 两两独立A, B, C 相互独立一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联并联1221系统的可靠性问题例例3 3设 两系统都是由 4 个

34、元件组成,每个元件正常工作的概率为 pi (i=1,2,3,4), 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，两系统的可靠性.A1A2S1:A3A4(所有的元件都能正常工作时系统才能正常工作。)B1B2B3B4S2:(所有的元件都不能正常工作时,系统才不能正常工作。)练习课本练习课本P26 例例2 n重Bernoulli试验中事件 A 出现 m次的概率 记为且每次试验A发生的概率不变伯努利概型（伯努利概型（独立试验序列）独立试验序列） 每次试验的结果与其他次试验无关 称为这 n 次试验是相互独立的 在相同条件下,试验可重复 n 次每次试验只有两个可能的结果： n 重伯努利伯努利

35、 (Bernoulli) 试验）：则则定理定理 3 n 重Bernoulli 试验中，若概率 就等于二项式 的展开式中 的系数。因此，我们以后将概率 的分布叫做二项分布。例例4 4 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解解 每取一个球看作是做了一次试验记取得白球为事件 A ，有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 则有：例例5 5 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被击毁的概率. 解解 设炮击中目标为事件A, 标被击毁为事件B, 各炮

36、命中概率 p = 0.6, 则设目 某市进行艺术体操赛某市进行艺术体操赛, 需设立两个裁需设立两个裁判组判组, 甲组甲组3名名,乙组乙组1名名. 但组委会只召集但组委会只召集到到3名裁判名裁判, 由于临近比赛由于临近比赛, 便决定调一名便决定调一名不懂行的人参加甲组工作不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独其中两裁判独立地以概率立地以概率 p 作出正确裁定作出正确裁定,而第三人以而第三人以掷硬币决定掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定最后根据多数人的意见决定.乙组由乙组由 1 个人组成个人组成, 他以概率他以概率 p 做出正确做出正确裁定裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大问哪一组做出正确裁定的概率大 ? 问问 题题