《高考数学大一轮复习 第五篇 数列 第3节 等比数列课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学大一轮复习 第五篇 数列 第3节 等比数列课件 理（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第3 3节等比数列节等比数列最新考纲最新考纲1.1.理解等比数列的概念理解等比数列的概念. .2.2.掌握等比数列的通项公式与前掌握等比数列的通项公式与前n n项和公式项和公式. .3.3.能在具体的问题情境中识别数列的等能在具体的问题情境中识别数列的等比关系比关系, ,并能用有关知识解决相应的问题并能用有关知识解决相应的问题. .4.4.了解等比数列与指数函数的关系了解等比数列与指数函数的关系. .考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来 【教材导读】【教材导读】 1.1.如何推导等比数列的通项公
2、式如何推导等比数列的通项公式? ?提示提示: :可采用累积法推导可采用累积法推导. .2.b2.b2 2=ac=ac是是a,b,ca,b,c成等比数列的什么条件成等比数列的什么条件? ?提示提示: :必要而不充分条件必要而不充分条件, ,因为因为b b2 2=ac=ac时时, ,不一定有不一定有a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列( (如如a=0,b=0,c=1),a=0,b=0,c=1),而而a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列, ,则必有则必有b b2 2=ac.=ac.3.3.如何推导等比数列的前如何推导等比数列的前n n项和公式项和公式? ?提示提示: :可用错位相减法推导可用
3、错位相减法推导. .知识梳理知识梳理1.1.等比数列的相关概念等比数列的相关概念(1)(1)定义定义: :如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起, ,每一项与它的前一项的比等于每一项与它的前一项的比等于常数常数, ,那么这个数列叫做等比数列那么这个数列叫做等比数列, ,这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的 , ,通常通常用字母用字母q(q0)q(q0)表示表示. .符号表示为符号表示为 ,q,q为常数为常数. .(2)(2)等比中项等比中项: :如果三个数如果三个数a,G,ba,G,b成等比数列成等比数列, ,则则G G叫做叫做a a和和b b的等比中项的等比中项, ,那那么么
4、 , ,即即G G2 2= = . .2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式(1)(1)设等比数列设等比数列 a an n 的首项为的首项为a a1 1, ,公比为公比为q,q0,q,q0,则它的通项公式则它的通项公式a an n= = . .(2)(2)通项公式的推广通项公式的推广a an n=a=am m . .同一个同一个公比公比ababa a1 1q qn-1n-1q qn-mn-m3.3.等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式S Sn n= =4.4.等比数列的常见性质等比数列的常见性质(3)(3)在等比数列在等比数列aan n 中中, ,等距离取出若干项也构成一个等比
5、数列等距离取出若干项也构成一个等比数列, ,即即a an n,a,an+kn+k, ,a an+2kn+2k,a,an+3kn+3k,为等比数列为等比数列, ,公比为公比为q qk k. .(4)(4)公比不为公比不为-1-1的等比数列的等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n仍成仍成等比数列等比数列, ,其公比为其公比为q qn n, ,当公比为当公比为-1-1时时,S,Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n不一定构成等比不一定构成等比数列数列. .5.5.等
6、比数列的单调性等比数列的单调性当当q1,aq1,a1 100或或0q1,a0q1,a1 101,aq1,a1 100或或0q1,a0q00时时,a,an n 是递减数列是递减数列; ;当当q=1q=1时时,a,an n 是常数列是常数列. .6.6.等比数列与指数函数的关系等比数列与指数函数的关系当当q1q1时时,a,an n= = q qn n, ,可以看成函数可以看成函数y=cqy=cqx x, ,是一个不为是一个不为0 0的常数与指数函数的常数与指数函数的乘积的乘积, ,因此数列因此数列 a an n 各项所对应的点都在函数各项所对应的点都在函数y=cqy=cqx x的图象上的图象上.
