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1、第第2 2节排列与组合节排列与组合考纲展示考纲展示1.1.理解排列理解排列组合的概念合的概念. .2.2.理解排列数公式、理解排列数公式、组合数公式合数公式. .3.3.能利用公式解决一些能利用公式解决一些简单的的实际问题. .知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破易错易混辨析易错易混辨析 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】1.1.排列问题和组合问题的区别是什么排列问题和组合问题的区别是什么? ?提示提示: :元元素之间与顺序有关的为排列、与顺序无关的为组合素之间与顺序有关的为排列、与顺序无关的为组合. .2.2.排列数与组合数之间有何
2、关系排列数与组合数之间有何关系? ?知识梳理知识梳理 1.1.排列排列(1)(1)排列的定义排列的定义: :从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素, ,按照一定的按照一定的 排排成一列成一列, ,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个排列个元素的一个排列. .(2)(2)排列数排列数: :从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有不同排列的个元素的所有不同排列的 , ,叫叫做从做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的排列数个元素的排列数, ,用符号用符号 表示表示. .顺序顺序个数
3、个数n!n!2.2.组合组合(1)(1)组合的定义组合的定义: :从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素 一组一组, ,叫做从叫做从n n个个不同元素中取出不同元素中取出m m个元素的一个组合个元素的一个组合. .合成合成(2)(2)组合数的定义组合数的定义: :从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有不同组合的个元素的所有不同组合的 , ,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的组合数个元素的组合数, ,用符号用符号 表示表示. .个数个数双基自测双基自测 1. 1. 将将2 2名教师、名教师、4
4、4名学生分成名学生分成2 2个小组个小组, ,分别安排到甲、乙两地参加社会实践分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动活动, ,每个小组由每个小组由1 1名教师和名教师和2 2名学生组成名学生组成, ,不同的安排方案共有不同的安排方案共有( ( ) )(A)10(A)10种种(B)9(B)9种种(C)12(C)12种种(D)8(D)8种种C CB B2.22.2名男生名男生4 4名女生排成一排名女生排成一排, ,则男生不相邻的排法种数为则男生不相邻的排法种数为( ( ) )(A)600(A)600(B)480(B)480(C)360(C)360(D)240(D)2403 3.(2017.(2017
5、北京东城区二模北京东城区二模) )某校开设某校开设A A类选修课类选修课4 4门门, B, B类选修课类选修课2 2门门, ,每位每位同学需从两类选修课中共选同学需从两类选修课中共选4 4门门. .若要求至少选一门若要求至少选一门B B类课程类课程, ,则不同的选法则不同的选法共有共有种种.(.(用数字作答用数字作答)答案答案: :14144 4.(2017.(2017浙江嘉兴一中适考浙江嘉兴一中适考) )电影院一排电影院一排1010个位置个位置, ,甲、乙、丙三人去看甲、乙、丙三人去看电影电影, ,要求他们坐在同一排要求他们坐在同一排, ,那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间那么他们每人
6、左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有的坐法有种种.答案答案: :4040 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 排列问题排列问题【例例1 1】 (1) (1) 导学号导学号 1870256118702561 我国第一艘航母我国第一艘航母“辽宁舰辽宁舰”在某次舰载机在某次舰载机起降飞行训练中起降飞行训练中, ,有有5 5架歼架歼1515飞机准备着舰飞机准备着舰, ,如果甲、乙两机必须相邻着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰, ,而丙、丁两机不能相邻着舰而丙、丁两机不能相邻着舰, ,那么不同的着舰方法种数为那么不同的着舰方法种数为( () )(A) 12(A) 12(B
