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1、第十七章坐标系与参数方程高考理数高考理数1.坐标系与极坐标(1)极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.(2)直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任
2、意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(,),则知识清单(3)直线的极坐标方程:若直线过点M(0,0),且与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-)=0sin(0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程:(i)直线过极点:=0和=-0;(ii)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:cos=a;(iii)直线过点M且平行于极轴:sin=b.(4)圆的极坐标方程:圆心为M(0,0),半径为r的圆的方程为2-20cos(-0)+-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程:(i)圆心位于极点,半径为r:=r;(ii)圆心位于M(a,0),半径为a:=2acos;(iii)圆心位于M,半径为a:=2asi
3、n.2.参数方程(1)参数方程的意义一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,由上述方程组所确定的点(x,y)都在这条曲线上,则该方程叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.注意:相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.(2)常见曲线的参数方程的一般形式(i)经过点P0(x0,y0),倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数).设P是直线上的任一点,则t表示有向线段的数量.(ii)圆的参数方程为(为参数).(iii)圆锥曲线的参数方程椭圆+=1(ab0)的参数方程为(为参数),双曲线-=
4、1(a0,b0)的参数方程为(为参数),抛物线y2=2px的参数方程为(t为参数).注:曲线上任一点的坐标都可用一个参数表示,变元只有一个.特别对于圆、圆锥曲线有很大用处.参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、三角恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形.无论极坐标方程、参数方程还是普通方程,在进行互化时,一定要注意变量的范围,要注意转化的等价性.求曲线的极坐标方程的一般步骤:例例1(2015课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半
5、轴为极轴建立极坐标系.突破方法方法方法1极坐标方程及应用极坐标方程及应用(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解析解析(1)因为x=cos,y=sin,所以C1的极坐标方程为cos=-2,C2的极坐标方程为2-2cos-4sin+4=0.(5分)(2)将=代入2-2cos-4sin+4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=,故1-2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.(10分)规律总结规律总结直角坐标(x,y)化为极坐标(,)的步骤:(1)运用=,tan=(x0);(2)在0,2)内由ta
6、n=(x0)求时,先由直角坐标的符号特征判断点所在的象限和极角的范围,再求的值.直角坐标方程极坐标方程1-1(2015贵州遵义一模,23,10分)已知在一个极坐标系中,点C的极坐标为.(1)求出以C为圆心,2为半径长的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形;(2)在极坐标系中,以圆C所在极坐标系的极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点,Q(5,-),M是线段PQ的中点,当点P在圆C上运动时,求点M的轨迹的普通方程.解析解析(1)如图,设圆C上任意一点A(,),则AOC=-或-.由余弦定理得4+2-4cos=4,圆C的极坐标方程为=4cos.(2)在直角坐标系中,点
7、C的坐标为(1,),可设圆C上任意一点P(1+2cos,+2sin),设M(x,y),由Q(5,-),M是线段PQ的中点,得M的参数方程为(为参数).点M的轨迹的普通方程为(x-3)2+y2=1.参数方程化为普通方程的注意事项:在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅要把参数消去,还要注意x、y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.例例2(2014课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos,.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=
8、x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的参数方程为(t为参数,0t).(2)设D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.方法方法2参数方程及应用参数方程及应用因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tant=,t=.故D的直角坐标为,即.规律总结规律总结由参数方程得到普通方程的思路是消参,消去参数的方法要视情况而定,一般有三种情况:(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数,或直接利用加减消元法消参;(2)利用三角恒等式消去参数,一般是
9、将参数方程中的两个方程分别变形,使得一个方程一边只含有sin,另一个方程一边只含有cos,两个方程分别平方后两式左右相加消去参数;(3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数.2-1(2016云南昆明质检三,23,10分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).解析解析(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+
10、16=0得2-8cos-10sin+16=0.所以C1的极坐标方程为2-8cos-10sin+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.涉及参数方程和极坐标方程的综合题,求解方法一般是分别化普通方程和直角坐标方程后求解,要求掌握直线、圆及圆锥曲线的极坐标方程和参数方程.例例3(2015课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin,C3:=2cos.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1
11、与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.方法方法3参数方程与极坐标方程的综合应用参数方程与极坐标方程的综合应用(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0.因此A的极坐标为(2sin,),B的极坐标为(2cos,).所以|AB|=|2sin-2cos|=4.当=时,|AB|取得最大值,最大值为4.3-1(2015甘肃一模,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是2sin=3,射线OM:=与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析解析(1)利用cos2+sin2=1,可把圆C的参数方程(为参数)化为(x-1)2+y2=1,2-2cos=0,即=2cos.(2)设(1,1)为点P的极坐标,由解得设(2,2)为点Q的极坐标,由解得1=2,|PQ|=|1-2|=2.|PQ|=2.