7、.对点自测对点自测解析解析: :正确正确; ;等差数列等差数列2,2,2,2,2,2,2,2,也是等比数列也是等比数列, ,故故错误错误; ;常数列常数列0,0,0,0,0,0,0,0,不是等比数列不是等比数列, ,故故错误错误; ;等比数列等比数列-1,-2,-4,-1,-2,-4,-2,-2n n的公的公比是比是21,21,但此数列是递减数列但此数列是递减数列, ,故故错误错误;正确正确. .故选故选D.D.1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( ( ) )等比数列中没有一项为等比数列中没有一项为0;0;等差数列不可能是等比数列等差数列不可能是等比数列; ;常数列是等比数列常数列是等比
8、数列; ;公比公比q1q1的等比数列是递增数列的等比数列是递增数列; ;公比公比q0q11的的n n的最小值为的最小值为( () )(A)4(A)4(B)5(B)5(C)6(C)6(D)7(D)7考点二考点二 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明【例【例2 2】 导学号导学号 18702252 18702252 已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,满足满足S Sn+1n+1=2S=2Sn n+ +2n+1(n2n+1(nN N* *),),且且a a1 1=1.=1.(1)(1)求证求证 a an n+2+2是等比数列是等比数列; ;(2)(2)求求
9、S Sn n. . 等比数列的判定方法等比数列的判定方法反思归纳反思归纳 (3)(3)通项公式法通项公式法: :若数列通项公式写成若数列通项公式写成a an n=c=cq qn n(c,q(c,q均是不为均是不为0 0的常数的常数,n,nN N* *),),则数列则数列aan n 是等比数列是等比数列. .(4)(4)前前n n项和公式法项和公式法: :若数列若数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=k=kq qn n-k(k-k(k为常数且为常数且k0,q0,k0,q0,1),1),则数列则数列aan n 是等比数列是等比数列. .如果判定某数列不是等比数列如果判定某数列不是等比
10、数列, ,只需判定其任意的连续三项不成等比数列只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可即可. .【即时训练】【即时训练】 ( (20162016全国全国卷卷) )已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和项和S Sn n=1+a=1+an n, ,其其中中0.0.(1)(1)证明证明 a an n 是等比数列是等比数列, ,并求其通项公式并求其通项公式; ;考点三考点三 等比数列的性质及应用等比数列的性质及应用【例【例3 3】 (1) (1) 导学号导学号 18702254 18702254 已知数列已知数列 a an n 为等比数列为等比数列, ,若若a a4 4+a+a6 6=10
11、,=10,则则a a7 7(a(a1 1+2a+2a3 3)+a)+a3 3a a9 9的值为的值为( () )(A)10(A)10(B)20(B)20(C)100(C)100 (D)200(D)200 在等比数列的基本运算问题中在等比数列的基本运算问题中, ,一般是利用通项公式与前一般是利用通项公式与前n n项和公式项和公式, ,建立方程建立方程( (组组) )求解求解, ,但如果灵活运用等比数列的性质但如果灵活运用等比数列的性质, ,可减可减少运算量少运算量, ,提高解题速度提高解题速度. .反思归纳反思归纳 (2)(2)(20162016河北正定中学期末河北正定中学期末) )等比数列等比
12、数列 a an n 中中,a,a1 1+a+a2 2=40,a=40,a3 3+a+a4 4=60,=60,a a7 7+a+a8 8等于等于( () )(A)135(A)135 (B)100 (B)100(C)95(C)95 (D)80 (D)80备选例题备选例题【例【例1 1】 已知已知S Sn n为数列为数列 a an n 的前的前n n项和项和,a,an n0,(a0,(an+1n+1-S-Sn n) )2 2=S=Sn+1n+1S Sn n且且a a1 1=2,=2,则则a an n= =.(2)(2)求求loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a2 2+log+lo
13、g2 2a a3 3+log+log2 2a a2525的值的值. .【例【例3 3】 已知等比数列已知等比数列 a an n 的所有项均为正数的所有项均为正数, ,首项首项a a1 1=1,=1,且且a a4 4,3a,3a3 3,a,a5 5成成等差数列等差数列. .(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式; ;解解: : (1)(1)设数列设数列aan n 的公比为的公比为q,q,由条件得由条件得q q3 3,3q,3q2 2,q,q4 4成等差数列成等差数列, ,所以所以6q6q2 2=q=q3 3+q+q4 4, ,解得解得q=-3,q=-3,若若q=2.q=2.
14、由数列由数列aan n 的所有项均为正数的所有项均为正数, ,则则q=2,q=2,数列数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=2=2n-1n-1(n(nN N* *).).(2)(2)数列数列 a an+1n+1-a-an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S Sn n=2=2n n-1(n-1(nN N* *),),求实数求实数的值的值. .(2)(2)求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式; ;(3)(3)设设c cn n=a=an+1n+1-2a-2an n, ,求数列求数列 c cn n 的前的前n n项和项和S Sn n. .等比数列问题中忽
15、视分类讨论思想致误等比数列问题中忽视分类讨论思想致误易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼 【教师备用】【教师备用】【典例】【典例】 已知首项为已知首项为 的等比数列的等比数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n(n(nN N+ +),),且且- -2S2S2 2,S,S3 3,4S,4S4 4成等差数列成等差数列. .(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式; ;易错易醒易错易醒: :分类讨论思想在等比数列中应用较多分类讨论思想在等比数列中应用较多, ,常见的分类讨论有常见的分类讨论有已知已知S Sn n与与a an n的关系的关系, ,要分要分n=1,n2n=1,n2两种情况两种情况. .等比数列中遇到求和问题要分公比等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q1q=1,q1讨论讨论. .项数的奇、偶数讨论项数的奇、偶数讨论. .等比数列的单调性的判断注意与等比数列的单调性的判断注意与a a1 1,q,q的取值的讨论的取值的讨论. .