7、)18(B)18 (C)24 (C)24 (D)48 (D)48(2)(2)(2016(2016河南南阳模拟河南南阳模拟) )从从0,1,2,3,40,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四中任取四个数字组成无重复数字的四位数位数, ,其中偶数的个数是其中偶数的个数是( () )(A)36 (A)36 (B)48 (B)48 (C)60 (C)60 (D)72(D)72反思归纳反思归纳 (1) (1)解排列问题的两个基本方法解排列问题的两个基本方法: :直接法和间接法直接法和间接法.(2).(2)基本技基本技巧巧: :相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊元素优先法相邻问题捆绑法、不相
8、邻问题插空法、特殊元素优先法. .跟踪训练跟踪训练1:1:6 6个人站成一排个人站成一排, ,其中甲、乙必须站在两端其中甲、乙必须站在两端, ,且丙、丁相邻且丙、丁相邻, ,则不同则不同站法的种数为站法的种数为( () )(A)12 (A)12 (B)18 (B)18 (C)24 (C)24 (D)36(D)36考点二考点二 组合问题组合问题【例例2 2】 (1) (1) 导学号导学号 38486204 (201738486204 (2017辽宁省实验中学模拟辽宁省实验中学模拟) )篮球比赛中每篮球比赛中每支球队的出场阵容由支球队的出场阵容由5 5名队员组成名队员组成,2017,2017年的年
9、的NBANBA篮球赛中篮球赛中, ,休斯敦火箭队采取休斯敦火箭队采取了了“八人轮换八人轮换”的阵容的阵容, ,即每场比赛只有即每场比赛只有8 8名队员有机会出场名队员有机会出场, ,这这8 8名队员中包名队员中包含两名中锋含两名中锋, ,两名控球后卫两名控球后卫, ,若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋若要求每一套出场阵容中有且仅有一名中锋, ,至至少包含一名控球后卫少包含一名控球后卫, ,则休斯敦火箭队的主教练一共有则休斯敦火箭队的主教练一共有种出场阵容种出场阵容的选择的选择.(.()(A)16 (A)16 (B)28 (B)28 (C)84 (D)96(C)84 (D)96答案答案: :
10、(1)B(1)B (2)(2)甲组有甲组有5 5名男同学名男同学,3,3名女同学名女同学; ;乙组有乙组有6 6名男同学、名男同学、2 2名女同学名女同学. .若从甲、乙两若从甲、乙两组中各选出组中各选出2 2名同学名同学, ,则选出的则选出的4 4人中恰有人中恰有1 1名女同学的不同选法共有名女同学的不同选法共有 种种.答案答案: :(2)345 (2)345 (3)(3)(2017(2017浙江卷浙江卷) )从从6 6男男2 2女共女共8 8名学生中选出队长名学生中选出队长1 1人人, ,副队长副队长1 1人人, ,普通队员普通队员2 2人组成人组成4 4人人服务队服务队, ,要求服务队中
11、至少有要求服务队中至少有1 1名女生名女生, ,共有共有种不同的选法种不同的选法. .( (用数字作答用数字作答)答案答案: :(3)660(3)660反思归纳反思归纳 如果元素之间与顺序无关则是组合问题如果元素之间与顺序无关则是组合问题, ,解题中要根据问题的具体情解题中要根据问题的具体情况辨别是组合问题还是排列问题况辨别是组合问题还是排列问题. .在含有限制条件的组合问题中要考虑特殊元素在含有限制条件的组合问题中要考虑特殊元素, ,进行必要的分类和分步进行必要的分类和分步, ,如果正面解答困难如果正面解答困难, ,可考虑使用间接法求解可考虑使用间接法求解. .跟踪训练跟踪训练2 2:(1)
12、:(1)(2016(2016辽宁大连质检辽宁大连质检) )某校开设某校开设A A类选修课类选修课2 2门门,B,B类选修课类选修课3 3门门, ,一位同学一位同学从中选从中选3 3门门. .若要求两类课程中各至少选一门若要求两类课程中各至少选一门, ,则不同的选法共有则不同的选法共有( () )(A)3(A)3种种(B)6(B)6种种(C)9(C)9种种(D)18(D)18种种(2)(2)(2016(2016北京通州模拟北京通州模拟) )现有现有1212件商品摆放在货架上件商品摆放在货架上, ,摆成上层摆成上层4 4件下层件下层8 8件件, ,现要从下现要从下层层8 8件中取件中取2 2件调整
