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1、*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积数量积 向量积 *混合积 第八八章 内积向量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为内积向量积记作故2. 性质性质为两个非零向量, 则有 内积向量积3. 运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律(3) 分配律事实上, 当时, 显然成立 ;内积向量积例例1. 证明三角形余弦定理证证:则如图 . 设内积向量积4. 数量积的坐标表示
2、数量积的坐标表示设则当为非零向量时, 由于两向量的夹角公式 , 得内积向量积例例2. 已知三点 AMB . 解解:则求故内积向量积为 ) .求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度例例3. 设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域 ,与该平面域的单位垂直向量解解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位向量内积向量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力内积向量积1. 定义定义定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,称
3、引例中的力矩思考思考: 右图三角形面积S内积向量积2. 性质性质为非零向量, 则3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)证明证明:内积向量积4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则内积向量积向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法内积向量积例例4. 已知三点角形 ABC 的面积 解解: 如图所示,求三内积向量积一点 M 的线速度例例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . 解解: 在轴 l 上引进一个角速度向量使其在 l 上任取一点 O,作它与则点 M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为 , 方向与旋转方向符合右手法则 ,向径内积向量积思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .答案答案:2. 用向量方法证明正弦定理:内积向量积证证: 由三角形面积公式所以因内积向量积1. 已知向量的夹角且解：解：内积向量积在顶点为三角形中, 求 AC 边上的高 BD .解：解：三角形 ABC 的面积为 2.而故有内积向量积
