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1、直线与椭圆的位置关系的判断直线与椭圆的位置关系的判断数学组数学组 白羽白羽问题问题1：点与椭圆的位置关系判定：点在椭圆内、上、外。：点与椭圆的位置关系判定：点在椭圆内、上、外。例例1.椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴顶点，而其椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴顶点，而其重心是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率的取值范重心是椭圆的一个焦点，求椭圆的离心率的取值范围。围。问题问题2：直线与椭圆位置关系种类：直线与椭圆位置关系种类相交相交相切相切相离相离二个二个一个一个0个个注意观察交点个数。注意观察交点个数。问题问题2：直线与椭圆位置关系判断方法：直线与椭圆位置关系判断方法：已知已知1将直线方程代入椭圆
2、方程，得到将直线方程代入椭圆方程，得到 x x （或或 y y）的的一一 元二次方程元二次方程2计算一元二次方程的判别式计算一元二次方程的判别式3若若 0 0 ，说明直线与椭圆相交，说明直线与椭圆相交 若若 = 0 = 0 ，说明直线与椭圆相切，说明直线与椭圆相切 若若 0 0=00相交相交相切相切相离相离例例2 2、已知直线、已知直线，椭圆，椭圆。试问当。试问当 直线与椭圆直线与椭圆(1(1）相交？（）相交？（2 2）相切？（）相切？（3 3）相离？）相离？取何值时，取何值时，问题问题3：直：直线线与与与与椭圆椭圆相交所得的弦相交所得的弦长长公式：公式： 若直若直线线与与椭圆椭圆相交于两点相
3、交于两点，则则弦长公式：弦长公式：所以，求直线和椭圆相交所得的弦长，所以，求直线和椭圆相交所得的弦长，只需将直线方程与椭圆方程联立，转化为关于只需将直线方程与椭圆方程联立，转化为关于或或的一元二次方程形式，通过韦达定理求得的一元二次方程形式，通过韦达定理求得，代入弦长公式计算即可。注意弦长公式中一定要，代入弦长公式计算即可。注意弦长公式中一定要书写两点间距离公式。书写两点间距离公式。设而不求设而不求整体化思想整体化思想特例：椭圆的焦点弦长公式：若过焦点的直线与椭圆特例：椭圆的焦点弦长公式：若过焦点的直线与椭圆相交于两点相交于两点，若过左焦点，则，若过左焦点，则若过右焦点，则若过右焦点，则；例例
4、3 3、已知斜率为、已知斜率为2 2的直线经过椭圆的直线经过椭圆的右焦点的右焦点，与椭圆相交于，与椭圆相交于A，B两点，求弦两点，求弦AB的长。的长。问题问题4：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法： 如果已知直线在如果已知直线在轴上的截距为轴上的截距为，或恒过定点，或恒过定点时，方程设为时，方程设为，注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。，注意对斜率存在或不存在进行分类讨论。如果已知直线在如果已知直线在轴上的截距为轴上的截距为或直线过或直线过点时，方程设为点时，方程设为或或，不需要对，不需要对分类讨论，当分类讨论，当时直线斜率不存在，当时直线斜率不存在
5、，当时，直线斜率为时，直线斜率为问题问题5：椭圆面积公式：椭圆面积公式：椭圆椭圆 的两个焦点为的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作，过左焦点作直线与椭圆交于直线与椭圆交于A，B 两点，若两点，若 AB F2 的面积为的面积为16， 求直线的方程。求直线的方程。例例4 4变：假如直线是过原点变：假如直线是过原点， 其它条件不变，求直线的方程。其它条件不变，求直线的方程。xyB（x1 , y1）F1F2o（x2 , y2）A问题问题6：解决中点弦问题的两种方法：解决中点弦问题的两种方法：“点差法点差法”：涉及到直线和圆锥曲线相交所得：涉及到直线和圆锥曲线相交所得弦的中点问题时，设点作差。体现弦的
6、中点问题时，设点作差。体现“设而不求设而不求”的数学思想。的数学思想。“韦达定理法韦达定理法”： 联立方程组，将直线方程联立方程组，将直线方程代入椭圆方程，转化为代入椭圆方程，转化为关于关于或或的一元二次方程形式，通过韦达定理求得的一元二次方程形式，通过韦达定理求得，或，或，除以，除以2，得中点横坐标或中点纵坐标。，得中点横坐标或中点纵坐标。例例5、点、点为椭圆为椭圆内一定点，过点内一定点，过点P作一弦，使此弦在作一弦，使此弦在P点被平分，点被平分，求此弦的方程。求此弦的方程。问题问题7 7：研究直线和椭圆相交的问题时，必须注意的两点：研究直线和椭圆相交的问题时，必须注意的两点：对斜率分类讨论
7、；对斜率分类讨论；遇到遇到“直线直线与椭圆相交于不同两点与椭圆相交于不同两点A A、B”B”条件时，条件时，这个隐含条件。这个隐含条件。必须书写必须书写例例6、椭圆的方程为、椭圆的方程为，试确定，试确定的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线对称。对称。问题问题8、椭圆中的最值性问题：、椭圆中的最值性问题：（1）椭圆）椭圆外有一点外有一点，内有一点，内有一点，P为椭圆上任意一点，若要求为椭圆上任意一点，若要求最小，最小， B C D（2）设）设，则，则的最小值是（的最小值是（ ）BCD则这最小值是（则这最小值是（ ）AA(3)、已知椭圆、已知
8、椭圆的右焦点是的右焦点是，点，点在椭圆内，点在椭圆内，点M是椭圆上的动点，求是椭圆上的动点，求的最大、最小值。的最大、最小值。上的点，上的点，为左右焦点，求为左右焦点，求的最大、最小值之差是多少？的最大、最小值之差是多少？(4)、已知、已知P是椭圆是椭圆(5)、已知、已知椭圆，直，直线。椭圆上是否存在一点，它到直上是否存在一点，它到直线的距离最小？的距离最小？最小距离是多少？最小距离是多少？(6)、过椭圆、过椭圆 x 2+2y 2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为30 0的的直线，则弦长直线，则弦长 |AB|= _ , 通径长是通径长是 _课后作业题课后作业题:已知已知: 直线直线 和椭圆和椭圆 相交相交于于A，B两点，按照下列条件，求出直线的方程。两点，按照下列条件，求出直线的方程。 （4）直线）直线 和和 轴交于轴交于 点点P, 使使F1F2ABP(1)使使(2)使线段使线段AB被被 平分平分.(3)使以使以A、B为直径的圆过点。为直径的圆过点。同学们同学们,再见啦！再见啦！别忘了作业别忘了作业!