13、到上层件调整到上层, ,若其他商品的相对顺序不变若其他商品的相对顺序不变, ,则不同调整方法的种数是则不同调整方法的种数是( () )(A)420(A)420(B)560(B)560(C)840(C)840(D)2 160(D)2 160考点三考点三 排列与组合的综合问题排列与组合的综合问题【例【例3 3】 (1) (1) 导学号导学号 38486205 (2017 38486205 (2017全国全国卷卷) )安排安排3 3名志愿者完成名志愿者完成4 4项工作项工作, ,每人至少完成每人至少完成1 1项项, ,每项工作由每项工作由1 1人完成人完成, ,则不同的安排方式共有则不同的安排方式共
14、有( () )(A)12(A)12种种(B)18(B)18种种(C)24(C)24种种(D)36(D)36种种答案答案: :(1)D(1)D (2)(2)(2017(2017广东深圳广东深圳4 4月调研月调研) )某学校需从某学校需从3 3名男生和名男生和2 2名女生中选出名女生中选出4 4人人, ,分派到分派到甲、乙、丙三地参加义工活动甲、乙、丙三地参加义工活动, ,其中甲地需要选派其中甲地需要选派2 2人且至少有人且至少有1 1名女生名女生, ,乙地和乙地和丙地各需要选派丙地各需要选派1 1人人, ,则不同的选派方法的种数是则不同的选派方法的种数是 ( () )(A)18 (A)18 (B
15、)24 (B)24 (C)36 (C)36 (D)42(D)42答案答案: :(2)D(2)D (3)(3)(2017(2017天津卷天津卷) )用数字用数字1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字组成没有重复数字, ,且至多有一个且至多有一个数字是偶数的四位数数字是偶数的四位数, ,这样的四位数一共有这样的四位数一共有个个.(.(用数字作答用数字作答)答案答案: :(3)1 080 (3)1 080 反思归纳反思归纳 (1) (1)在排列问题中在排列问题中:当可供使用的元素的个数多于使用的元素个数当可供使用的元素的个数多于使用的元素个数时时, ,需
16、要先选后排需要先选后排;当某些元素的选用受到限制时需要优先把受到限制的元素当某些元素的选用受到限制时需要优先把受到限制的元素分情况处理分情况处理.(2).(2)在分组、分配问题中在分组、分配问题中, ,要先分组后分配要先分组后分配, ,同时注意区分均匀分组、同时注意区分均匀分组、不均匀分组、部分均匀分组等情况不均匀分组、部分均匀分组等情况. .跟踪训练跟踪训练3 3:(1):(1)(2017(2017江西重点中学盟校第二次联考江西重点中学盟校第二次联考) )将将A,B,C,D,EA,B,C,D,E这这5 5名同学从名同学从左至右排成一排左至右排成一排, ,则则A A与与B B相邻且相邻且A A
17、与与C C之间恰好有一名同学的排法有之间恰好有一名同学的排法有( () )(A)18(A)18种种(B)20(B)20种种(C)21(C)21种种(D)22(D)22种种(2)(2)(2017(2017陕西渭南二模陕西渭南二模) )在某商业促销的最后一场活动中在某商业促销的最后一场活动中, ,甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁、戊、己戊、己6 6名成员随机抽取名成员随机抽取4 4个礼品个礼品, ,每人最多抽一个礼品每人最多抽一个礼品, ,且礼品全被抽光且礼品全被抽光, 4, 4个礼个礼品中有两个完全相同的笔记本电脑品中有两个完全相同的笔记本电脑, ,两辆完全相同的山地车两辆完全相同的山地车, ,则
18、甲、乙两人都抽则甲、乙两人都抽到礼品的情况有到礼品的情况有( () )(A)36(A)36种种 (B)24(B)24种种(C)18 (C)18 种种 (D)9 (D)9 种种备选例题备选例题 【例题例题】 某课外活动小组共有某课外活动小组共有1313人人, ,其中男生其中男生8 8人人, ,女生女生5 5人人, ,并且男、女生各指并且男、女生各指定一名队长定一名队长, ,现从中选现从中选5 5人主持某种活动人主持某种活动, ,依据下列条件各有多少种选法依据下列条件各有多少种选法? ?(1)(1)只有只有2 2名女生名女生; ;(2)(2)两队长当选两队长当选; ;(3)(3)至少有一名队长当选至少有一名队长当选; ;(4)(4)至多有两名女生当选至多有两名女生当选. . 易错易混辨析易错易混辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼元素相同的排列组合的易误点元素相同的排列组合的易误点【典例】【典例】1010个优秀指标名额分配给个优秀指标名额分配给6 6个班级个班级, ,每个班至少一个每个班至少一个, ,则不同的分配则不同的分配方法的种数为方法的种数为.答案答案: :126126
