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1、 第九章 *二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 应用 第三节一元函数 y = f (x) 的微分近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容本节内容:一、全微分的定义、全微分的定义 全微分一、全微分的定义、全微分的定义 定义定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )可表示成其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，称为函数在点 (x, y) 的全微分全微分, 记作若函数在域 D 内各点都可微,则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微可微，机动 目录 上页 下页 返回 结束
2、处全增量则称此函数在在D 内可微内可微.(2) 偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1) 函数可微函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微由微分定义 :得函数在该点连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即定理定理1 1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可可微微 ,则该函数在该点偏导数同样可证证证: 由于z = f (x, y) 可微可微 ，则则必存在,且有因此有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例反例: 函数易知 但因此,函数在点 (0,0) 不可微 .注意注意: 定理1 的逆定理不成立 .偏导数存在函数
3、 不一定可微 !即:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 (充分条件)证证：若函数若函数有一阶有一阶连续连续偏导数偏导数, ,则函数一定则函数一定可微可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以函数可微.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意到故有，则推广推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如, 三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,的全微分为于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法一：方法一：讨论讨论 z= f (x, y)在在(x0, y0)点是否可微的方法点是否可微的方法若若z= f (x, y)在在(x0, y0)点不连续，则不可点不连续，则不可微微
4、方法二：方法二：偏导数偏导数 (有一个有一个)不存在，则不可不存在，则不可微微判断：判断：若若 存在，则存在，则（因为偏导数存在，函数未必可微）方法三：方法三：例例1. 讨论下列函数在（讨论下列函数在（0,00,0）点是否可微）点是否可微例例2. 计算函数在点 (2,1) 处的全微分. 解解:例例3. 计算函数的全微分. 解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可知当*二、全微分在数值计算中的应用二、全微分在数值计算中的应用 近似计算近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算) 例例4.4.计算的近似值.
5、解解: 设,则取则机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分定义:2. 重要关系:函数可导函数可导函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数连续函数连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 微分应用 近似计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题函数在可微的充分条件是( )的某邻域内存在 ;时是无穷小量 ;时是无穷小量 .1. 选择题机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 (0,0) 可微 .备用题备用题在点 (0,0) 连续且偏导数存在,续,证证: 1) 因故函数在点 (0, 0) 连续 ; 但偏导数在点 (0,0) 不连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 证明函数所以同理极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;同理 ,在点(0,0)也不连续.2)3)题目 目录 上页 下页 返回 结束 4) 下面证明可微 :说明说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目 目录 上页 下页 返回 结束
